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ECG1 · Maths approfondies · semaine 24

Intégrales sur un intervalle quelconque

Convergence de l'intégrale d'une fonction continue sur un intervalle semi-ouvert, linéarité, relation de Chasles et positivité. Cas des fonctions positives avec les théorèmes de comparaison par majoration, équivalence et négligeabilité, convergence absolue. Intégration par parties et changement de variables pour les intégrales généralisées, en vue des variables à densité.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Une intégrale sur un intervalle semi-ouvert converge lorsque l'intégrale sur le segment tronqué admet une limite finie en la borne impropre.
  2. Sur un intervalle ouvert aux deux bouts, on coupe et on exige la convergence de chaque morceau séparément.
  3. Pour une fonction positive, la convergence équivaut à la majoration des intégrales tronquées, ce qui donne les théorèmes de comparaison par majoration, équivalence et négligeabilité.
  4. La convergence absolue entraîne la convergence, et c'est la voie de secours pour une fonction de signe variable.
  5. Les références sont :
    • l'intégrale de Riemann en l'infini avec α>1\alpha>1 ;
    • l'intégrale de Riemann en une borne finie avec α<1\alpha<1 ;
    • l'intégrale exponentielle qui vaut 1α\frac1\alpha pour α>0\alpha>0.
Pourquoi ce chapitre

L'intégrale vue au premier semestre concerne une fonction continue sur un segment, donc sur un intervalle fermé et borné. Beaucoup de situations sortent de ce cadre :

  • l'intervalle peut être infini, comme dans ∫0+∞e−t dt\int_0^{+\infty}\e^{-t}\,\dd t ;
  • il peut être borné mais ouvert en une extrémité où la fonction n'est pas définie, comme pour ∫011t dt\int_0^1\frac{1}{\sqrt t}\,\dd t.

Il faut donc étendre la définition, et surtout savoir décider si l'objet a un sens.

La structure du chapitre est jumelle de celle des séries. On remplace la suite des sommes partielles par la fonction qui à xx associe ∫axf(t) dt\int_a^x f(t)\,\dd t, et tous les théorèmes de comparaison se transposent.

C'est l'outil qui permettra en deuxième année de définir :

  • une densité de probabilité ;
  • une espérance continue ;
  • les lois normale, exponentielle et gamma.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Calcul d'intégrale impropre 4

Exercice 1. Décomposition et limite ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Montrer que ∫1+∞dtt(t+1)\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t(t+1)} converge et calculer sa valeur.

Voir l'indice

Technique convergence par équivalent, puis calcul sur un segment.

Voir le corrigé offert
  1. La fonction est continue et positive sur [1,+∞[[1, +\infty[, équivalente à 1/t21/t^2 en +∞+\infty. Elle converge par comparaison à la référence de Riemann avec α=2\alpha = 2.
  2. On écrit 1/(t(t+1))=1/t−1/(t+1).1/(t(t + 1)) = 1/t - 1/(t + 1).
  3. Pour x≥1x \geq 1, ∫1x=ln⁡x−ln⁡(x+1)+ln⁡2=ln⁡(x/(x+1))+ln⁡2.\int_1^x = \ln x - \ln(x + 1) + \ln 2 = \ln(x/(x + 1)) + \ln 2.
  4. Quand xx tend vers +∞+\infty, x/(x+1)x/(x + 1) tend vers 11. L'intégrale vaut ln⁡2\ln 2.

piège : Écrire ∫1+∞dt/t−∫1+∞dt/(t+1)\int_1^{+\infty} dt/t - \int_1^{+\infty} dt/(t + 1). Ce sont deux intégrales divergentes, la linéarité est interdite.

Exercice 2. Intégrale du logarithme ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Montrer que ∫01ln⁡t dt\int_0^1 \ln t \, dt converge et la calculer.

Voir le début du corrigé
  1. ln⁡\ln est continue sur ]0,1]]0, 1] et n'a pas de limite finie en 00. …

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Exercice 5. Moments de la loi exponentielle ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau écrit Ecricome

Pour nn entier, on pose In=∫0+∞tne−t dt.I_n = \int_0^{+\infty} t^n e^{-t} \, dt. Montrer que InI_n converge et que In=n!I_n = n!.

Voir le début du corrigé
  1. La fonction est continue et positive sur [0,+∞[[0, +\infty[. …

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Exercice 6. Une densité sur R ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

Soit f(t)=c e−∣t∣.f(t) = c\,e^{-|t|}. Déterminer cc pour que ff soit une densité.

Montrer que ∫−∞+∞tf(t) dt\int_{-\infty}^{+\infty} t f(t)\,dt converge absolument et vaut 00, puis calculer ∫−∞+∞t2f(t) dt.\int_{-\infty}^{+\infty} t^2 f(t)\,dt.

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  1. ff est continue sur RR et positive si c≥0c \geq 0. …

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Nature selon un paramètre 1

Exercice 3. Deux bornes, deux conditions ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Déterminer les réels α\alpha pour lesquels ∫0+∞dttα(1+t)\int_0^{+\infty} \frac{dt}{t^{\alpha}(1+t)} converge.

Voir le début du corrigé
  1. La fonction est continue et positive sur ]0,+∞[]0, +\infty[. …

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Limite et intégrabilité 1

Exercice 4. Limite de f à l'infini ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Soit ff continue sur [0,+∞[[0, +\infty[, admettant une limite finie ℓ\ell en +∞+\infty.

On suppose que ∫0+∞f\int_0^{+\infty} f converge.

Montrer que ℓ=0\ell = 0.

Voir le début du corrigé
  1. Supposons ℓ>0\ell > 0. Il existe A≥0A \geq 0 tel que f(t)≥ℓ/2f(t) \geq \ell/2 pour t≥At \geq A.

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Changement de variable 2

Exercice 7. Changement de variable indiqué ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau écrit Ecricome

À l'aide du changement de variable t=u2t = u^2, montrer que ∫0+∞e−t dt\int_0^{+\infty} e^{-\sqrt{t}}\,dt converge et la calculer.

Voir le début du corrigé
  1. φ(u) = u² est une bijection de ]0, +∞[ sur ]0, +∞[, croissante et de classe C¹, avec φ′(u) = 2u. …

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Exercice 8. Puissances du logarithme ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau écrit BCE, type EDHEC

Pour nn entier, on pose Jn=∫1+∞(ln⁡t)nt2 dt.J_n = \int_1^{+\infty} \frac{(\ln t)^n}{t^2}\,dt. Montrer la convergence, puis, avec le changement de variable t=eut = e^u, montrer que Jn=n!J_n = n!.

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Séries et intégrales 1

Exercice 9. Comparaison série intégrale ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC

Soit ff continue, positive et décroissante sur [1,+∞[[1, +\infty[.

Montrer que ∫1+∞f\int_1^{+\infty} f et ∑f(n)\sum f(n) sont de même nature.

En déduire que ln⁡(n+1)≤∑k=1n1k≤1+ln⁡n.\ln(n+1) \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \leq 1 + \ln n.

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Équivalent d'un reste 1

Exercice 10. Équivalent d'un reste ★★★

Approfondissement · 35 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC

Pour x>0x > 0, on pose F(x)=∫x+∞e−tt dt.F(x) = \int_x^{+\infty} \frac{e^{-t}}{t}\,dt. Montrer que FF est bien définie, puis que F(x)F(x) est équivalent à e−xx\frac{e^{-x}}{x} quand xx tend vers +∞+\infty.

Voir le début du corrigé
  1. Pour t≥xt \geq x, 0≤e−t/t≤e−t/x0 \leq e^{-t}/t \leq e^{-t}/x, et ∫e−t\int e^{-t} converge. …

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de la voie EC, mathématiques approfondies de première année, enseignement du second semestre, partie II « Compléments d'analyse », paragraphe 4 « Intégrales sur un intervalle quelconque ». Le programme demande d'éviter toute technicité, l'objectif étant de fournir les outils nécessaires à l'étude des variables aléatoires à densité.