Projection orthogonale

Exercice 1. Projection en base orthogonale ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Dans $\R^4$ euclidien canonique, soit $$F = \operatorname{Vect}(u_1, u_2)$$ avec $$u_1 = (1, 1, 1, 1)$$ et $$u_2 = (1, -1, 1, -1).$$

Calculer la projection de $x = (1, 2, 3, 4)$ sur $F$ et la distance de $x$ à $F$.

Exercice 2. Matrice d'une projection orthogonale ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Soit $U$ dans $M_{n,k}(\R)$ telle que $${}^t U\, U = I_k.$$ Montrer que $P = U\,{}^t U$ est la matrice, dans la base canonique de $M_{n,1}(\R)$, de la projection orthogonale sur $\operatorname{Im} U$.

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Exercice 3. Partie symétrique d'une matrice ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

On munit $M_n(\R)$ de $$\langle A, B \rangle = \operatorname{tr}({}^t A\, B).$$ Montrer que les matrices symétriques $S_n$ et antisymétriques $A_n$ sont orthogonales.

En déduire la projection orthogonale de $A$ sur $S_n$, puis la distance à $S_2$ de la matrice $A$ de lignes $(1, 2)$ et $(0, 1)$.

Exercice 5. Moyenne et variance ★

Application du cours · 10 min · Niveau écrit Ecricome

Dans $\R^n$, soit $e = (1, \dots, 1)$ et $x = (x_1, \dots, x_n)$.

Calculer la projection de $x$ sur $\operatorname{Vect}(e)$.

En déduire que la fonction $c \mapsto \sum (x_i - c)^2$ admet un unique minimum, et donner sa valeur.

Exercice 4. Meilleure approximation affine ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit Ecricome

Sur $\R_2[X]$, on pose $$\langle P, Q \rangle = \int_0^1 P(t)Q(t)\,dt.$$ Justifier que c'est un produit scalaire, puis calculer le minimum de $$\int_0^1 (t^2 - a - bt)^2\,dt$$ pour $(a, b)$ réel.

Exercice 7. Droite de régression, résultat non exigible ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Soient $(x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)$ des données, les $x_i$ n'étant pas tous égaux. On note $X = (x_i)$, $Y = (y_i)$ et $e = (1, \ldots, 1)$ dans $\mathbb{R}^n$. Montrer que $\sum_{i=1}^{n} (y_i - a x_i - b)^2$ admet un unique minimum, atteint pour $a = \dfrac{\operatorname{cov}(x, y)}{V(x)}$ et $b = \overline{y} - a \overline{x}$.

Exercice 9. Moindres carrés, résultat non exigible ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

Soit $A$ dans $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ de rang $p$, avec $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ muni de $\langle X, Y \rangle = {}^t X Y$. Montrer que ${}^t A A$ est inversible, que $P = A({}^t A A)^{-1} \, {}^t A$ est la matrice de la projection orthogonale sur $\operatorname{Im} A$, et que $\|AX - B\|$ est minimal pour le seul $X_0 = ({}^t A A)^{-1} \, {}^t A B$.

Exercice 6. Somme de deux projections orthogonales ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces de $E$ tels que tout vecteur de $F$ soit orthogonal à tout vecteur de $G$.

Montrer que $$p_F \circ p_G = p_G \circ p_F = 0,$$ puis que $p_F + p_G$ est la projection orthogonale sur $F \oplus G$.

Exercice 8. Projecteurs qui diminuent la norme ★★★

Approfondissement · 30 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

Soit $p$ un projecteur de $E$. Montrer que $p$ est une projection orthogonale si et seulement si $\|p(x)\| \leq \|x\|$ pour tout $x$ de $E$.