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ECG2 · Maths approfondies · semaine 13

n-uplets de variables aléatoires réelles

Loi d'un vecteur aléatoire de Rn, lois marginales et caractérisation dans le cas discret. Indépendance mutuelle de n variables, lemme des coalitions, covariance, formule de Huygens, coefficient de corrélation linéaire et variance d'une somme. Densité de la somme de deux variables à densité indépendantes par produit de convolution, stabilité des lois gamma et normale.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. La loi d’un vecteur aléatoire est donnée par P(⋂i=1n[Xi⩽xi]).\P\left( \bigcap_{i=1}^n[X_i\leqslant x_i] \right). Les lois marginales ne suffisent pas à la déterminer.

  2. L’indépendance mutuelle signifie que la fonction de répartition du vecteur est le produit des fonctions de répartition. Elle entraîne l’indépendance deux à deux, mais la réciproque est fausse.

  3. L’espérance est toujours linéaire. Pour un produit, E(XY)=E(X)E(Y)\E(XY)=\E(X)\E(Y) exige l’indépendance. Pour une variance de somme, l’additivité exige l’indépendance ou des covariances nulles.

  4. La formule de Huygens donne Cov⁡(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y).\begin{aligned} \operatorname{Cov}(X,Y) &=\E(XY)\\ &\quad-\E(X)\E(Y). \end{aligned} L’indépendance entraîne une covariance nulle, mais l’inverse est faux. Le coefficient de corrélation est compris entre −1-1 et 11, et vaut ±1\pm1 exactement en cas de liaison affine.

  5. Pour des variables à densité indépendantes, la densité de la somme est le produit de convolution. Les lois gamma et les lois normales sont stables par somme.

Pourquoi ce chapitre

Jusqu’ici les variables aléatoires étaient étudiées une par une. Or les modèles font intervenir des familles entières :

  • nn répétitions d’une expérience ;
  • nn observations d’un échantillon ;
  • nn actifs d’un portefeuille.

Ce chapitre donne les outils pour traiter plusieurs variables simultanément. Trois idées structurent tout :

  • l’indépendance mutuelle, qui permet de multiplier les probabilités et les espérances ;
  • la covariance, qui mesure la liaison entre deux variables et sert à calculer la variance d’une somme ;
  • le produit de convolution, qui donne la loi d’une somme de variables à densité.

Ce chapitre alimente directement l’estimation et les intervalles de confiance du quatrième semestre.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Covariance et corrélation 4

Exercice 1. Couple de Bernoulli à marges imposées ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

XX et YY suivent la loi B(1/2)\mathcal{B}(1/2) et P(X=1,Y=1)=a.P(X = 1, Y = 1) = a. Donner la loi du couple et les valeurs possibles de aa.

Calculer Cov⁡(X,Y)\operatorname{Cov}(X, Y) et ρ(X,Y)\rho(X, Y).

Caractériser l'indépendance et les cas ρ=±1\rho = \pm 1.

Voir l'indice

Technique loi du couple par les marges, puis Huygens.

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  1. P(X=1,Y=0)=P(X=1)−a=1/2−aP(X = 1, Y = 0) = P(X = 1) - a = 1/2 - a, de même P(X=0,Y=1)=1/2−aP(X = 0, Y = 1) = 1/2 - a, et P(X=0,Y=0)=aP(X = 0, Y = 0) = a. Ces nombres sont positifs si et seulement si 0≤a≤1/20 \leq a \leq 1/2.
  2. E(XY)=P(X=1,Y=1)=aE(XY) = P(X = 1, Y = 1) = a, donc Cov⁡=a−1/4\operatorname{Cov} = a - 1/4. Comme V(X)=V(Y)=1/4V(X) = V(Y) = 1/4, on obtient ρ=4a−1\rho = 4a - 1.
  3. L'indépendance impose a=1/4a = 1/4, et alors les quatre cases valent 1/41/4, qui est bien le produit des marges.
  4. ρ=1\rho = 1 si a=1/2a = 1/2, et alors P(X≠Y)=0P(X \neq Y) = 0, donc Y=XY = X presque sûrement. ρ=−1\rho = -1 si a=0a = 0, et alors Y=1−XY = 1 - X presque sûrement.

piège : Retenir que covariance nulle entraîne indépendance. C'est vrai pour deux Bernoulli, faux en général.

Exercice 2. Portefeuille de variance minimale ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

XX et YY ont des variances σ12\sigma_1^2 et σ22\sigma_2^2 et une covariance cc, avec V(X−Y)>0V(X - Y) > 0.

Minimiser f(t)=V(tX+(1−t)Y).f(t) = V(tX + (1 - t)Y). Traiter le cas indépendant.

Voir le début du corrigé
  1. tX + (1 − t)Y = Y + t(X − Y), donc f(t) = V(Y) + 2t Cov(Y, X − Y) + t²V(X − Y). …

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Exercice 9. Covariance du minimum et du maximum ★★★

Approfondissement · 40 min · Type oral HEC

XX et YY indépendantes de loi E(1)\mathcal{E}(1).

On pose m=min⁡(X,Y)m = \min(X, Y) et M=max⁡(X,Y)M = \max(X, Y).

Calculer Cov⁡(m,M)\operatorname{Cov}(m, M) et ρ(m,M)\rho(m, M).

Voir le début du corrigé
  1. mm suit E(2)E(2), donc E(m)=1/2E(m) = 1/2 et V(m)=1/4V(m) = 1/4.

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Exercice 10. Deux normales non corrélées et dépendantes ★★★

Approfondissement · 35 min · Type oral ESSEC ou HEC

XX de loi N(0,1)\mathcal{N}(0, 1), ε\varepsilon indépendante de XX, valant 11 ou −1-1 avec probabilité 1/21/2.

On pose Y=εXY = \varepsilon X.

Montrer que YY suit N(0,1)\mathcal{N}(0, 1), que Cov⁡(X,Y)=0\operatorname{Cov}(X, Y) = 0, que XX et YY ne sont pas indépendantes et que X+YX + Y n'est pas normale.

Voir le début du corrigé
  1. P(Y≤y)=(1/2)P(X≤y)+(1/2)P(−X≤y)P(Y \leq y) = (1/2)P(X \leq y) + (1/2)P(-X \leq y) par indépendance. …

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Loi de la somme 2

Exercice 4. Somme de deux uniformes ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

X et Y indépendantes uniformes sur [0, 1]. Densité de X + Y, espérance, variance.

Voir le début du corrigé
  1. Les densités sont bornées. h(x)h(x) est la longueur de [0,1]∩[x−1,x][0, 1] \cap [x - 1, x].

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Exercice 3. Somme de deux exponentielles ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

XX et YY indépendantes de loi E(λ)\mathcal{E}(\lambda).

Déterminer par convolution une densité de Z=X+YZ = X + Y et comparer avec la loi gamma.

Voir le début du corrigé
  1. fXf_X est bornée par λ\lambda, donc la convolution s'applique.

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Extrema de variables 1

Exercice 5. Maximum et minimum d'uniformes ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · D'après un écrit EDHEC

X1,…,XnX_1, \dots, X_n indépendantes uniformes sur [0,1][0, 1].

MM est leur maximum, mm leur minimum.

Calculer E(M)E(M), puis E(m)E(m) sans nouveau calcul d'intégrale.

Voir le début du corrigé
  1. [M≤x][M \leq x] est l'intersection des [Xi≤x][X_i \leq x], donc FM(x)=xnF_M(x) = x^n sur [0,1][0, 1]. …

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Points fixes d'une permutation 1

Exercice 6. Points fixes d'une permutation ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · D'après un écrit ESSEC

σ\sigma est une permutation uniforme de {1,…,n}\{1, \dots, n\}, avec n≥2n \geq 2, et NN est son nombre de points fixes.

Calculer E(N)E(N) et V(N)V(N).

Voir le début du corrigé
  1. N=∑UiN = \sum U_i, où UiU_i vaut 11 si σ(i)=i\sigma(i) = i. …

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Lois gaussiennes 2

Exercice 8. Moyenne empirique gaussienne ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

X1,…,XnX_1, \dots, X_n indépendantes de loi N(μ,1)\mathcal{N}(\mu, 1).

Trouver le plus petit nn tel que P(∣Mn−μ∣≤0,1)≥0,95.P(|M_n - \mu| \leq 0{,}1) \geq 0{,}95. On prendra Φ(1,96)≈0,975\Phi(1{,}96) \approx 0{,}975.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 7. Somme de carrés de normales ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit ESSEC ou HEC

XX de loi N(0,1)\mathcal{N}(0, 1).

Montrer que X2/2X^2/2 suit γ(1/2)\gamma(1/2) et en déduire Γ(1/2)\Gamma(1/2).

Pour X1,…,XnX_1, \dots, X_n indépendantes de loi N(0,1)\mathcal{N}(0, 1), donner la loi de Sn=∑Xi2S_n = \sum X_i^2, son espérance et sa variance.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel d’ECG deuxième année, mathématiques approfondies (2021), enseignement du troisième semestre, partie III « Compléments de probabilités, couples et nn-uplets de variables aléatoires réelles », paragraphe 5 « nn-uplets de variables aléatoires réelles, généralisation des propriétés de l’espérance et de la variance ».