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ECG1 · Maths approfondies · semaine 22

Séries numériques

Convergence d'une série, somme et reste, séries à termes positifs et théorèmes de comparaison par majoration, équivalence et négligeabilité. Convergence absolue et implication de la convergence, séries de Riemann. Séries géométriques et leurs deux premières dérivées, série exponentielle et étude d'une suite par la série des différences.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Une série converge lorsque la suite de ses sommes partielles converge, et le terme général tend alors nécessairement vers 00.
  2. Une série à termes positifs converge si et seulement si ses sommes partielles sont majorées, ce qui rend les comparaisons possibles.
  3. Majoration, équivalence et négligeabilité permettent de conclure, à condition que le signe soit constant à partir d'un certain rang.
  4. La convergence absolue entraîne la convergence, et c'est la voie de secours pour un terme général de signe variable.
  5. Les séries de référence sont les séries de Riemann, les géométriques et leurs deux dérivées, et la série exponentielle.
Pourquoi ce chapitre

Une série est une somme infinie. Additionner une infinité de nombres n'a pas de sens immédiat : il faut définir ce que l'on entend par là.

La question centrale du chapitre est de décider si la somme existe. On dit alors que la série converge. Pour trancher, on dispose de théorèmes de comparaison qui utilisent directement les équivalents du chapitre précédent.

  • Les variables aléatoires discrètes prenant une infinité de valeurs ont une espérance définie par une série, dont il faut d'abord prouver la convergence absolue.
  • Les lois géométrique et de Poisson reposent sur les séries géométriques dérivées et sur la série exponentielle.
  • Aux concours, un exercice de probabilités commence très souvent par une étude de série.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Nature d'une série 2

Exercice 1. Quatre natures ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Étudier, pour n≥1n \geq 1, les séries de termes généraux suivants. (a) n2+1n4+3\frac{n^2 + 1}{n^4 + 3}. (b) 1n(n+1)\frac{1}{\sqrt{n(n + 1)}}. (c) (1−1n)n\left(1 - \frac{1}{n}\right)^n. (d) e−ne^{-\sqrt{n}}.

Voir l'indice

Technique premier réflexe sur la limite, puis équivalent ou règle nαunn^{\alpha} u_n.

Voir le corrigé offert
  1. (a) Le terme est positif et équivalent à 1/n21/n^2. La série converge.
  2. (b) Le terme est positif. Comme n(n+1)∼n\sqrt{n(n + 1)} \sim n par compatibilité avec la puissance 1/21/2, le terme est équivalent à 1/n1/n. La série diverge.
  3. (c) On écrit (1−1/n)n=exp⁡(nln⁡(1−1/n))(1 - 1/n)^n = \exp(n \ln(1 - 1/n)). Comme ln⁡(1−1/n)∼−1/n\ln(1 - 1/n) \sim -1/n, l'exposant tend vers −1-1. Le terme tend donc vers 1/e≠01/e \neq 0, et la série diverge grossièrement.
  4. (d) Avec t=nt = \sqrt{n}, on a n2e−n=t4e−tn^2 e^{-\sqrt{n}} = t^4 e^{-t}, qui tend vers 00. La série converge.

piège : En (c), conclure que le terme tend vers 11 parce que 1−1/n1 - 1/n tend vers 11. C'est une forme indéterminée.

Exercice 4. Série à deux paramètres ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Pour x>0x > 0 et aa réel, étudier la nature de ∑n≥1naxn\sum_{n \geq 1} n^a x^n.

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Calcul de somme 3

Exercice 3. Somme de k² xk ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Pour ∣x∣<1|x| < 1, montrer que ∑k≥1k2xk\sum_{k \geq 1} k^2 x^k converge et vaut x(1+x)(1−x)3.\frac{x(1 + x)}{(1 - x)^3}.

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Exercice 5. Signe variable et formules de référence ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Justifier la convergence et calculer ∑n≥0n(−12)n\sum_{n \geq 0} n\left(-\frac{1}{2}\right)^n et ∑n≥0(−2)nn!\sum_{n \geq 0} \frac{(-2)^n}{n!}.

Voir le début du corrigé
  1. On a ∣n(−1/2)n∣=n/2n|n(-1/2)^n| = n/2^n, terme d'une série convergente. …

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Exercice 2. Un logarithme télescopique ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Montrer que ∑n≥2ln⁡(1−1n2)\sum_{n \geq 2} \ln\left(1 - \frac{1}{n^2}\right) converge et calculer sa somme.

Voir le début du corrigé
  1. Pour n≥2n \geq 2, 1−1/n21 - 1/n^2 appartient à ]0,1[]0, 1[, donc le terme est négatif. …

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Lois de probabilité 2

Exercice 6. Les sommes de la loi géométrique ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type écrit EDHEC

Soit p∈]0,1[p \in ]0, 1[ et q=1−pq = 1 - p. Justifier la convergence des séries suivantes et calculer leurs sommes : A=∑k≥1pqk−1A = \sum_{k \geq 1} p q^{k-1}, B=∑k≥1kpqk−1B = \sum_{k \geq 1} k p q^{k-1} et C=∑k≥1k2pqk−1C = \sum_{k \geq 1} k^2 p q^{k-1}. Calculer enfin C−B2C - B^2.

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Exercice 7. Une loi à normaliser ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type écrit emlyon

Déterminer cc réel tel que la famille des pk=c k+12k,p_k = c\,\frac{k + 1}{2^k}, pour k≥0k \geq 0, soit formée de réels positifs de somme 11. Calculer ensuite ∑kpk\sum k p_k.

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Étude asymptotique 2

Exercice 8. La constante d'Euler ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit Ecricome

On pose Hn=∑k=1n1kH_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} et un=Hn−ln⁡nu_n = H_n - \ln n. Montrer que (un)(u_n) converge en étudiant wn=un−un+1w_n = u_n - u_{n+1}.

Voir le début du corrigé
  1. Pour x>−1x > -1, on a ln⁡(1+x)≤x\ln(1 + x) \leq x, par concavité. …

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Exercice 9. Équivalent d'un reste ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit HEC ou ESSEC

Soit Rn=∑k≥n+11k2.R_n = \sum_{k \geq n+1} \frac{1}{k^2}. Montrer que 1n+1≤Rn≤1n,\frac{1}{n + 1} \leq R_n \leq \frac{1}{n}, puis que Rn∼1nR_n \sim \frac{1}{n}.

Voir le début du corrigé
  1. La fonction t↦1/t2t \mapsto 1/t^2 est décroissante. …

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Suite récurrente et séries 1

Exercice 10. Une suite récurrente et deux séries ★★★

Approfondissement · 40 min · Type écrit HEC ou ESSEC

Soit u0∈]0,1[u_0 \in ]0, 1[ et un+1=un−un2.u_{n+1} = u_n - u_n^2. (a) Montrer que (un)(u_n) décroît vers 00. (b) Montrer que ∑un2\sum u_n^2 converge et calculer sa somme. (c) Montrer que ∑un\sum u_n diverge.

Voir le début du corrigé
  1. Par récurrence, si un∈]0,1[u_n \in ]0, 1[, alors un+1=un(1−un)∈]0,1[u_{n+1} = u_n(1 - u_n) \in ]0, 1[.

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de la voie EC, mathématiques approfondies de première année, enseignement du second semestre, partie II « Compléments d'analyse », paragraphe « Séries numériques ».