Endomorphismes symétriques et matrices symétriques

Exercice 1. Un endomorphisme de rang 1 ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Soit a un vecteur non nul de E euclidien et f(x) = ⟨a, x⟩ a. Montrer que f est symétrique, puis déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres.

Exercice 2. Les matrices symétriques d'ordre 2 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Soit A la matrice de lignes (a, b) et (b, c), à coefficients réels. Montrer sans le théorème spectral que A est diagonalisable dans une base orthonormée.

Exercice 3. Une valeur propre double ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Soit $A$ la matrice d'ordre $3$ de lignes $(2, 1, 1)$, $(1, 2, 1)$ et $(1, 1, 2)$.

Trouver une matrice orthogonale $P$ telle que ${}^tP A P$ soit diagonale.

Exercice 4. La transposition ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

On munit $M_n(\R)$, avec $n \geq 2$, du produit scalaire $$\langle A, B \rangle = \operatorname{tr}({}^tA B).$$

Montrer que $T(M) = {}^tM$ est symétrique.

En déduire que les matrices symétriques et les matrices antisymétriques forment deux sous-espaces supplémentaires orthogonaux.

Exercice 5. Noyau et image d'un endomorphisme symétrique ★

Application du cours · 10 min · Niveau écrit Ecricome

Soit $f$ symétrique sur $E$ euclidien. Montrer que $\operatorname{Ker} f = (\operatorname{Im} f)^{\perp}$, puis que $E = \operatorname{Ker} f \oplus \operatorname{Im} f$. En déduire que si $f^2 = 0$, alors $f = 0$.

Exercice 6. Projecteurs symétriques ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

Soit $p$ un projecteur de $E$, c'est-à-dire $$p \circ p = p.$$

Montrer que $p$ est symétrique si et seulement si $\operatorname{Ker} p$ et $\operatorname{Im} p$ sont orthogonaux.

Exercice 7. La matrice ᵗM M ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit EDHEC ou emlyon

Soit $M$ dans $M_{n,p}(\R)$ et $$A = {}^t M\, M.$$ Montrer que les valeurs propres de $A$ sont positives, que $\operatorname{Ker} A = \operatorname{Ker} M$, puis que $\operatorname{rg} A = \operatorname{rg} M$.

En déduire que $A$ est inversible si et seulement si les colonnes de $M$ sont libres.

Exercice 8. Formes positives et définies ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit EDHEC

Soit $f$ symétrique.

Montrer que si $\langle f(x), x \rangle = 0$ pour tout $x$, alors $f = 0$.

Montrer que si $\langle f(x), x \rangle > 0$ pour tout $x$ non nul, alors $f$ est bijectif et ses valeurs propres sont strictement positives.

Exercice 9. Un opérateur différentiel sur les polynômes ★★★

Approfondissement · 40 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC

Sur $\mathbb{R}_n[X]$, on pose $\langle P, Q \rangle = \int_{-1}^{1} P(t)Q(t)\,dt$ et $f(P) = ((1 - X^2)P')'$. Montrer que $f$ est un endomorphisme symétrique. Montrer que $f$ possède $n + 1$ valeurs propres distinctes, associées à des polynômes $P_0, \ldots, P_n$ avec $\deg P_k = k$. En déduire que $P_k$ est orthogonal à $\mathbb{R}_{k-1}[X]$ pour $k \geq 1$.

Exercice 10. Itérés d'un endomorphisme symétrique ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC

Soit $f$ symétrique.

Montrer que $\operatorname{Ker} f^k = \operatorname{Ker} f$ pour tout $k \geq 1$.

En déduire qu'une matrice symétrique réelle nilpotente est nulle.