Comparaison des suites et des fonctions

Exercice 1. Choisir le terme dominant ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Donner un équivalent simple, puis la limite, de $$u_n = \frac{n^3 + 2^n}{n! + 5^n},$$ de $v_n = \sqrt{n + \sqrt{n}}$ et de $w_n = \ln(n + e^n)$.

Exercice 2. Au-delà des croissances comparées ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Soit $q > 0$.

Montrer que $q^n = o(n!)$ et que $n! = o(n^n)$.

Exercice 3. Équivalents usuels composés ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Calculer la limite en $0$ de $\frac{\ln(1 + 3x)}{e^{2x} - 1}$, puis la limite de $n(2^{1/n} - 1)$.

Donner un équivalent de $n^{1/n} - 1$.

Exercice 4. Formes 1^∞ ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Soit $a$ réel non nul.

Étudier la limite de $\left(1 + \frac{a}{n}\right)^n$, puis celle de $\left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n^2}$ pour $n \geq 2$.

Exercice 5. Logarithme d'un équivalent ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ strictement positives, avec $u_n \sim v_n$ et $v_n \to l$, où $l \in [0, +\infty]$ et $l \neq 1$.

Montrer que $\ln u_n \sim \ln v_n$.

Appliquer à $\ln(n^2 + n + 1)$.

Exercice 6. Le point compte ★

Application du cours · 10 min · Niveau écrit Ecricome

(a) Donner un équivalent de $x^x - 1$ quand $x$ tend vers $0$ à droite. (b) Donner un équivalent de $$f(x) = \ln(1 + e^x)$$ en $+\infty$, en $-\infty$ et en $0$.

Exercice 7. Somme harmonique ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau écrit Ecricome

On pose $$H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}.$$ Montrer que $$\frac{1}{k+1} \leq \ln(k+1) - \ln k \leq \frac{1}{k}$$ pour $k \geq 1$.

En déduire que $H_n \sim \ln n$.

Exercice 8. Suite définie implicitement ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit BCE, type EDHEC

Montrer que, pour tout entier $n \geq 1$, l'équation $$e^x + x = n$$ a une unique solution réelle $x_n$.

Montrer que $x_n \to +\infty$, puis que $x_n \sim \ln n$, puis que $$x_n = \ln n - \frac{\ln n}{n} + o\left(\frac{\ln n}{n}\right).$$

Exercice 9. Suite récurrente ★★★

Approfondissement · 40 min · Niveau écrit BCE, type emlyon

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $$u_{n+1} = u_n + \frac{1}{u_n}.$$ Montrer que $u_n \sim \sqrt{2n}$.

Exercice 10. Classement de suites ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC

On admet que $e^x \geq \frac{x^n}{n!}$ pour tout $x \geq 0$ et tout entier $n$, ce qui se prouve par récurrence en dérivant $e^x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$.

Montrer que $\ln(n!) \sim n \ln n$.

Ranger ensuite $n^{\sqrt{n}}$, $2^n$, $(\sqrt{n})^n$ et $n!$ par ordre de négligeabilité.