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ECG2 · Maths approfondies · semaine 10

Lois à densité usuelles

Loi uniforme sur un intervalle, loi exponentielle caractérisée par l'absence de mémoire et lois gamma. Loi normale centrée réduite et loi normale générale, transformées affines et propriétés de la fonction de répartition. Espérance de chacune de ces lois.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. La loi uniforme sur [a,b][a,b] a une densité constante, une fonction de répartition affine sur [a,b][a,b], et pour espérance le milieu (a+b)/2(a+b)/2.
  2. La loi exponentielle de paramètre λ\lambda vérifie P(X>t)=e−λt\P(X>t)=\e^{-\lambda t} pour t⩾0t\geqslant0 et E(X)=1/λ\E(X)=1/\lambda. Elle est caractérisée, parmi les lois à densité à valeurs strictement positives, par l’absence de mémoire.
  3. La loi γ(ν)\gamma(\nu) a pour densité tν−1e−tΓ(ν)\dfrac{t^{\nu-1}\e^{-t}}{\Gamma(\nu)} sur ]0,+∞[]0,+\infty[ et pour espérance ν\nu. La relation Γ(ν+1)=νΓ(ν)\Gamma(\nu+1)=\nu\Gamma(\nu) donne Γ(n+1)=n!\Gamma(n+1)=n!.
  4. La loi normale centrée réduite a pour densité la courbe en cloche φ\varphi, pour fonction de répartition Φ\Phi tabulée, avec Φ(−x)=1−Φ(x)\Phi(-x)=1-\Phi(x) et une espérance nulle.
  5. X∼N(μ,σ2)X \sim \mathcal N(\mu,\sigma^2) équivaut à (X−μ)/σ∼N(0,1)(X-\mu)/\sigma \sim \mathcal N(0,1), avec σ>0\sigma>0. Toute transformée affine non constante d’une loi normale est encore normale, et E(X)=μ\E(X)=\mu.
Pourquoi ce chapitre
  • La loi uniforme modélise un tirage au hasard sans préférence dans un intervalle, et sert de brique de base à toute simulation informatique.
  • La loi exponentielle modélise une durée d’attente sans usure, et se caractérise par l’absence de mémoire.
  • Les lois gamma prolongent la loi exponentielle et apparaissent comme sommes de durées exponentielles.
  • La loi normale intervient dans le théorème limite central, dans les approximations et dans les intervalles de confiance asymptotiques.

Il faut connaître les densités, les fonctions de répartition et les espérances, et savoir passer d’une loi à une autre par transformation affine.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Loi d'une variable transformée 3

Exercice 1. Valeur absolue d'une uniforme ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

Soit X↪U[−1,2]X \hookrightarrow \mathcal{U}[-1, 2] et Y=∣X∣Y = |X|.

Calculer P(∣X∣≤12)P(|X| \leq \frac{1}{2}).

Déterminer la loi de YY, puis E(Y)E(Y) de deux façons.

Voir l'indice

Technique fonction de répartition par découpage selon y.

Voir le corrigé offert
  1. L'intervalle [−1/2, 1/2] est de longueur 1, inclus dans [−1, 2], donc la probabilité vaut 1/3. 2. Y prend ses valeurs dans [0, 2]. Pour y < 0, FY(y) = 0. Pour 0 ≤ y ≤ 1, FY(y) = P(−y ≤ X ≤ y) = 2y/3. Pour 1 ≤ y ≤ 2, FY(y) = P(−1 ≤ X ≤ y) = (y + 1)/3. Pour y > 2, FY(y) = 1. 3. FY est continue sur R et de classe C¹ sauf en 0, 1 et 2, donc Y est à densité. Sa densité vaut 2/3 sur ]0, 1[, 1/3 sur ]1, 2[ et 0 ailleurs. 4. On obtient E(Y) = ∫ de 0 à 1 de 2y/3 dy + ∫ de 1 à 2 de y/3 dy = 1/3 + 1/2 = 5/6. Par transfert, E(|X|) = (1/3)(1/2 + 2) = 5/6.

piège : Écrire FY(y) = 2y/3 sur tout [0, 2], en oubliant que X ≥ −1.

Exercice 3. Une loi sans espérance ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Soit X↪U]−π2,π2[X \hookrightarrow \mathcal{U}\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[ et Y=tan⁡XY = \tan X.

Déterminer la loi de YY.

YY admet-elle une espérance ?

Voir le début du corrigé
  1. tan⁡\tan est une bijection strictement croissante de ]−π/2,π/2[]-\pi/2, \pi/2[ sur RR, de réciproque arctan⁡\arctan. …

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Exercice 10. Loi log-normale ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit ESSEC ou HEC

Soit X↪N(μ,σ2)X \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) et Y=eXY = e^X.

Exprimer FYF_Y à l'aide de Φ\Phi, donner une densité de YY, puis montrer que E(Y)=eμ+σ2/2.E(Y) = e^{\mu + \sigma^2/2}.

Voir le début du corrigé
  1. Pour y ≤ 0, FY(y) = 0. Pour y > 0, FY(y) = P(X ≤ ln y) = Φ((ln y − μ)/σ), qui tend vers 0 quand y tend vers 0. …

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Loi exponentielle 3

Exercice 2. Durée de vie d'une ampoule ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

La durée de vie XX d'une ampoule, en heures, suit une loi exponentielle de moyenne 1 000.

Calculer λ\lambda.

Calculer la probabilité qu'une ampoule ayant fonctionné 500 heures dure plus de 1 500 heures.

Calculer la médiane mm, définie par P(X≤m)=12.P(X \leq m) = \frac{1}{2}. Trouver t0t_0 tel que P(X>t0)=0,9P(X > t_0) = 0{,}9.

Voir le début du corrigé
  1. E(X)=1/λ=1 000E(X) = 1/\lambda = 1\,000, donc λ=1/1 000\lambda = 1/1\,000.

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Exercice 8. Minimum d'exponentielles indépendantes ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Soient X1,…,XnX_1, \ldots, X_n mutuellement indépendantes, avec Xi↪E(λi)X_i \hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda_i), et M=min⁡(X1,…,Xn).M = \min(X_1, \ldots, X_n).

Montrer que M↪E(λ1+…+λn).M \hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda_1 + \ldots + \lambda_n).

L'exercice utilise l'indépendance d'une famille de variables à densité, vue au chapitre sur les nn-uplets.

Voir le début du corrigé
  1. Pour tout réel tt, [M>t][M > t] est l'intersection des événements [Xi>t][X_i > t].

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Exercice 9. Les lois sans mémoire sont exponentielles ★★★

Approfondissement · 45 min · Niveau écrit ESSEC ou HEC

Soit XX une variable à densité avec P(X>0)=1P(X > 0) = 1 et G(t)=P(X>t)>0G(t) = P(X > t) > 0 pour tout t≥0t \geq 0.

On suppose XX sans mémoire.

Montrer que XX suit une loi exponentielle.

Voir le début du corrigé
  1. Comme [X > t + s] est inclus dans [X > t], l'absence de mémoire donne G(t + s) = G(t)G(s) pour s et t positifs. …

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Simulation par inversion 1

Exercice 4. Simulation par inversion ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit EDHEC ou Ecricome

Soit U↪U[0,1[U \hookrightarrow \mathcal{U}[0, 1[ et λ>0\lambda > 0.

On pose Y=−ln⁡(1−U)λ.Y = -\frac{\ln(1 - U)}{\lambda}.

Montrer que Y↪E(λ)Y \hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda).

Déterminer la loi de N=⌊Y⌋+1N = \lfloor Y \rfloor + 1.

Écrire une fonction Python qui simule NN.

Voir le début du corrigé
  1. Comme 1 − U ∈ ]0, 1], on a Y ≥ 0, donc FY(y) = 0 pour y < 0. …

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Paramètres d'une loi normale 1

Exercice 5. Retrouver les paramètres d'une normale ★

Application du cours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

X↪N(μ,σ2)X \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) vérifie P(X≤13)≈0,977P(X \leq 13) \approx 0{,}977 et P(X≥7)≈0,841.P(X \geq 7) \approx 0{,}841.

Trouver μ\mu et σ\sigma.

Calculer P(8≤X≤12)P(8 \leq X \leq 12), avec Φ(0,5)≈0,691\Phi(0{,}5) \approx 0{,}691 et Φ(1,5)≈0,933.\Phi(1{,}5) \approx 0{,}933.

Trouver cc tel que P(∣X−μ∣≤c)≈0,95.P(|X - \mu| \leq c) \approx 0{,}95.

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Loi gamma 2

Exercice 6. Du carré d'une normale à Γ(1/2) ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit EDHEC

Soit Z↪N(0,1)Z \hookrightarrow \mathcal{N}(0, 1) et W=Z22W = \frac{Z^2}{2}.

Exprimer FWF_W à l'aide de Φ\Phi.

Montrer que W↪γ(12)W \hookrightarrow \gamma(\frac{1}{2}) et en déduire Γ(12)=π\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}.

Calculer E(Z2)E(Z^2).

Montrer que Γ(n+12)=(2n)! π4n n!\Gamma\left(n + \frac{1}{2}\right) = \frac{(2n)!\,\sqrt{\pi}}{4^n\, n!} pour tout n∈Nn \in \N.

Voir le début du corrigé
  1. Pour w < 0, FW(w) = 0. Pour w ≥ 0, FW(w) = P(|Z| ≤ √(2w)) = 2Φ(√(2w)) − 1. …

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Exercice 7. Moments d'une loi gamma ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit EDHEC ou Ecricome

Soit X↪γ(ν)X \hookrightarrow \gamma(\nu). Montrer que E(Xk)=ν(ν+1)⋯(ν+k−1)E(X^k) = \nu(\nu + 1)\cdots(\nu + k - 1) pour tout k∈N∗k \in \mathbb{N}^*. Montrer que 1X\frac{1}{X} admet une espérance si et seulement si ν>1\nu > 1, et la calculer. Que dire lorsque X↪E(1)X \hookrightarrow \mathcal{E}(1) ?

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  1. t↦tkt \mapsto t^k est continue sur ]0,+∞[]0, +\infty[ et l'intégrande tν+k−1e−t/Γ(ν)t^{\nu+k-1}e^{-t}/\Gamma(\nu) est positif. …

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel d’ECG deuxième année, mathématiques approfondies (2021), enseignement du troisième semestre, partie III « Compléments de probabilités, couples et n-uplets de variables aléatoires réelles », paragraphe 3 « Lois de variables aléatoires à densité usuelles ». Elle couvre la loi uniforme, la loi exponentielle, les lois gamma et les lois normales, avec leur espérance. Les variances sont établies au chapitre suivant.