Espace probabilisé

Exercice 1. Probabilité sur N ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

On suppose qu'il existe une probabilité $P$ sur $\N$, avec pour ensemble des événements toutes les parties de $\N$, telle que $P(\{n\}) = \frac{a}{3^n}$ pour tout $n$.

(a) Déterminer $a$.

(b) Calculer la probabilité de l'ensemble des entiers pairs.

(c) Montrer qu'aucune probabilité sur $\N$ ne donne la même valeur à tous les singletons.

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Technique $\sigma$-additivité sur les singletons.

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1. $N$ est la réunion disjointe des singletons, donc $1 = \sum a/3^n = a \times 3/2$, d'où $a = 2/3$.
2. Les pairs forment la réunion disjointe des $\{2k\}$. Leur probabilité vaut $(2/3) \sum 1/9^k = (2/3)(9/8) = 3/4$.
3. Si $P(\{n\}) = c$ pour tout $n$, la série de terme constant $c$ converge vers $1$. Cela impose $c = 0$, et alors la somme vaut $0$, contradiction.

piège : Écrire $P(N) = \sum P(\{n\})$ sans dire que les singletons sont deux à deux incompatibles.

Exercice 2. Preuve de la limite monotone ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau khôlle

Démontrer le théorème de la limite monotone pour une suite croissante, puis en déduire la version décroissante.

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1. On pose C₀ = A₀ et C_n = A_n ∩ Ā_n−1 pour n ≥ 1. …

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Exercice 3. Réunion d'événements négligeables ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

(a) Montrer que $$P(B_0 \cup \cdots \cup B_n) \leq P(B_0) + \cdots + P(B_n).$$ (b) En déduire qu'une réunion dénombrable d'événements négligeables est négligeable, puis qu'une intersection dénombrable d'événements presque sûrs est presque sûre.

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1. Pour deux événements, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ≤ P(A) + P(B). …

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Exercice 4. Jeu alterné ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

Deux joueurs lancent à tour de rôle une pièce donnant pile avec probabilité $p \in ]0, 1[$, les lancers étant mutuellement indépendants.

Le joueur $A$ commence, et le premier qui obtient pile gagne.

Calculer la probabilité de gain de chacun.

La partie s'arrête-t-elle ?

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1. On pose $q = 1 - p$. Par indépendance des lancers, le premier pile arrive au rang $k$ avec probabilité $q^{k-1}p$, et $A$ gagne si ce rang est impair.

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Exercice 5. Chaîne à deux états ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit Ecricome

Chaque jour il fait beau ou il pleut.

S'il fait beau un jour, il fait beau le lendemain avec probabilité $\frac{3}{4}$.

S'il pleut, il fait beau le lendemain avec probabilité $\frac{1}{2}$.

Le jour $0$, il fait beau avec probabilité $\frac{1}{2}$.

On note $p_n$ la probabilité qu'il fasse beau le jour $n$.

Calculer $p_n$ et sa limite.

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Exercice 6. Urne de Pólya ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Type écrit EDHEC

Une urne contient une boule blanche et une noire.

À chaque tirage, on remet la boule tirée et on ajoute une boule de même couleur.

(a) Probabilité que les $n$ premiers tirages donnent blanc.

(b) Probabilité de ne tirer que du blanc.

(c) Probabilité que la première noire sorte au tirage $n$.

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1. On note $W_k$ « blanche au tirage $k$ ». …

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Exercice 7. Nombre aléatoire de lancers et Bayes ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type écrit Ecricome

On choisit un entier $N \geq 1$ avec $$P(N = n) = \frac{1}{2^n},$$ puis on lance $N$ dés équilibrés indépendants.

(a) Probabilité de l'événement $E$ « aucun 6 ».

(b) Probabilité que $N = 1$ sachant $E$.

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1. Les événements $[N = n]$, pour $n \geq 1$, forment un système complet d'événements non négligeables, car la somme des $1/2^n$ vaut $1$.

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Exercice 8. Indépendance deux à deux et mutuelle ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

(a) Sur $\{1, 2, 3, 4\}$ muni de la probabilité uniforme, on pose $$A = \{1, 2\}, \quad B = \{1, 3\} \quad \text{et} \quad C = \{1, 4\}.$$ Étudier l'indépendance.

(b) Montrer que si $A$, $B$, $C$ sont mutuellement indépendants, $A$ et $B \cup C$ sont indépendants.

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1. On a $P(A) = P(B) = P(C) = 1/2$ et chaque intersection de deux événements vaut $\{1\}$, de probabilité $1/4$. …

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Exercice 9. Produit infini ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC

On effectue une suite d'essais.

Les événements $S_n$ « succès à l'essai $n$ », pour $n \geq 1$, sont mutuellement indépendants, avec $P(S_n) = p_n$.

Calculer la probabilité de n'obtenir aucun succès dans les cas $$p_n = \frac{1}{n + 1} \quad \text{et} \quad p_n = \frac{1}{(n + 1)^2}.$$

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1. Les $\bar{S}_n$ sont mutuellement indépendants. …

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Exercice 10. Une infinité de piles ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC

On lance indéfiniment une pièce donnant pile avec probabilité $p \in ]0, 1[$, les lancers étant indépendants.

Montrer qu'on obtient presque sûrement une infinité de piles.

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1. On note $F_k$ « face au lancer $k$ ». …

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