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ECG2 · Maths approfondies · semaine 18

Réduction des endomorphismes et des matrices symétriques

Tout endomorphisme symétrique d'un espace euclidien est diagonalisable et ses sous-espaces propres sont orthogonaux. Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable avec une matrice de passage orthogonale. Ce résultat sert ensuite à l'étude des extrema et à l'analyse de données.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Un endomorphisme ff d’un espace euclidien est symétrique quand ⟨f(x),y⟩=⟨x,f(y)⟩\langle f(x),y\rangle=\langle x,f(y)\rangle pour tous xx et yy, ce qui équivaut à la symétrie de sa matrice dans une base orthonormée.
  2. Les sous-espaces propres d’un endomorphisme symétrique sont deux à deux orthogonaux, et cette démonstration courte est exigible.
  3. Théorème spectral, admis : tout endomorphisme symétrique d’un espace euclidien est diagonalisable dans une base orthonormée de vecteurs propres.
  4. Version matricielle : toute matrice symétrique réelle AA s’écrit A=PD tPA=PD\,{}^tP avec PP orthogonale et DD diagonale réelle.
  5. La fonction quadratique h↦tHAHh\mapsto{}^tH AH se réduit à une somme ∑i=1nλihi2\sum_{i=1}^n\lambda_i h_i^2 dans la base orthonormée de vecteurs propres, donc son signe est celui des valeurs propres.
Pourquoi ce chapitre

On a vu au troisième semestre la diagonalisation générale, qui échoue souvent, et la géométrie euclidienne, avec le produit scalaire et les bases orthonormées. Ce chapitre fait se rencontrer les deux.

Le résultat central dit que la diagonalisation ne peut pas échouer pour une matrice symétrique réelle, et qu’on peut de plus la réaliser dans une base orthonormée.

Ce théorème est l’outil qui permet, dans la deuxième partie du programme, de lire le signe d’une fonction quadratique sur le signe des valeurs propres de sa matrice, donc de conclure sur la nature d’un point critique d’une fonction de nn variables.

Aux concours, il apparaît dans deux rôles :

  • comme exercice d’algèbre autonome ;
  • comme lemme dans un problème d’optimisation ou d’analyse de données.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Diagonalisation orthogonale 3

Exercice 1. Trois valeurs propres distinctes ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Diagonaliser dans une base orthonormée la matrice AA de lignes (1,−1,0),(−1,2,−1),(0,−1,1).(1, -1, 0), \quad (-1, 2, -1), \quad (0, -1, 1).

Voir l'indice

Technique tester des vecteurs simples.

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  1. A est symétrique réelle, donc diagonalisable dans une base orthonormée. 2. Les sommes de lignes sont nulles, donc A(1, 1, 1) = 0. 3. On calcule A(1, 0, −1) = (1, 0, −1) et A(1, −2, 1) = (3, −6, 3). 4. Trois valeurs propres distinctes 0, 1, 3 en dimension 3 : il n'y en a pas d'autre, et chaque sous-espace propre est une droite. 5. Les trois vecteurs sont automatiquement orthogonaux. On les norme par √3, √2 et √6. 6. P a pour colonnes ces vecteurs normés et tP A P = diag(0, 1, 3).

piège : Oublier de normer, ou ranger les valeurs propres dans un autre ordre que les colonnes de P.

Exercice 2. Une valeur propre double ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Soit AA de lignes (5,−2,−4),(−2,8,−2),(−4,−2,5).(5, -2, -4), \quad (-2, 8, -2), \quad (-4, -2, 5). Calculer le rang de A−9I3A - 9I_3, puis diagonaliser AA dans une base orthonormée.

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Exercice 3. Un endomorphisme défini géométriquement ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Soit EE euclidien de dimension n≥2n \geq 2, aa unitaire et α\alpha réel non nul.

On pose f(x)=x+α⟨a,x⟩a.f(x) = x + \alpha \langle a, x \rangle a. Montrer que ff est symétrique, la diagonaliser, et dire quand ff est bijective.

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  1. ⟨f(x), y⟩ = ⟨x, y⟩ + α⟨a, x⟩⟨a, y⟩ est symétrique en x et y. …

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Polynôme annulateur 2

Exercice 9. Symétrie et polynôme annulateur ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Soit AA symétrique réelle.

Montrer que si Ak=InA^k = I_n pour un entier k≥1k \geq 1, alors A2=InA^2 = I_n, et que si AA est nilpotente, alors A=0A = 0.

Donner des contre-exemples sans symétrie.

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  1. A = P D tP. Toute valeur propre λ est réelle et vérifie λk = 1, donc λ = ±1. …

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Exercice 4. Matrice symétrique idempotente ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Soit AA symétrique réelle telle que A2=AA^2 = A.

Montrer que rg⁡(A)=tr⁡(A)\operatorname{rg}(A) = \operatorname{tr}(A) et que AA est la matrice d'une projection orthogonale.

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  1. Si AX = λX avec X ≠ 0, alors λ²X = λX, donc λ ∈ {0, 1}. …

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Positivité et formes quadratiques 3

Exercice 5. La matrice tM M ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau écrit EDHEC ou emlyon

Soit M∈Mn,p(R)M \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}) et A=tMMA = {}^t M M. Montrer que AA est symétrique à valeurs propres positives, que Ker⁡A=Ker⁡M\operatorname{Ker} A = \operatorname{Ker} M, et que AA est inversible si et seulement si rg⁡(M)=p\operatorname{rg}(M) = p.

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  1. t(tM M) = tM M. 2. Pour tout X, tX A X = ||MX||² ≥ 0. …

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Exercice 6. Encadrement de Rayleigh ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau écrit EDHEC ou emlyon

Soit AA symétrique réelle, de valeurs propres extrêmes λmin⁡\lambda_{\min} et λmax⁡\lambda_{\max}. Montrer que λmin⁡∥X∥2≤tXAX≤λmax⁡∥X∥2\lambda_{\min} \|X\|^2 \leq {}^t X A X \leq \lambda_{\max} \|X\|^2, que le maximum de tXAX{}^t X A X sur la sphère unité vaut λmax⁡\lambda_{\max}, et que chaque aiia_{ii} est entre λmin⁡\lambda_{\min} et λmax⁡\lambda_{\max}.

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  1. A = P D tP. On pose Y = tP X, de sorte que ||Y|| = ||X||. …

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Exercice 8. Signe d'une forme quadratique à paramètre ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit EDHEC ou emlyon

Pour tt réel, soit qt(x,y,z)=t(x2+y2+z2)+2(xy+yz+zx).\begin{aligned} q_t(x, y, z) &= t(x^2 + y^2 + z^2) \\ &\quad + 2(xy + yz + zx). \end{aligned} Étudier le signe de qtq_t selon tt.

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  1. qt(X) = tX At X avec At = (t − 1)I₃ + J, symétrique réelle. …

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Racine carrée d'une matrice 1

Exercice 7. Racine carrée d'une matrice symétrique positive ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

Soit AA symétrique réelle à valeurs propres positives.

Montrer qu'il existe une unique BB symétrique à valeurs propres positives telle que B2=AB^2 = A.

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  1. Existence. A = P D tP avec D = diag(λ₁, …, λn), λi ≥ 0. …

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Trace et somme des carrés 1

Exercice 10. Somme des carrés des coefficients ★

Application du cours · 10 min · Type oral HEC

Soit AA symétrique réelle de valeurs propres λ1,…,λn\lambda_1, \ldots, \lambda_n, répétées selon la dimension des sous-espaces propres.

Montrer que ∑λi2=∑aij2\sum \lambda_i^2 = \sum a_{ij}^2, sur tous les couples (i,j)(i, j).

En déduire qu'une matrice symétrique réelle de seule valeur propre 00 est nulle.

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  1. Le coefficient (i, i) de tA A vaut Σk a_ki², donc tr(tA A) = Σ a_ij². …

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de la voie EC, mathématiques approfondies de seconde année, enseignement du quatrième semestre, partie « Compléments d’algèbre bilinéaire », paragraphe « Réduction des endomorphismes et des matrices symétriques ». Les notions de produit scalaire, de base orthonormée et de matrice de passage orthogonale ont été introduites au troisième semestre et sont rappelées ici sans démonstration.