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ECG1 · Maths approfondies · semaine 18

Espaces vectoriels de dimension finie

Existence de bases, comparaison des cardinaux d'une famille libre et d'une famille génératrice, dimension et caractérisation des bases. Rang d'une famille finie de vecteurs et théorème de la base incomplète. Somme et somme directe de deux sous-espaces, sous-espaces supplémentaires, formule de la dimension d'une somme et concaténation de bases.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Un espace de dimension finie admet une base, et toutes ses bases ont le même cardinal, appelé dimension.
  2. Dans un espace de dimension nn, une famille de nn vecteurs libre ou génératrice est automatiquement une base.
  3. Le rang d'une famille est la dimension de l'espace qu'elle engendre, et le théorème de la base incomplète permet de prolonger toute famille libre en base.
  4. Un sous-espace FF de EE de dimension finie vérifie dim⁡(F)⩽dim⁡(E)\dim(F)\leqslant\dim(E), avec égalité si et seulement si F=EF=E.
  5. La somme est directe si et seulement si l'intersection est réduite au vecteur nul, et alors les dimensions s'ajoutent et les bases se concatènent.
Pourquoi ce chapitre

Le premier semestre a introduit le vocabulaire des espaces vectoriels réels :

  • les sous-espaces ;
  • les combinaisons linéaires ;
  • les familles libres ;
  • les familles génératrices ;
  • les bases.

Ce chapitre apporte la dimension. Grâce à elle, une seule information numérique remplace de longues vérifications. Savoir qu'un espace est de dimension 33 permet d'affirmer qu'une famille libre de trois vecteurs en est une base.

Aux concours, la dimension sert :

  • à justifier qu'une famille est une base ;
  • à conclure qu'un sous-espace est l'espace entier ;
  • à compter les solutions d'un système ;
  • à préparer la formule du rang du chapitre suivant.

C'est aussi le chapitre où l'on apprend à décomposer un espace en deux morceaux supplémentaires, ce qui prépare les projecteurs, puis en deuxième année la réduction.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Base et liberté 2

Exercice 7. Famille échelonnée en degré ★

Application du cours · 10 min · Niveau écrit BCE, type EDHEC

Soient P0,…,PnP_0, \ldots, P_n des polynômes avec deg⁡(Pk)=k\deg(P_k) = k.

Montrer que (P0,…,Pn)(P_0, \ldots, P_n) est une base de Rn[x]\R_n[x].

Application : (1,x+1,…,(x+1)n)(1, x + 1, \ldots, (x + 1)^n).

Voir l'indice

Technique liberté par le terme de plus haut degré, puis caractérisation des bases.

Voir le corrigé offert
  1. On suppose ∑λkPk=0\sum \lambda_k P_k = 0 avec des coefficients non tous nuls, et on note mm le plus grand indice tel que λm≠0\lambda_m \neq 0.
  2. Seul PmP_m apporte un terme en xmx^m, donc ∑k≤mλkPk\sum_{k\leq m} \lambda_k P_k est de degré exactement mm, et n'est pas nul. Si m=0m = 0, c'est la constante non nulle λ0P0\lambda_0P_0. Contradiction.
  3. La famille est libre, avec n+1n + 1 éléments dans un espace de dimension n+1n + 1. C'est une base. L'application suit, car deg⁡((x+1)k)=k\deg((x + 1)^k) = k.

piège : Ne pas justifier que le coefficient de xmx^m est non nul.

Exercice 1. Famille dépendant d'un paramètre ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Pour aa réel, on pose u=(1,1,a),u = (1, 1, a), v=(1,a,1),v = (1, a, 1), w=(a,1,1).w = (a, 1, 1). Pour quels aa la famille (u,v,w)(u, v, w) est-elle une base de R3\R^3 ?

Donner son rang sinon.

Voir le début du corrigé
  1. Trois vecteurs dans R3R^3, on étudie la liberté. …

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Sous-espaces et dimension 4

Exercice 2. Commutant d'une matrice ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Soit AA la matrice d'ordre 2 de lignes (1,1)(1, 1) et (0,1)(0, 1), et FF l'ensemble des M∈M2(R)M \in \mathcal{M}_2(\R) telles que AM=MA.AM = MA. Montrer que FF est un sous-espace et donner sa dimension.

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  1. FF contient 00, et A(λM+M′)=λAM+AM′=(λM+M′)AA(\lambda M + M') = \lambda AM + AM' = (\lambda M + M')A pour MM, M′M' dans FF. …

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Exercice 4. Réunion de deux sous-espaces ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Soient FF et GG deux sous-espaces de EE.

Montrer que F∪GF \cup G est un sous-espace si et seulement si F⊂GF \subset G ou G⊂FG \subset F.

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  1. Si F⊂GF \subset G, alors F∪G=GF \cup G = G est un sous-espace. …

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Exercice 5. Matrices symétriques et antisymétriques ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

Donner une base et la dimension de SnS_n, espace des matrices symétriques de Mn(R)M_n(\R), et de AnA_n, celui des antisymétriques.

En déduire Mn(R)=Sn⊕AnM_n(\R) = S_n \oplus A_n sans la décomposition explicite.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 9. Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC

Soit EE l'ensemble des suites réelles telles que un+2=un+1+2unu_{n+2} = u_{n+1} + 2u_n pour tout nn.

Montrer que EE est un sous-espace de dimension 2 de l'espace des suites et en donner une base.

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  1. La suite nulle est dans EE, et toute combinaison linéaire de suites de EE vérifie la relation. …

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Somme et supplémentaires 2

Exercice 8. Supplémentaire par la base incomplète ★

Application du cours · 10 min · Niveau écrit BCE, type emlyon

Dans R4\R^4, soit F=Vect⁡(u,v)F = \operatorname{Vect}(u, v) avec u=(1,2,1,0),u = (1, 2, 1, 0), v=(0,1,1,1).v = (0, 1, 1, 1). Déterminer un supplémentaire de FF.

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  1. u et v ne sont pas colinéaires, donc (u, v) est une base de F.

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Exercice 3. Polynômes s'annulant en deux points ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Soit F={P∈R3[x]:P(1)=P(−1)=0}.F = \{P \in \R_3[x] : P(1) = P(-1) = 0\}. Donner une base de FF, puis montrer que R3[x]=F⊕R1[x].\R_3[x] = F \oplus \R_1[x].

Voir le début du corrigé
  1. Pour P=a+bx+cx2+dx3P = a + bx + cx^2 + dx^3, les conditions sont a+b+c+d=0a + b + c + d = 0 et a−b+c−d=0a - b + c - d = 0. …

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Intersection et somme 2

Exercice 6. Grassmann dans R⁴ ★

Application du cours · 10 min · Niveau écrit Ecricome

Soient F={(x,y,z,t):x+y=0 etz+t=0} et\begin{aligned} F = \{(x, y, z, t) :{}& x + y = 0 \text{ et} \\ & z + t = 0\} \text{ et} \end{aligned} G={(x,y,z,t):x=z}.G = \{(x, y, z, t) : x = z\}. Déterminer F∩GF \cap G et F+GF + G.

La somme est-elle directe ?

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  1. F=Vect⁡((1,−1,0,0),(0,0,1,−1))F = \operatorname{Vect}((1, -1, 0, 0), (0, 0, 1, -1)), donc dim⁡(F)=2\dim(F) = 2. …

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Exercice 10. Intersection forcée par la dimension ★

Application du cours · 10 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC

Soit EE de dimension nn, et FF, GG deux sous-espaces avec dim⁡(F)+dim⁡(G)>n.\dim(F) + \dim(G) > n. Montrer que F∩G≠{0}F \cap G \neq \{0\}.

Application : deux sous-espaces de dimension 3 de R5\R^5.

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  1. F+GF + G est un sous-espace de EE, donc dim⁡(F+G)≤n\dim(F + G) \leq n.

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de la voie EC, mathématiques approfondies de première année, enseignement du second semestre, partie I « Algèbre linéaire », paragraphes « Espaces vectoriels de dimension finie » et « Compléments sur les espaces vectoriels ». Le programme précise que dans ces deux sections aucune démonstration n'est exigible. On retient les énoncés, les hypothèses exactes et les méthodes d'utilisation, et l'on indique l'idée de certaines preuves pour la compréhension.