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ECG2 · Maths approfondies · semaine 25

Convergences et approximations

Convergence en probabilité, loi faible des grands nombres énoncée en ces termes, composition par une fonction continue et somme. Convergence en loi, cas des variables à valeurs entières et composition par une fonction continue. Théorème limite central et approximations des lois binomiale et de Poisson par la loi normale.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. La convergence en probabilité de XnX_n vers XX signifie que, pour tout ε>0\varepsilon>0, P([∣Xn−X∣⩾ε])\P([\lvert X_n-X\rvert\geqslant\varepsilon]) tend vers 00. Elle s’obtient presque toujours par Bienaymé-Tchebychev.
  2. Loi faible des grands nombres : pour des variables indépendantes de même loi admettant une variance, la moyenne empirique converge en probabilité vers l’espérance.
  3. La convergence en loi se définit par la convergence des fonctions de répartition en tout point de continuité de la limite. Pour des variables à valeurs dans N\N, elle se teste sur les probabilités ponctuelles.
  4. Théorème limite central : pour des variables indépendantes de même loi d’espérance mm et de variance σ2\sigma^2 non nulle, la variable n(X‾n−m)/σ\sqrt n(\overline X_n-m)/\sigma converge en loi vers la loi normale centrée réduite, quelle que soit la loi de départ.
  5. On en déduit les approximations suivantes :
    • une loi binomiale par la loi normale d’espérance npnp et de variance np(1−p)np(1-p) ;
    • une loi de Poisson de grand paramètre λ\lambda par la loi normale d’espérance λ\lambda et de variance λ\lambda.
Pourquoi ce chapitre

Une probabilité ou une espérance sont rarement calculables exactement. Dès qu’une somme de nombreuses variables aléatoires apparaît, le calcul exact devient difficile, alors que le comportement d’ensemble devient très régulier. Ce chapitre donne les deux théorèmes qui décrivent cette régularité.

  • La loi faible des grands nombres dit que la moyenne d’un grand nombre de tirages indépendants se rapproche de l’espérance. C’est ce qui légitime l’idée même de statistique, et la méthode de Monte-Carlo en informatique.
  • Le théorème limite central dit comment elle s’en rapproche, en donnant la loi limite de l’écart centré réduit, qui est la loi normale, quelle que soit la loi de départ, sous les hypothèses du théorème.

Pour énoncer ces résultats, il faut deux notions de convergence de suites de variables aléatoires : la convergence en probabilité et la convergence en loi. C’est l’objet de la première moitié du chapitre. La seconde moitié en tire les approximations pratiques et prépare le chapitre d’estimation.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Convergence en probabilité 1

Exercice 1. Produit de suites convergeant en probabilité ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

On suppose que XnX_n converge en probabilité vers XX et YnY_n vers YY.

Montrer que Xn−YnX_n - Y_n converge vers X−YX - Y, puis que XnYnX_nY_n converge vers XYXY.

En déduire que, sous les hypothèses de la loi faible, Xˉn2\bar{X}_n^2 converge en probabilité vers m2m^2.

Voir l'indice

Technique n'utiliser que la somme et la composition.

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  1. La fonction x↦−xx \mapsto -x est continue, donc −Yn-Y_n converge en probabilité vers −Y-Y. Par somme, Xn−YnX_n - Y_n converge vers X−YX - Y.
  2. Pour tous réels xx et yy, xy=(x+y)2−(x−y)24.xy = \frac{(x + y)^2 - (x - y)^2}{4}.
  3. Xn+YnX_n + Y_n converge vers X+YX + Y, et par composition avec la fonction carré, (Xn+Yn)2(X_n + Y_n)^2 converge vers (X+Y)2(X + Y)^2. De même, (Xn−Yn)2(X_n - Y_n)^2 converge vers (X−Y)2(X - Y)^2.
  4. Par l'étape 1, la différence de ces carrés converge, puis la composition par x↦x/4x \mapsto x/4 donne la convergence de XnYnX_nY_n vers XYXY.
  5. La loi faible donne la convergence de Xˉn\bar{X}_n vers la variable certaine mm. On compose par la fonction carré.

piège : Citer un « théorème du produit » absent du programme sans le déduire.

Loi faible et estimation 1

Exercice 2. Taille d'échantillon, Bienaymé-Tchebychev contre théorème limite central ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

On lance nn fois une pièce qui donne pile avec une probabilité pp inconnue, et FnF_n désigne la fréquence de pile.

Déterminer nn pour que P([∣Fn−p∣≥0,01])≤0,05P([|F_n - p| \geq 0{,}01]) \leq 0{,}05 quel que soit pp.

Comparer avec l'estimation que fournit le théorème limite central.

Voir le début du corrigé
  1. nFnnF_n suit la loi binomiale de paramètres nn et pp, donc E(Fn)=pE(F_n) = p et V(Fn)=p(1−p)/nV(F_n) = p(1 - p)/n.

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Convergence en loi 2

Exercice 3. Maximum de variables uniformes ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau khôlle

U1,…,UnU_1, \dots, U_n sont indépendantes, de loi uniforme sur [0,1][0, 1], et MnM_n est leur maximum.

Déterminer la loi de MnM_n.

Montrer que MnM_n converge en probabilité vers 1, puis que Wn=n(1−Mn)W_n = n(1 - M_n) converge en loi vers la loi exponentielle de paramètre 1.

Voir le début du corrigé
  1. Pour tt dans [0,1][0, 1], [Mn≤t][M_n \leq t] est l'intersection des [Ui≤t][U_i \leq t]. …

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Exercice 4. De la loi géométrique à la loi exponentielle ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit Ecricome

Soit λ>0\lambda > 0.

Pour n>λn > \lambda, XnX_n suit la loi géométrique de paramètre λ/n\lambda/n, et on pose Yn=Xnn.Y_n = \frac{X_n}{n}. Montrer que YnY_n converge en loi vers la loi exponentielle de paramètre λ\lambda.

Voir le début du corrigé
  1. Pour kk entier naturel, P([Xn>k])=(1−λ/n)kP([X_n > k]) = (1 - \lambda/n)^k, car cet événement signifie que les kk premières épreuves sont des échecs.

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Théorème limite central 2

Exercice 5. Une limite de série par le théorème limite central ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit EDHEC

Montrer que e−n∑nkk!e^{-n} \sum \frac{n^k}{k!} somme prise pour kk de 0 à nn, tend vers 1/21/2.

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  1. On se donne des variables Xi indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, qui vérifient E(Xi) = V(Xi) = 1. …

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Exercice 6. Surréservation ★

Application du cours · 15 min · Niveau écrit Ecricome

Une compagnie vend 400 billets pour un avion de 370 places.

Chaque passager se présente avec probabilité 0,90{,}9, indépendamment des autres.

L'énoncé autorise l'approximation par la loi normale de mêmes espérance et variance, avec correction de continuité, et donne Φ(1,75)≈0,960etΦ(2,33)≈0,990.\Phi(1{,}75) \approx 0{,}960 \quad \text{et} \quad \Phi(2{,}33) \approx 0{,}990. Estimer le risque de surréservation.

Combien de places faudrait-il pour que ce risque soit au plus de 1 % ?

Voir le début du corrigé
  1. Le nombre XX de passagers présents suit la loi binomiale de paramètres 400400 et 0,90{,}9, donc E(X)=360E(X) = 360, V(X)=36V(X) = 36, et l'écart type vaut 66.

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Loi faible et estimation 1

Exercice 7. Méthode de Monte-Carlo pour π ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit EDHEC ou emlyon

U1,…,UnU_1, \dots, U_n sont indépendantes, uniformes sur [0,1][0, 1].

On pose Yi=41−Ui2Y_i = 4\sqrt{1 - U_i^2} et TnT_n la moyenne des YiY_i.

Calculer E(Y1)E(Y_1) et V(Y1)V(Y_1).

Montrer que TnT_n converge en probabilité vers π\pi.

Donner nn tel que P([∣Tn−π∣≥0,01])≤0,05.P([|T_n - \pi| \geq 0{,}01]) \leq 0{,}05.

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  1. Par transfert, E(Y₁) est l'intégrale de 4√(1 − x²) sur [0, 1]. …

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Convergence en probabilité 1

Exercice 8. Convergence de la variance empirique ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit ESSEC ou HEC

Les XiX_i sont indépendantes, de même loi, et admettent un moment d'ordre 4.

On note mm leur espérance et σ2\sigma^2 leur variance.

On pose Vn=1n∑Xi2−Xˉn2.V_n = \frac{1}{n}\sum X_i^2 - \bar{X}_n^2.

Montrer que VnV_n converge en probabilité vers σ2\sigma^2, puis que Vn\sqrt{V_n} converge vers σ\sigma.

Voir le début du corrigé
  1. Les Xi2X_i^2 sont indépendantes et de même loi. …

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Convergence en loi 1

Exercice 9. Limite constante : les deux convergences coïncident ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit HEC

Soit cc un réel.

Montrer que XnX_n converge en probabilité vers cc si et only si XnX_n converge en loi vers la variable certaine égale à cc.

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  1. FcF_c vaut 00 sur ]−∞,c[]-\infty, c[ et 11 sur [c,+∞[[c, +\infty[. …

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de la voie EC, mathématiques approfondies de seconde année, enseignement du quatrième semestre, partie « Probabilités, convergences, estimation », paragraphe « Convergences et approximations ». Elle suppose connues les inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev vues en première année.