Variables aléatoires réelles discrètes et lois usuelles

Exercice 1. Une loi sans espérance ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

Déterminer $c$ pour que $$P(X = k) = \frac{c}{k(k + 1)},$$ pour $k \geq 1$, définisse une loi.

Calculer $P(X > n)$.

$X$ admet-elle une espérance ? Et $\sqrt{X}$ ?

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Technique télescopage, puis critère de convergence absolue.

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1. On a $1/(k(k+1))=1/k-1/(k+1)$, donc la somme partielle jusqu'à $n$ vaut $1-1/(n+1)$, de limite $1$. Ainsi $c=1$.
2. $P(X>n)=1-n/(n+1)=1/(n+1)$.
3. Le terme $kP(X=k)=1/(k+1)$ est positif et la série diverge, comme la série harmonique. $X$ n'a pas d'espérance.
4. $\sqrt{k}/(k(k+1))$ est équivalent à $1/k^{3/2}$, terme d'une série de Riemann convergente. $\sqrt{X}$ admet donc une espérance, par transfert.

piège : Conclure que « $E(X)$ vaut plus l'infini ». On dit que $X$ n'admet pas d'espérance.

Exercice 2. Espérance de 1/(X + 1) pour une loi de Poisson ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

$X$ suit $P(\lambda)$.

Montrer que $\frac{1}{X + 1}$ admet une espérance et la calculer.

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1. On a $0\leq 1/(X+1)\leq 1$, et la constante $1$ admet une espérance, donc la domination assure l'existence.

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Exercice 3. Parité d'une variable géométrique ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

$X$ suit $G(p)$, avec $q = 1 - p$.

Calculer $P(X \text{ pair})$ et comparer à $\frac{1}{2}$.

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1. $[X\text{ pair}]$ est la réunion disjointe des $[X=2j]$ pour $j\geq 1$.

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Exercice 4. Mode d'une loi de Poisson ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

$X$ suit $P(\lambda)$.

Pour quelle valeur de $k$ la probabilité $P(X = k)$ est-elle maximale ?

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Exercice 5. Valeur absolue d'une loi uniforme symétrique ★

Application du cours · 20 min · Niveau khôlle

$X$ est uniforme sur les entiers de $-n$ à $n$.

Donner la loi de $Y = |X|$, puis $E(Y)$ et $V(X)$.

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1. $Y$ prend les valeurs $0$ à $n$. $P(Y=0)=1/(2n+1)$ et $P(Y=k)=2/(2n+1)$ pour $1\leq k\leq n$.

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Exercice 6. Premier changement de face ★★

Classiques de khôlle et concours · 35 min · Niveau écrit Ecricome

On lance indéfiniment une pièce qui donne pile avec la probabilité $p$, où $$0 < p < 1 \quad \text{et} \quad q = 1 - p.$$ $X$ est le rang du premier lancer dont le résultat diffère du précédent.

Déterminer la loi de $X$ et $E(X)$.

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1. $X$ prend ses valeurs dans les entiers $k\geq 2$. …

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Exercice 7. Espérance par la queue de la loi ★★

Classiques de khôlle et concours · 40 min · Niveau écrit BCE, type EDHEC

$X$ est à valeurs dans $\N$.

Montrer que $X$ admet une espérance si et seulement si la série des $P(X \geq k)$, pour $k \geq 1$, converge, et qu'alors $E(X)$ est sa somme.

Application à $G(p)$.

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Exercice 8. Jeu arrêté à un rang fixé ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle ou écrit

$X$ suit $G(p)$ et $N \geq 1$ est un entier fixé.

On pose $Z = \min(X, N)$, une fonction de la seule variable $X$.

Donner la loi de $Z$ et $E(Z)$.

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1. $Z$ prend les valeurs $1$ à $N$. Pour $k\leq N-1$, $[Z=k]=[X=k]$, donc $P(Z=k)=pq^{k-1}$.

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Exercice 9. Caractérisation par l'absence de mémoire ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, type emlyon

$X$ est à valeurs dans $\mathbb{N}^*$, avec $P(X > n) > 0$ pour tout $n$. On suppose que $P(X > n + k) = P(X > n)P(X > k)$ pour tous entiers naturels $n$ et $k$. Montrer que $X$ suit une loi géométrique.

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Exercice 10. Tri aléatoire d'une variable de Poisson ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC

Le nombre $X$ de clients d'une journée suit $P(\lambda)$.

Chaque client achète avec la probabilité $p$, indépendamment des autres, et $q = 1 - p$.

On modélise ainsi : pour tout $n$, la loi de $Y$ sachant $[X = n]$ est $B(n, p)$, où $Y$ est le nombre d'acheteurs.

Déterminer la loi de $Y$.

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1. Les $[X=n]$, pour $n$ dans $N$, forment un système complet d'événements de probabilités non nulles.

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