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ECG2 · Maths approfondies · semaine 19

Fonctions de n variables sur un ouvert de Rn

Extension de la continuité aux fonctions définies sur un sous-ensemble de Rn. Extension des classes C1 et C2 aux fonctions définies sur un ouvert de Rn. La nature topologique des ensembles utilisés est toujours précisée, aucune démonstration n'est exigible.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Un ouvert est un ensemble dont tout point est entouré d’une boule contenue dans l’ensemble, un fermé est le complémentaire d’un ouvert, un borné est contenu dans une boule. Ces natures sont toujours fournies par l’énoncé.
  2. La continuité d’une fonction de nn variables se définit comme en une variable, avec la norme euclidienne, et s’obtient en pratique par les opérations usuelles.
  3. Les dérivées partielles, le gradient et les classes C1C^1 et C2C^2 se définissent sur un ouvert, car il faut pouvoir faire varier chaque coordonnée dans les deux sens.
  4. Pour ff de classe C1C^1, f(x+h)=f(x)+⟨∇f(x),h⟩+∥h∥ε(h)f(x+h)=f(x)+\langle\nabla f(x),h\rangle+\|h\|\varepsilon(h), ce qui donne le plan tangent au graphe pour n=2n=2.
  5. La dérivée de t↦f(x+th)t\mapsto f(x+th) vaut ⟨∇f(x+th),h⟩\langle\nabla f(x+th),h\rangle. Le gradient est orthogonal aux tangentes aux lignes de niveau ; lorsqu’il est non nul, sa direction est celle de plus forte croissance parmi les directions unitaires.
Pourquoi ce chapitre

RemarqueDomaines de définition

Au troisième semestre, toutes les fonctions de plusieurs variables étaient définies sur Rn\R^n tout entier. C’était un choix commode, qui évitait toute question de domaine. Mais les fonctions utiles en économie ne vivent presque jamais sur Rn\R^n entier.

  • Une fonction de production en xaybx^a y^b demande xx et yy positifs.
  • Un logarithme demande un argument strictement positif.
  • Un quotient demande un dénominateur non nul.

RemarqueObjectifs du chapitre

Ce chapitre lève la restriction. Il introduit le minimum de vocabulaire topologique nécessaire :

  • ouvert ;
  • fermé ;
  • borné.

Il étend les définitions suivantes aux fonctions définies sur une partie de Rn\R^n :

  • continuité ;
  • dérivée partielle ;
  • classe C1C^1 ou C2C^2.

Le programme est explicite sur deux points :

  • La nature topologique des ensembles rencontrés sera toujours indiquée dans les énoncés, on ne demande jamais de la déterminer.
  • Aucune démonstration de ce chapitre n’est exigible.

L’utilisation correcte de ces notions conditionne tous les théorèmes d’extrema du chapitre suivant.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Ouverts et fermés 1

Exercice 1. Pourquoi {φ < a} est ouvert ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Soit φ\varphi continue sur Rn\mathbb{R}^n et aa réel. Montrer à l'aide de la définition de la continuité que U={φ<a}U = \{\varphi < a\} est ouvert. En déduire que {φ≤a}\{\varphi \leq a\} est fermé.

Voir l'indice

Technique quantificateurs et choix d'un ε\varepsilon.

Voir le corrigé offert
  1. Soit x₀ ∈ U. On pose ε = (a − φ(x₀))/2 > 0. 2. Par continuité en x₀, il existe α > 0 tel que ||x − x₀|| ≤ α ⇒ |φ(x) − φ(x₀)| ≤ ε. 3. Pour un tel x, φ(x) ≤ φ(x₀) + ε < a, donc x ∈ U. La boule ouverte de centre x₀ et de rayon α est donc contenue dans U. 4. Le complémentaire de {φ ≤ a} est {φ > a} = {−φ < −a}. Il est ouvert par ce qui précède, car −φ est continue. Donc {φ ≤ a} est fermé.

piège : Prendre ε = a − φ(x₀), ce qui ne donne que φ(x) ≤ a et non l'inégalité stricte.

Gradient et lignes de niveau 1

Exercice 2. Domaine, gradient, lignes de niveau ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Soit DD le disque unité ouvert et f(x,y)=ln⁡(1−x2−y2)f(x, y) = \ln(1 - x^2 - y^2). Justifier que DD est ouvert et que ff est C2C^2 sur DD. Calculer ∇f\nabla f. Décrire les lignes de niveau.

Voir le début du corrigé
  1. D = {x² + y² < 1}, avec (x, y) ↦ x² + y² continue, donc D est ouvert. …

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Calcul de dérivées partielles 1

Exercice 3. Cobb-Douglas ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Soit α,β>0\alpha, \beta > 0 et la fonction f(x,y)=xαyβf(x, y) = x^{\alpha} y^{\beta} sur ]0,+∞[2]0, +\infty[^2.

Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 et 2.

Calculer x ∂1f+y ∂2fx\,\partial_1 f + y\,\partial_2 f et l'élasticité x ∂1ff\frac{x\,\partial_1 f}{f}.

Quand ∂112f\partial^2_{11} f est-elle négative ?

Voir le début du corrigé
  1. ∂1f=αxα−1yβ\partial_1 f = \alpha x^{\alpha-1} y^\beta et ∂2f=βxαyβ−1\partial_2 f = \beta x^\alpha y^{\beta-1}.

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Approximation affine 1

Exercice 4. Approximation affine ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Soit la fonction f(x,y)=x0,3y0,7f(x, y) = x^{0{,}3} y^{0{,}7} sur ]0,+∞[2]0, +\infty[^2.

Écrire le plan tangent au graphe en (1,1)(1, 1).

En déduire une valeur approchée de f(x,y)f(x, y) pour x=1,02ety=0,97.x = 1{,}02 \quad \text{et} \quad y = 0{,}97.

Voir le début du corrigé
  1. f(1, 1) = 1, ∂₁f(1, 1) = 0,3 et ∂₂f(1, 1) = 0,7. …

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Gradient et lignes de niveau 2

Exercice 5. Direction de plus forte croissance ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit EDHEC

Soit la fonction f(x,y)=x2+xy+2y2.f(x, y) = x^2 + xy + 2y^2.

Au point (1,1)(1, 1), déterminer le vecteur unitaire hh qui rend maximale la dérivée de ff dans la direction hh, et cette valeur maximale.

Déterminer les vecteurs unitaires dans la direction desquels cette dérivée est nulle.

Voir le début du corrigé
  1. ∇f(x, y) = (2x + y, x + 4y), donc ∇f(1, 1) = (3, 5), de norme √34. …

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Exercice 6. Courbes d'indifférence et taux marginal de substitution ★

Application du cours · 15 min · Niveau écrit EDHEC ou emlyon

Soit la fonction u(x,y)=xyu(x, y) = xy sur ]0,+∞[2]0, +\infty[^2 et k>0k > 0.

Montrer qu'en tout point de la courbe d'indifférence u=ku = k, le gradient est orthogonal à la tangente.

Exprimer la pente de la tangente à l'aide des dérivées partielles.

Voir le début du corrigé
  1. La courbe u=ku = k est le graphe de y=k/xy = k/x, x>0x > 0.

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Calcul de dérivées partielles 2

Exercice 7. Une fonction sur le plan privé d'un point ★

Application du cours · 15 min · Niveau écrit EDHEC

Soit f(x,y)=ln⁡(x2+y2)f(x, y) = \ln(x^2 + y^2) sur OO, le plan privé de l'origine. Justifier que ff est C2C^2 sur OO. Calculer ses dérivées partielles d'ordre 2 et montrer que ∂112f+∂222f=0\partial_{11}^2 f + \partial_{22}^2 f = 0.

Voir le début du corrigé
  1. O = {x² + y² > 0} est ouvert. …

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Exercice 8. Fonctions radiales en dimension n ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit emlyon

Soit φ\varphi de classe C2C^2 sur R\mathbb{R} et f(x)=φ(∥x∥2)f(x) = \varphi(\|x\|^2) sur Rn\mathbb{R}^n. Justifier que ff est C2C^2. Calculer ∇f\nabla f et les dérivées partielles d'ordre 2. Pour φ=exp⁡(−⋅)\varphi = \exp(-\cdot), étudier g(t)=f(tx)g(t) = f(tx) pour t>0t > 0 et x≠0x \neq 0.

Voir le début du corrigé
  1. ||x||² est polynomiale donc C2 à valeurs dans R, et φ est C2 sur R, donc f est C2. …

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Identité d'Euler 1

Exercice 9. Identité d'Euler ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC

Soit O=]0,+∞[2O = ]0, +\infty[^2, rr réel et ff de classe C1C^1 sur OO telle que f(tx,ty)=trf(x,y)f(tx, ty) = t^r f(x, y) pour tout t>0t > 0 et tout (x,y)∈O(x, y) \in O. Montrer que x∂1f(x,y)+y∂2f(x,y)=rf(x,y)x\partial_1 f(x, y) + y\partial_2 f(x, y) = r f(x, y).

Voir le début du corrigé
  1. On fixe a = (x, y) ∈ O. Pour t > 0, ta ∈ O, et ta = a + (t − 1)a. …

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Accroissements finis 1

Exercice 10. Gradient nul et inégalité des accroissements finis ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC

Soit OO un ouvert convexe de Rn\mathbb{R}^n et ff de classe C1C^1 sur OO. Montrer que si ∥∇f(x)∥≤M\|\nabla f(x)\| \leq M pour tout x∈Ox \in O, alors ∣f(b)−f(a)∣≤M∥b−a∥|f(b) - f(a)| \leq M \|b - a\| pour tous a,ba, b de OO. En déduire qu'un gradient identiquement nul impose ff constante. Le résultat subsiste-t-il si OO n'est pas convexe ?

Voir le début du corrigé
  1. Par convexité, a + t(b − a) ∈ O pour t ∈ [0, 1]. …

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de la voie EC, mathématiques approfondies de seconde année, enseignement du quatrième semestre, partie « Fonctions réelles de nn variables définies sur un ouvert de Rn\R^n, recherche d’extrema », paragraphe « Fonction de nn variables définies sur une partie de Rn\R^n ». Elle reprend et étend les notions introduites au troisième semestre pour des fonctions définies sur Rn\R^n tout entier. Aucune démonstration de ce chapitre n’est exigible.