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ECG2 · Maths approfondies · semaine 23

Recherche d’extrema sous contrainte d’égalités linéaires

Optimisation sur l'ensemble des solutions d'un système homogène d'égalités linéaires. Condition nécessaire du premier ordre sous contrainte et point critique associé. Exemples de recherche d'extrema globaux sous contrainte dans des cas simples.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Sous contrainte d’égalités linéaires, l’ensemble admissible CC, lorsqu’il est non vide, est un sous-espace affine, de direction HH, ensemble des solutions du système homogène associé.
  2. Les gradients des contraintes sont des vecteurs constants, et ils engendrent exactement H⊥H^\perp.
  3. Condition nécessaire du premier ordre : si la restriction de ff à CC admet un extremum local en x0x_0, alors ∇f(x0)\nabla f(x_0) est orthogonal à HH, ce qui s’écrit ∇f(x0)=∑i=1pλi∇gi\nabla f(x_0)=\sum_{i=1}^p\lambda_i\nabla g_i.
  4. Deux méthodes :
    • la substitution élimine la contrainte et permet de conclure sur la nature ;
    • les multiplicateurs préservent la symétrie mais ne donnent que des candidats.
  5. Aucune étude d’ordre 22 sous contrainte n’est au programme. La conclusion au global passe par :
    • la substitution ;
    • l’existence sur un fermé borné ;
    • une majoration directe.
Pourquoi ce chapitre

En économie, on n’optimise presque jamais librement :

  • on maximise une utilité sous une contrainte de budget ;
  • on maximise une production sous une contrainte de ressources ;
  • on minimise un coût sous une contrainte de quantité produite.

La variable n’est pas libre dans Rn\R^n, elle est astreinte à vivre sur un sous-ensemble décrit par des équations.

Le programme se limite au cas des contraintes d’égalités linéaires. L’ensemble admissible est alors l’ensemble des solutions d’un système linéaire, c’est-à-dire un sous-espace affine. Ce cadre permet de modéliser une contrainte budgétaire, et les gradients des contraintes sont des vecteurs constants.

RemarqueCondition du premier ordre

  • Sur un ouvert sans contrainte, un extremum impose un gradient nul.
  • Sous contrainte, il impose seulement que le gradient soit orthogonal à la direction de la contrainte.

Cela s’écrit comme une combinaison linéaire des gradients des contraintes. Ce sont les multiplicateurs de Lagrange, sous une forme adaptée au cas linéaire.

Classiques et HP

Méthodes et approfondissements du chapitre · le statut est précisé pour ECG2.

Classiques et HP réservés

Prolongements et démonstrations de Maths approfondies.

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Encore 12 parties de cours et 9 corrigés.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Orthogonal d'un sous-espace 1

Exercice 1. Orthogonal de la direction ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Soient a1,…,apa_1, \dots, a_p dans Rn\mathbb{R}^n, FF leur espace engendré et HH l'ensemble des hh tels que ⟨ai,h⟩=0\langle a_i, h\rangle = 0 pour tout ii. Montrer que H⊥=FH^\perp = F et que dim⁡H=n−rg⁡(a1,…,ap)\dim H = n - \operatorname{rg}(a_1, \dots, a_p).

Voir l'indice

Technique double orthogonal ou argument de dimension.

Voir le corrigé offert
  1. Si h est dans H et v = Σ μᵢaᵢ, alors ⟨v, h⟩ = Σ μᵢ⟨aᵢ, h⟩ = 0. Donc H ⊂ F⊥, et l'inclusion réciproque est immédiate car chaque aᵢ est dans F. Ainsi H = F⊥. 2. En dimension finie, (F⊥)⊥ = F, donc H⊥ = F. 3. On a dim H = dim F⊥ = n − dim F = n − rg(a₁, …, ap).

piège : Affirmer dim H = n − p sans vérifier que les aᵢ sont libres.

Extrema sous contrainte linéaire 3

Exercice 2. Une élimination piégée ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Étudier les extrema de f(x,y)=x3+y3f(x, y) = x^3 + y^3 sous la contrainte x+y=2x + y = 2.

Voir le début du corrigé
  1. La condition s'écrit 3x2=λ=3y23x^2 = \lambda = 3y^2, donc x2=y2x^2 = y^2, c'est-à-dire x=yx = y ou x=−yx = -y.

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 3. Maximum sans minimum ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

Étudier les extrema de f(x,y,z)=xy+yz+zxf(x, y, z) = xy + yz + zx sous x+y+z=3x + y + z = 3.

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  1. La condition s'écrit y+z=x+z=x+y=λy + z = x + z = x + y = \lambda. …

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 5. Deux contraintes dans R³ ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit EDHEC ou emlyon

Minimiser f(x,y,z)=x2+y2+2z2f(x, y, z) = x^2 + y^2 + 2z^2 sous x+2y+z=4x + 2y + z = 4 et x−y+z=1x - y + z = 1.

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  1. La condition s'écrit 2x=λ+μ2x = \lambda + \mu, 2y=2λ−μ2y = 2\lambda - \mu et 4z=λ+μ4z = \lambda + \mu. …

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Optimisation économique 2

Exercice 4. Répartir une production entre deux usines ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit EDHEC ou emlyon

Deux usines produisent q1q_1 et q2q_2 unités pour des coûts c1q12c_1 q_1^2 et c2q22c_2 q_2^2, avec c1>0c_1 > 0 et c2>0c_2 > 0.

On doit produire Q>0Q > 0 au total.

Minimiser le coût total.

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  1. La condition s'écrit 2c1q1=λ=2c2q22c_1q_1 = \lambda = 2c_2q_2. …

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Exercice 6. Utilité de Cobb-Douglas ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit EDHEC ou emlyon

Soient aa, bb, pp, qq et RR strictement positifs.

Maximiser U(x,y)=xaybU(x, y) = x^a y^b sur les x>0x > 0 et y>0y > 0 vérifiant px+qy=R.px + qy = R.

Voir le début du corrigé
  1. Comme ln est strictement croissant, on maximise V = a ln x + b ln y, de classe C¹ sur l'ouvert (R+*)². …

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Maximum d'entropie 1

Exercice 7. Entropie maximale ★★★

Approfondissement · 35 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC

Soit n≥2n \geq 2.

Sur l'ouvert des xx dont toutes les coordonnées sont strictement positives, on pose S(x)=−∑xiln⁡xi.S(x) = -\sum x_i \ln x_i. Maximiser SS sous la contrainte x1+⋯+xn=1.x_1 + \dots + x_n = 1.

Voir le début du corrigé
  1. La condition s'écrit −ln⁡xi−1=λ-\ln x_i - 1 = \lambda pour tout ii. …

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Minimisation quadratique 2

Exercice 8. Projection sur un sous-espace affine ★★

Classiques de khôlle et concours · 35 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC

Soient CC non vide et uu dans Rn\mathbb{R}^n. Montrer que f(x)=∥x−u∥2f(x) = \|x - u\|^2 admet sur CC un unique minimum global, atteint en l'unique x∗x^* de CC tel que x∗−ux^* - u appartienne à H⊥H^\perp.

Voir le début du corrigé
  1. On a ∇f(x) = 2(x − u), et la condition du premier ordre dit exactement que x* − u appartient à H⊥. …

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Exercice 9. Portefeuille de variance minimale ★★

Classiques de khôlle et concours · 40 min · Type écrit HEC ou ESSEC, niveau exigeant

Soit SS une matrice symétrique réelle d'ordre nn dont toutes les valeurs propres sont strictement positives, et u=(1,…,1).u = (1, \dots, 1). On pose q(w)=⟨w,Sw⟩.q(w) = \langle w, Sw \rangle. Minimiser qq sous ⟨u,w⟩=1\langle u, w \rangle = 1.

Voir le début du corrigé
  1. Comme S est symétrique, ∇q(w) = 2Sw. …

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Approfondissement hors programme 1

Exercice HP. Extrema d’une forme quadratique sur une ellipse ★★★

Approfondissement hors programme

Approfondissement facultatif · hors programme en ECG2

On considère f:R2→Rf:\R^2\to\R définie par f(x,y)=x2+2xy+2y2f(x,y)=x^2+2xy+2y^2 et l’ensemble E={(x,y)∈R2:x2+4y2=1}E=\{(x,y)\in\R^2:x^2+4y^2=1\}.

  1. Montrer que ff atteint un minimum et un maximum sur EE. Vérifier que la contrainte est régulière en chaque point de EE.
  2. En utilisant la condition de Lagrange démontrée dans le cours, déterminer toutes les valeurs possibles de ff à un extremum, puis tous les points où le minimum et le maximum sont atteints.
  3. Poser u=xu=x et v=2yv=2y. Retrouver les valeurs extrêmes et les points d’égalité à l’aide du quotient de Rayleigh d’une matrice symétrique réelle que l’on précisera.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de la voie EC, mathématiques approfondies de seconde année, enseignement du quatrième semestre, partie « Fonctions réelles de nn variables définies sur un ouvert de Rn\R^n, recherche d’extrema », paragraphe « Recherche d’extrema », point e) « Recherche d’extrema sous contrainte d’égalités linéaires ». Aucune démonstration de ce chapitre n’est exigible.