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ECG1 · Maths approfondies · semaine 17

Variables aléatoires réelles finies et lois usuelles

Variable aléatoire réelle finie, système complet associé, loi de probabilité et loi de Y = g(X). Espérance, linéarité, croissance, théorème de transfert, variance et écart-type. Variable certaine, loi de Bernoulli et loi binomiale avec leur espérance et leur variance.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Une variable aléatoire réelle finie est une application de Ω\Omega dans R\R. Sa loi est la donnée de X(Ω)X(\Omega) et des P(X=x)\P(X=x), dont la somme vaut 11.
  2. L'espérance est la moyenne pondérée des valeurs. Elle est linéaire sans hypothèse d'indépendance, et croissante.
  3. Le théorème de transfert donne l'espérance de g(X)g(X) à partir de la seule loi de XX.
  4. La variance :
    • vaut E(X2)−(E(X))2\E(X^2)-(\E(X))^2 ;
    • est positive ;
    • est nulle seulement pour une variable presque sûrement constante ;
    • est multipliée par a2a^2 sous une transformation affine.
  5. Les moments des lois usuelles sont :
    • Bernoulli : espérance pp et variance p(1−p)p(1-p) ;
    • binomiale de paramètres nn et pp : espérance npnp et variance np(1−p)np(1-p) ;
    • uniforme sur [ ⁣[1,n] ⁣]\intent{1}{n} : espérance (n+1)/2(n+1)/2 et variance (n2−1)/12(n^2-1)/12.
Pourquoi ce chapitre

Une variable aléatoire transforme un résultat d'expérience en un nombre, ce qui permet de calculer :

  • des moyennes ;
  • des dispersions ;
  • des seuils.

C'est le point de bascule entre le langage des événements et le langage numérique.

Le cadre fini simplifie les calculs :

  • les sommes sont finies ;
  • il n'y a aucune question de convergence ;
  • l'espérance existe toujours.

Les lois usuelles mises en place ici sont :

  • la loi certaine ;
  • la loi de Bernoulli ;
  • la loi binomiale ;
  • la loi uniforme.

La loi binomiale est le modèle de référence de la répétition d'épreuves indépendantes. Elle relie directement le chapitre à la formule du binôme et aux coefficients binomiaux vus en début d'année.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Loi et espérance d'une fonction de X 3

Exercice 1. Maximum de deux dés ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

On lance deux dés équilibrés, XX est le plus grand des deux résultats.

Donner la loi et l'espérance de XX.

Voir l'indice

Technique passage par [X≤k][X \leq k].

Voir le corrigé offert
  1. X(Ω)X(\Omega) est l'ensemble des entiers de 11 à 66.
  2. [X≤k][X \leq k] exige que les deux dés soient au plus kk, donc P(X≤k)=k2/36P(X \leq k) = k^2/36.
  3. P(X=k)=(k2−(k−1)2)/36=(2k−1)/36P(X = k) = (k^2 - (k - 1)^2)/36 = (2k - 1)/36. Vérification, Σ(2k−1)\Sigma (2k - 1) pour kk de 11 à 66 vaut 3636.
  4. E(X)=(2Σk2−Σk)/36=(2×91−21)/36=161/36E(X) = (2 \Sigma k^2 - \Sigma k)/36 = (2 \times 91 - 21)/36 = 161/36, soit environ 4,474{,}47.

piège : Compter directement [X=k][X = k] et oublier le cas des deux dés égaux à kk, compté une seule fois.

Exercice 4. Carré d'une uniforme symétrique ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

XX suit la loi uniforme sur les entiers de −n-n à nn.

Loi de Y=X2Y = X^2, espérance de YY, puis V(X)V(X).

Voir le début du corrigé
  1. Y(Ω)={k2, k entier de 0 aˋ n}Y(\Omega) = \{k^2,\ k \text{ entier de } 0 \text{ à } n\}.

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Exercice 6. Espérance d'un inverse ★★★

Approfondissement · 30 min · Niveau écrit Ecricome

X↪B(n,p)X \hookrightarrow \mathcal{B}(n, p) avec p∈]0,1]p \in ]0, 1], et q=1−pq = 1 - p.

Calculer E(11+X)E\left(\frac{1}{1 + X}\right).

Voir le début du corrigé
  1. L'identité vient de la formule du pion appliquée à C(n+1,k+1)C(n + 1, k + 1).

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Variance et moments 2

Exercice 5. Meilleure approximation constante ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Pour aa réel, on pose f(a)=E((X−a)2).f(a) = E((X - a)^2). Montrer que ff est minimale en a=E(X)a = E(X), de minimum V(X)V(X).

Voir le début du corrigé
  1. f(a)=E(X2)−2aE(X)+a2f(a) = E(X^2) - 2aE(X) + a^2 par linéarité.

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Exercice 2. Constante de normalisation ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Soit n≥1n \geq 1.

XX prend les valeurs entières de 11 à nn avec P(X=k)=ck.P(X = k) = ck. Trouver cc, puis E(X)E(X) et V(X)V(X).

On admet ∑k3=(n(n+1)2)2.\sum k^3 = \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^2.

Voir le début du corrigé
  1. c n(n+1)/2=1c\,n(n + 1)/2 = 1 donne c=2/(n(n+1))c = 2/(n(n + 1)).

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Loi binomiale 2

Exercice 3. Au moins un six ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

On lance nn fois un dé équilibré.

Loi du nombre XX de six.

Combien de lancers faut-il au minimum pour que P(X≥1)P(X \geq 1) dépasse 12\frac{1}{2} ?

Voir le début du corrigé
  1. Épreuves indépendantes et identiques, succès « six » de probabilité 1/61/6, donc X↪B(n,1/6)X \hookrightarrow B(n, 1/6) et E(X)=n/6E(X) = n/6.

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Exercice 10. Valeur la plus probable d'une binomiale ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC

X↪B(n,p)X \hookrightarrow \mathcal{B}(n, p) avec p∈]0,1[p \in ]0, 1[.

Étudier la monotonie de k↦P(X=k)k \mapsto P(X = k) et en déduire la ou les valeurs les plus probables.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Espérance par indicatrices 3

Exercice 7. Points fixes d'une permutation ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, type EDHEC

Soit n≥2n \geq 2.

On range au hasard nn lettres dans nn enveloppes, toutes les permutations étant équiprobables.

FF est le nombre de lettres dans la bonne enveloppe.

Calculer E(F)E(F) et V(F)V(F).

Voir le début du corrigé
  1. F=Σ1AiF = \Sigma \mathbb{1}_{A_i}, où AiA_i signifie « lettre ii bien placée », avec P(Ai)=(n−1)!/n!=1/nP(A_i) = (n - 1)!/n! = 1/n. …

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Exercice 8. Tirages sans remise ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit BCE

Une urne contient NN boules dont bb blanches.

On en tire n≤Nn \leq N une à une sans remise.

XX est le nombre de blanches.

Montrer que E(X)=nbNE(X) = \frac{nb}{N}.

Voir le début du corrigé
  1. On modélise par les listes ordonnées de nn boules distinctes, équiprobables, au nombre de N!/(N−n)!N!/(N - n)!.

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Exercice 9. Urnes vides ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC

On place nn boules dans N≥2N \geq 2 urnes, chaque boule allant dans une urne uniformément et indépendamment des autres.

VV est le nombre d'urnes vides.

Calculer E(V)E(V), puis E(V2)E(V^2).

Voir le début du corrigé
  1. V=Σj=1N1UjV = \Sigma_{j=1}^{N} \mathbb{1}_{U_j}, où UjU_j signifie « urne jj vide ».

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel d'ECG mathématiques approfondies (2021), enseignement du premier semestre, partie VI « Probabilités sur un ensemble fini », paragraphes « Variables aléatoires réelles finies » et « Lois usuelles I ».