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ECG1 · Maths approfondies · semaine 30

Couples de variables aléatoires discrètes

Caractérisation de la loi d'un couple de variables discrètes et indépendance de deux variables. Stabilité des lois binomiale et de Poisson par somme. Loi de Z = g(X, Y), théorème de transfert et espérance d'un produit de variables indépendantes.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. La loi d'un couple est la donnée des probabilités des intersections [X=x][X=x] et [Y=y][Y=y], et les marginales s'en déduisent par sommation.
  2. Les lois marginales ne suffisent jamais à reconstituer la loi conjointe, sauf sous hypothèse d'indépendance, qui équivaut à la factorisation des probabilités.
  3. La somme de deux binomiales indépendantes de même paramètre pp est binomiale ; la somme de deux lois de Poisson indépendantes est de Poisson de paramètre la somme.
  4. Pour une loi de maximum, on passe par l'événement inférieur ou égal ; pour un minimum, par l'événement strictement supérieur.
  5. Le transfert en deux variables donne la linéarité de l'espérance sans indépendance, alors que E(XY)=E(X)E(Y)\E(XY)=\E(X)\E(Y) exige l'indépendance.
Pourquoi ce chapitre

Une seule variable aléatoire décrit une grandeur. Deux variables décrivent deux grandeurs mesurées sur la même expérience, et la question nouvelle est celle de leur lien. Observer XX renseigne-t-il sur YY ?

La loi conjointe contient toute l'information sur le couple, et les lois marginales n'en contiennent qu'une partie.

Le chapitre donne :

  • le critère d'indépendance ;
  • deux résultats de stabilité, l'un pour la loi binomiale et l'autre pour la loi de Poisson ;
  • le théorème de transfert en deux variables.

C'est enfin ce chapitre qui justifie, a posteriori, la linéarité de l'espérance admise auparavant. Aux concours, les exercices de probabilités de deuxième partie reposent presque toujours sur un couple, avec un conditionnement du type : sachant que XX vaut nn, YY suit telle loi.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Dans toute cette section, q désigne 1 − p.

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Lois marginales et indépendance 1

Exercice 1. Tableau conjoint ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

XX prend les valeurs 00, 11, 22 et YY les valeurs 00, 11.

La loi conjointe est la suivante : P(0,0)=P(0,1)=16,P(0, 0) = P(0, 1) = \frac{1}{6}, P(1,0)=13,P(1,1)=0,P(1, 0) = \frac{1}{3}, \qquad P(1, 1) = 0, P(2,0)=P(2,1)=16.P(2, 0) = P(2, 1) = \frac{1}{6}. Déterminer les marginales, étudier l'indépendance, puis trouver la loi de X+YX + Y et comparer E(XY)E(XY) à E(X) E(Y)E(X)\,E(Y).

Voir l'indice

Technique lecture des marges, un contre-exemple de case, puis le transfert.

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  1. La somme des cases vaut 11. XX est uniforme sur {0,1,2}\{0, 1, 2\}, et P(Y=0)=2/3P(Y = 0) = 2/3, P(Y=1)=1/3P(Y = 1) = 1/3.
  2. P(1,1)=0P(1, 1) = 0, alors que P(X=1)P(Y=1)=1/9P(X = 1) P(Y = 1) = 1/9. Les variables ne sont donc pas indépendantes.
  3. Loi de S=X+YS = X + Y : P(S=0)=1/6,P(S=1)=1/6+1/3=1/2,P(S=2)=0+1/6=1/6,P(S=3)=1/6.P(S = 0) = 1/6,\quad P(S = 1) = 1/6 + 1/3 = 1/2,\quad P(S = 2) = 0 + 1/6 = 1/6,\quad P(S = 3) = 1/6.
  4. Par transfert, E(XY)=2×1×1/6=1/3E(XY) = 2 \times 1 \times 1/6 = 1/3. Or E(X)E(Y)=1×1/3=1/3E(X) E(Y) = 1 \times 1/3 = 1/3. L'égalité a lieu sans indépendance.
  5. Vérification : E(S)=4/3=E(X)+E(Y)E(S) = 4/3 = E(X) + E(Y).

piège : Conclure à l'indépendance à partir de E(XY)=E(X)E(Y)E(XY) = E(X) E(Y).

Somme, minimum et maximum 3

Exercice 2. Somme de deux géométriques ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

XX et YY sont indépendantes et suivent la loi G(p)G(p).

Donner la loi de S=X+YS = X + Y.

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  1. SS prend ses valeurs dans les entiers n≥2n \geq 2.

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Exercice 3. Minimum et maximum de deux géométriques ★★★

Approfondissement · 35 min · Niveau khôlle

XX et YY sont indépendantes de loi G(p)G(p).

On pose m=min⁡(X,Y)m = \min(X, Y) et M=max⁡(X,Y).M = \max(X, Y). Donner la loi de mm, celle de MM, puis E(M)E(M).

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  1. Pour n≥0n \geq 0, P(m>n)=P(X>n)P(Y>n)=q2nP(m > n) = P(X > n) P(Y > n) = q^{2n}. …

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Exercice 4. Maximum de deux tirages uniformes ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

XX et YY sont indépendantes et uniformes sur [[1,n]][[1, n]].

Donner la loi et l'espérance de M=max⁡(X,Y)M = \max(X, Y).

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  1. P(M≤k)=k2/n2P(M \leq k) = k^2/n^2 pour kk dans [[0,n]][[0, n]].

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Comparaison de deux variables 1

Exercice 5. Égalité et comparaison ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

XX et YY sont indépendantes de loi G(p)G(p).

Calculer P(X=Y)P(X = Y) et P(X<Y)P(X < Y).

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Lois marginales et indépendance 1

Exercice 6. Loi factorisée ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit Ecricome

Un couple à valeurs dans N2\N^2 vérifie P([X=i]∩[Y=j])=a 2ii! 3j.P([X = i] \cap [Y = j]) = \frac{a\, 2^i}{i!\, 3^j}. Trouver aa, les marginales, et montrer l'indépendance.

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  1. La somme double se sépare en (∑2i/i!)(∑3−j)=e2×3/2(\sum 2^i/i!)(\sum 3^{-j}) = e^2 \times 3/2. …

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Lois conditionnelles 3

Exercice 7. Uniformes emboîtées ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, type EDHEC

XX est uniforme sur [[1,n]][[1, n]] et, sachant [X=k][X = k], YY est uniforme sur [[1,k]][[1, k]].

Donner la loi de YY et E(Y)E(Y).

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  1. Pour j≤kj \leq k, P(X=k,Y=j)=1/(nk)P(X = k, Y = j) = 1/(nk). …

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Exercice 8. Amincissement d'une loi de Poisson ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit BCE, d'après un écrit ESSEC

NN suit P(λ)P(\lambda).

Sachant [N=n][N = n], XX suit B(n,p)B(n, p), avec X=0X = 0 si n=0n = 0.

On pose Y=N−X.Y = N - X. Montrer que XX suit P(λp)P(\lambda p), que YY suit P(λq)P(\lambda q), et que XX et YY sont indépendantes.

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  1. Pour k≤nk \leq n, P(N=n,X=k)=e−λ(λn/n!)C(n,k)pkqn−kP(N = n, X = k) = e^{-\lambda} (\lambda^n/n!) C(n, k) p^k q^{n-k}. …

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Exercice 9. Loi conditionnelle sachant la somme ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

XX et YY sont indépendantes, de lois P(λ)P(\lambda) et P(μ)P(\mu).

Pour nn fixé, donner la loi de XX sachant [X+Y=n][X + Y = n].

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  1. X+YX + Y suit P(λ+μ)P(\lambda + \mu), donc P(X+Y=n)>0P(X + Y = n) > 0.

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Lois marginales et indépendance 1

Exercice 10. Minimum et écart indépendants ★★★

Approfondissement · 40 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC

XX et YY sont indépendantes de loi G(p)G(p).

On pose U=min⁡(X,Y)U = \min(X, Y) et V=X−Y.V = X - Y. Montrer que UU et VV sont indépendantes, puis donner la loi de VV.

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  1. Soient u≥1u \geq 1 et vv dans ZZ. Si v≥0v \geq 0, l'événement [U=u,V=v][U = u, V = v] est [Y=u,X=u+v][Y = u, X = u + v], de probabilité p2q2u−2+vp^2 q^{2u-2+v}.

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de la voie EC, mathématiques approfondies de première année, enseignement du second semestre, partie III « Probabilités sur un ensemble quelconque », paragraphe 4 « Couples de variables aléatoires réelles discrètes ».