Aller au contenu
Sup et Spé
Télécharger l'application

Accueil › ECG › Maths approfondies

ECG2 · Maths approfondies · semaine 20

Compléments sur les fonctions de classe C2

Matrice hessienne en un point et théorème de Schwarz. Fonction quadratique associée à une matrice symétrique réelle. Existence et unicité du développement limité d'ordre 2 d'une fonction de classe C2 et dérivée seconde de la fonction t vers f(x + th).

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. La matrice hessienne ∇2f(x)\nabla^2 f(x) rassemble les dérivées partielles d’ordre 22 d’une fonction de classe C2C^2 au point xx.
  2. Théorème de Schwarz, admis : si ff est de classe C2C^2 sur un ouvert, alors sa hessienne est symétrique en tout point, donc diagonalisable en base orthonormée.
  3. La fonction quadratique associée à une matrice symétrique AA est q(h)=tHAHq(h)={}^{t}H A H, et elle s’écrit ∑i=1nλihi2\sum_{i=1}^n\lambda_i h_i^2 dans une base orthonormée de vecteurs propres.
  4. Le développement limité d’ordre 22, admis et unique, s’écrit f(x+h)=f(x)+⟨∇f(x),h⟩+12qx(h)+∥h∥2ε(h)f(x+h)=f(x)+\langle\nabla f(x),h\rangle+\frac12 q_x(h)+\norm{h}^2\varepsilon(h), où qxq_x est associée à la hessienne en xx et ε(h)\varepsilon(h) tend vers 00 lorsque hh tend vers 00.
  5. Pour g(t)=f(x+th)g(t)=f(x+th), on a g′(t)=⟨∇f(x+th),h⟩g'(t)=\langle\nabla f(x+th),h\rangle et g′′(t)=qx+th(h)g''(t)=q_{x+th}(h), ce qui ramène l’étude locale à une variable.
Pourquoi ce chapitre

Le développement limité d’ordre 11 dit qu’une fonction de classe C1C^1 ressemble localement à une fonction affine. Cela suffit à repérer les candidats à un extremum, les points où le gradient s’annule, mais pas à trancher.

En un point critique, le terme d’ordre 11 disparaît et c’est le terme suivant qui décide. Il faut donc un développement limité d’ordre 22.

Ce chapitre fournit l’objet qui porte ce terme d’ordre 22, la matrice hessienne. Deux résultats en font un outil utilisable :

  • Le théorème de Schwarz assure que cette matrice est symétrique, donc que le théorème spectral s’applique.
  • Le développement limité d’ordre 22 relie la fonction, au voisinage d’un point, à la fonction quadratique associée à la hessienne.

On obtient ainsi une règle de décision algébrique, le signe des valeurs propres de la hessienne. C’est le chapitre charnière entre l’algèbre bilinéaire et l’optimisation.

Fin de l'aperçu gratuit

Encore 11 parties de cours et 9 corrigés.

Essayer 7 jours gratuitement Sans engagement · cours, exercices et fiches complets

Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Signe de la hessienne 5

Exercice 1. Une hessienne de trace nulle ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Soit la fonction f(x,y)=x3−3xy2.f(x, y) = x^3 - 3xy^2. Calculer la hessienne en tout point.

Montrer qu'elle n'a jamais deux valeurs propres strictement de même signe.

Voir l'indice

Technique calcul organisé puis règle trace-déterminant.

Voir le corrigé offert
  1. f est polynomiale, donc C2 sur R². Le gradient vaut (3x² − 3y², −6xy). 2. On trouve ∂²₁₁f = 6x, ∂²₂₂f = −6x et ∂²₁₂f = −6y. 3. La trace est nulle et le déterminant vaut −36(x² + y²). 4. Hors de l'origine, le déterminant est strictement négatif, donc les valeurs propres sont de signes contraires. En l'origine, la hessienne est nulle. 5. Une somme nulle interdit dans tous les cas deux valeurs propres strictement de même signe.

piège : Conclure au cas « même signe » en oubliant de lire la trace.

Exercice 3. Fonction quadratique à paramètre ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Soit mm réel et q(h)=h12+2m h1h2+4h22.q(h) = h_1^2 + 2m\,h_1 h_2 + 4h_2^2. Discuter le signe de qq selon mm.

Voir le début du corrigé
  1. La matrice a pour lignes (1,m)(1, m) et (m,4)(m, 4). …

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 5. Réduction en dimension 3 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit EDHEC

Soit la fonction f(x,y,z)=x2+y2+z2+xy+yz+zx.\begin{aligned} f(x, y, z) &= x^2 + y^2 + z^2 \\ &\quad + xy + yz + zx. \end{aligned} Calculer la hessienne, la diagonaliser en base orthonormée et écrire qq dans cette base.

Voir le début du corrigé
  1. La diagonale vaut 22 et les coefficients hors diagonale valent 11, donc la hessienne est I+JI + J.

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 6. La fonction log-somme-exponentielle ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit emlyon

Soit f(x,y)=ln⁡(ex+ey).f(x, y) = \ln(e^x + e^y). Calculer la hessienne.

Montrer que g(t)=f(x+th)g(t) = f(x + th) est convexe pour tout point et toute direction, et commenter la direction (1,1)(1, 1).

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 7. Cobb-Douglas ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit EDHEC

Soient a>0a > 0, b>0b > 0 et f(x,y)=xaybf(x, y) = x^a y^b sur ]0,+∞[2]0, +\infty[^2.

Selon a+ba + b, déterminer le signe des valeurs propres de la hessienne.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Points critiques 3

Exercice 2. Points critiques et hessiennes ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Soit la fonction f(x,y)=x3+y3−3xy.f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy. Trouver les points critiques et le signe des valeurs propres de la hessienne en chacun.

Voir le début du corrigé
  1. ∇f=0\nabla f = 0 donne y=x2y = x^2 et x=y2x = y^2, donc x=x4x = x^4, soit x(x3−1)=0x(x^3 - 1) = 0.

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 8. Pourquoi la hessienne décide ★★

Classiques de khôlle et concours · 35 min · Niveau écrit ESSEC ou HEC

Soit ff de classe C2C^2 sur un ouvert OO et xx un point critique. a) On suppose toutes les valeurs propres de la hessienne strictement positives. Montrer que f(x+h)>f(x)f(x + h) > f(x) pour hh non nul assez petit. b) On suppose qu'il existe deux valeurs propres non nulles de signes contraires. Montrer que f(x+h)−f(x)f(x + h) - f(x) prend les deux signes pour hh arbitrairement petit.

Voir le début du corrigé
  1. Comme ∇f(x) = 0, on a f(x + h) − f(x) = (1/2)qx(h) + ||h||²ε(h). …

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 9. Un cas dégénéré ★★★

Approfondissement · 25 min · Niveau khôlle

Comparer, en l'origine, f(x,y)=(x+y)2+y4f(x, y) = (x + y)^2 + y^4 et k(x,y)=(x+y)2−y4.k(x, y) = (x + y)^2 - y^4.

Voir le début du corrigé
  1. Les deux gradients s'annulent en l'origine.

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Développement quadratique 2

Exercice 4. Fonctions quadratiques sur Rⁿ ★

Application du cours · 15 min · Niveau écrit Ecricome

Soit AA symétrique d'ordre nn, BB dans Rn\mathbb{R}^n et f(X)=tXAX+tBXf(X) = {}^tX A X + {}^tB X. Calculer le gradient et la hessienne. En déduire que le développement limité d'ordre 2 de ff est exact.

Voir le début du corrigé
  1. On écrit f(x) = Σᵢ Σⱼ aᵢⱼxᵢxⱼ + Σ bᵢxᵢ. …

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 10. Hessienne nulle ou constante ★

Application du cours · 15 min · Type oral HEC

Soit ff de classe C2C^2 sur Rn\mathbb{R}^n. a) On suppose la hessienne nulle en tout point. Montrer que ff est affine. b) On suppose la hessienne constante, égale à AA. Montrer que f(h)=f(0)+⟨∇f(0),h⟩+12 tHAHf(h) = f(0) + \langle \nabla f(0), h \rangle + \frac{1}{2}\, {}^tH A H.

Voir le début du corrigé
  1. Soit h fixé. La fonction g est définie sur R tout entier, car l'ouvert est Rⁿ. …

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de la voie EC, mathématiques approfondies de seconde année, enseignement du quatrième semestre, partie « Fonctions réelles de nn variables définies sur un ouvert de Rn\R^n, recherche d’extrema », paragraphe « Compléments sur les fonctions de classe C2C^2 sur un ouvert de Rn\R^n ».