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ECG2 · Maths approfondies · semaine 22

Recherche d’extrema

Extremum local et global, une fonction continue sur une partie fermée bornée admet un maximum et un minimum globaux. Condition nécessaire du premier ordre et point critique. Étude locale au moyen de la hessienne, point selle et condition suffisante d'extremum global.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Une fonction continue sur une partie fermée bornée non vide de Rn\R^n admet un maximum et un minimum globaux, sans indication du lieu.
  2. Sur un ouvert, un extremum local d’une fonction de classe C1\mathcal C^1 est nécessairement un point critique, c’est-à-dire un point où le gradient est nul. La réciproque est fausse.
  3. En un point critique d’une fonction de classe C2\mathcal C^2 :
    • des valeurs propres de la hessienne toutes strictement positives donnent un minimum local ;
    • des valeurs propres toutes strictement négatives donnent un maximum local ;
    • deux valeurs propres non nulles de signes contraires donnent un point selle.
  4. Si 00 est valeur propre et les autres de même signe, le théorème ne conclut pas : il faut étudier directement le signe de f(x0+h)−f(x0)f(x_0+h)-f(x_0).
  5. Sur un ouvert convexe, si les valeurs propres de la hessienne gardent un signe constant au sens large en tout point, alors tout point critique est un extremum global.
Pourquoi ce chapitre

Maximiser un profit, minimiser un coût, ajuster un modèle au mieux : ces trois questions sont des problèmes d’extrema de fonctions de plusieurs variables.

La démarche se retient comme une procédure :

  1. On commence par une question d’existence, qui se règle sur un fermé borné.
  2. On cherche ensuite les candidats, en annulant le gradient sur un ouvert.
  3. On tranche enfin la nature de chaque candidat, à l’aide du signe des valeurs propres de la hessienne.
  4. Le passage du local au global demande soit un argument de convexité, soit une comparaison directe des valeurs.

AttentionHypothèses des théorèmes

Le programme précise que la nature topologique des ensembles sera toujours donnée dans l’énoncé. Ce qui est exigible est l’application correcte de chaque théorème avec ses hypothèses, pas la détermination de ces natures.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Extrema sur un fermé borné 2

Exercice 1. Discussion de cas, puis passage à un fermé borné ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau khôlle

Soit f(x,y)=xy(1−x−y).f(x, y) = xy(1 - x - y). Trouver les points critiques de ff sur R2\R^2 et leur nature.

On admet que le triangle TT défini par x≥0,y≥0etx+y≤1x \geq 0, \quad y \geq 0 \quad \text{et} \quad x + y \leq 1 est fermé et borné, et que son intérieur, défini par des inégalités strictes, est ouvert.

Déterminer les extrema de ff sur TT.

Voir l'indice

Technique factoriser chaque équation et croiser les cas.

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  1. On a ∂ₓf = y(1 − 2x − y) et ∂ᵧf = x(1 − x − 2y). 2. Quatre cas. Si y = 0 et x = 0, on obtient (0, 0). Si y = 0 et 1 − x − 2y = 0, on obtient (1, 0). Si x = 0 et 1 − 2x − y = 0, on obtient (0, 1). Si les deux parenthèses sont nulles, on obtient (1/3, 1/3). 3. La hessienne a pour coefficients −2y, −2x sur la diagonale et 1 − 2x − 2y hors diagonale. En (0, 0), (1, 0) et (0, 1), son déterminant vaut −1, ce sont trois points selles. En (1/3, 1/3), le déterminant vaut 4/9 − 1/9 = 1/3 > 0 et la trace vaut −4/3 < 0, c’est un maximum local de valeur 1/27. 4. Ce maximum n’est pas global sur R², car f(−t, −t) = t²(1 + 2t) tend vers +∞. 5. Sur T, f est continue sur un fermé borné non vide, donc elle admet un maximum et un minimum. Sur T, f est positive. Elle est nulle sur tout le bord, donc le minimum vaut 0. 6. Le maximum est atteint soit à l’intérieur, où il est alors en un point critique, donc en (1/3, 1/3), soit sur le bord, où f vaut 0. Comme 1/27 > 0, le maximum global sur T vaut 1/27.

piège : Diviser par x ou par y dans le système, et perdre les trois points selles.

Exercice 2. Fermé borné avec bord paramétré ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Déterminer les extrema de f(x,y)=x2+2y2−xf(x, y) = x^2 + 2y^2 - x sur le disque fermé DD d'équation x2+y2≤1x^2 + y^2 \leq 1.

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  1. ff est continue et DD est fermé, borné et non vide, donc les extrema globaux existent.

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Minimum global convexe 4

Exercice 3. Ouvert convexe autre que R² ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Sur le quart de plan ouvert QQ défini par x>0x > 0 et y>0y > 0, qui est convexe, on pose f(x,y)=x+y+1xy.f(x, y) = x + y + \frac{1}{xy}. Montrer que ff admet un minimum global et le calculer.

ff admet-elle un maximum ?

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  1. f est de classe C² sur Q. On a ∂ₓf = 1 − 1/(x²y) et ∂ᵧf = 1 − 1/(xy²). …

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Exercice 5. Droite des moindres carrés ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

On donne NN points (x1,y1),…,(xN,yN),(x_1, y_1), \ldots, (x_N, y_N), les xix_i n’étant pas tous égaux.

On pose S(a,b)=∑(yi−axi−b)2.S(a, b) = \sum (y_i - a x_i - b)^2. Montrer que SS admet un unique minimum global et l’exprimer avec les moyennes, la variance et la covariance empiriques.

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  1. ∂_b S = −2 Σ (yᵢ − a xᵢ − b), qui s’annule si et seulement si b = ȳ − a x̄. …

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Exercice 6. Fonction quadratique de n variables ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit BCE, emlyon

Soit AA une matrice symétrique réelle d’ordre nn, BB un vecteur colonne, et f(X)=t ⁣X A X−2 t ⁣B X.f(X) = {}^t\!X\,A\,X - 2\,{}^t\!B\,X. On admet ∇f(X)=2(AX−B),\nabla f(X) = 2(AX - B), vu au chapitre précédent.

Si les valeurs propres de AA sont strictement positives, montrer que ff admet un minimum global et le calculer.

Si AA admet une valeur propre strictement négative, montrer que ff n’est pas minorée.

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  1. La hessienne de f vaut 2A en tout point, de valeurs propres strictement positives. …

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Exercice 7. Hessienne I + J ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

Pour n≥2n \geq 2 et xx dans Rn\R^n, on pose S=x1+⋯+xnS = x_1 + \cdots + x_n et f(x)=∑xi2+S2−2S.f(x) = \sum x_i^2 + S^2 - 2S. Déterminer les valeurs propres de la matrice JJ dont tous les coefficients valent 1, puis le minimum global de ff.

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  1. JJ est de rang 11, donc 00 est valeur propre avec un sous-espace propre de dimension n−1n - 1. …

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Nature des points critiques 2

Exercice 4. Un cas dégénéré et une minoration ★★★

Approfondissement · 40 min · Niveau écrit Ecricome

Soit f(x,y)=x4+y4−2(x−y)2.f(x, y) = x^4 + y^4 - 2(x - y)^2. Trouver les points critiques, étudier leur nature, puis montrer que f(x,y)≥−8f(x, y) \geq -8 pour tout (x,y)(x, y).

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  1. ∂ₓf = 4x³ − 4(x − y) et ∂ᵧf = 4y³ + 4(x − y). …

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Exercice 8. Les restrictions aux droites ne suffisent pas ★★★

Approfondissement · 40 min · Niveau type oral HEC

Soit f(x,y)=(y−x2)(y−2x2).f(x, y) = (y - x^2)(y - 2x^2). Montrer que l’origine est l’unique point critique, que la restriction de ff à toute droite passant par l’origine y admet un minimum local, et que ff n’admet pas d’extremum en l’origine.

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  1. f = y² − 3x²y + 2x⁴. ∂ᵧf = 2y − 3x² s’annule pour y = 3x²/2. …

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de la voie EC, mathématiques approfondies de seconde année, enseignement du quatrième semestre, partie « Fonctions réelles de nn variables définies sur un ouvert de Rn\R^n, recherche d’extrema », paragraphe « Recherche d’extrema », points a) à d).