Le cours

Résumé en cinq points

Un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive. La norme associée est $\norm{x} = \sqrt{\langle x, x\rangle}$ .
Cauchy-Schwarz dit $\abs{\langle x, y\rangle} \leqslant \norm{x}\,\norm{y}$ , avec égalité exactement pour les familles liées. La preuve passe par le discriminant du trinôme $t \mapsto \norm{x + ty}^2$ .
Une famille orthogonale sans vecteur nul est libre. Pythagore relie orthogonalité et addition des carrés des normes.
Dans une base orthonormée, les coordonnées sont des produits scalaires, $\langle x, y\rangle = {}^t XY$ , et la matrice de passage vers une autre base orthonormée vérifie $P^{-1} = {}^t P$ .
Tout sous-espace $F$ d'un espace euclidien admet un supplémentaire orthogonal $F^\perp$ , de dimension $\dim E - \dim F$ , et toute famille orthonormale se complète en base orthonormée.

Pourquoi ce chapitre

Le produit scalaire ajoute à la structure d'espace vectoriel deux notions géométriques : la longueur et l'angle droit. Cela permet de mesurer, de comparer, de projeter. En ECG, ce chapitre sert trois usages.

L'algèbre bilinéaire pure, avec les bases orthonormées et le supplémentaire orthogonal.
L'optimisation : $\R^n$ est muni de sa structure euclidienne canonique quand on étudie les fonctions de $n$ variables, et le gradient s'écrit avec un produit scalaire.
Les statistiques descriptives bivariées, où la covariance joue le rôle d'un produit scalaire et le coefficient de corrélation celui d'un cosinus.

L'inégalité de Cauchy-Schwarz est l'un des rares résultats du programme dont la démonstration tombe régulièrement en khôlle.

1Produit scalaire

1.1Définition

Définition 1.1Produit scalaire

Soit $E$ un espace vectoriel réel. Un produit scalaire sur $E$ est une application qui à tout couple $(x, y)$ de vecteurs de $E$ associe un réel, noté $\langle x, y\rangle$ , et qui vérifie quatre propriétés :

bilinéarité : l'application est linéaire par rapport à la première variable quand la seconde est fixée, et linéaire par rapport à la seconde quand la première est fixée ;
symétrie : $\langle x, y\rangle = \langle y, x\rangle$ pour tous $x$ et $y$ ;
positivité : $\langle x, x\rangle \geqslant 0$ pour tout $x$ ;
caractère défini : si $\langle x, x\rangle = 0$ , alors $x = 0$ .

On résume en disant qu'un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive. Grâce à la symétrie, il suffit de vérifier la linéarité par rapport à une seule variable.

1.2Exemples à connaître

Exemple 1.2Produit scalaire canonique sur $\R^n$

Pour $x = (x_1, \dots, x_n)$ et $y = (y_1, \dots, y_n)$ : $\langle x, y\rangle = x_1y_1 + \dots + x_ny_n.$ C'est celui qui est sous-entendu quand on parle de la structure euclidienne canonique de $\R^n$ .

Exemple 1.3Version matricielle

Sur $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ , l'application $(X, Y) \mapsto {}^t XY$ est un produit scalaire. C'est le même que le précédent, écrit en colonnes.

Exemple 1.4Produit scalaire à poids

Sur $\R^2$ , l'application $\langle x, y\rangle = 2x_1y_1 + 3x_2y_2$ est un produit scalaire. Plus généralement, on peut affecter à chaque coordonnée un coefficient strictement positif. Si l'un des coefficients est nul ou négatif, le caractère défini positif tombe.

Exemple 1.5Produit scalaire intégral

Sur l'espace des polynômes de degré au plus $n$ , l'application $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 P(t)Q(t)\,\dd t$ est un produit scalaire. La bilinéarité et la symétrie sont claires. La positivité vient de la positivité de l'intégrale. Pour le caractère défini, si $\int_0^1 P(t)^2\,\dd t = 0$ avec $P^2$ continue et positive, alors $P$ est nulle sur $\intff{0}{1}$ , donc $P$ a une infinité de racines, donc $P$ est le polynôme nul.

Exemple 1.6Un exemple qui n'en est pas un

Sur $\R^2$ , l'application $(x, y) \mapsto x_1y_1$ est bilinéaire, symétrique et positive, mais pas définie : le vecteur $(0, 1)$ est non nul et donne $0$ .

1.3Norme associée

Définition 1.7Norme associée

La norme associée au produit scalaire est $\norm{x} = \sqrt{\langle x, x\rangle}$ . Un vecteur de norme 1 est dit unitaire, ou normé.

Propriété 1.8Propriétés de la norme

Pour tous vecteurs $x$ et $y$ et tout réel $\lambda$ :

$\norm{x} \geqslant 0$ , avec $\norm{x} = 0$ si et seulement si $x = 0$ ;
$\norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\,\norm{x}$ ;
$\norm{x + y} \leqslant \norm{x} + \norm{y}$ (inégalité triangulaire).

Si $x$ est non nul, le vecteur $x / \norm{x}$ est unitaire. C'est l'opération de normalisation.

1.4Identités de développement

Propriété 1.9Développement de la norme

Par bilinéarité et symétrie, pour tous vecteurs $x$ et $y$ : $\begin{aligned} \norm{x + y}^2 &= \norm{x}^2 + 2\langle x, y\rangle + \norm{y}^2,\\ \norm{x - y}^2 &= \norm{x}^2 - 2\langle x, y\rangle + \norm{y}^2. \end{aligned}$

Propriété 1.10Identité de polarisation

Pour tous vecteurs $x$ et $y$ : $\langle x, y\rangle = \frac{\norm{x+y}^2 - \norm{x}^2 - \norm{y}^2}{2}.$

La norme détermine entièrement le produit scalaire.

2Inégalité de Cauchy-Schwarz

2.1Énoncé

Théorème 2.1Inégalité de Cauchy-Schwarz

Pour tous vecteurs $x$ et $y$ d'un espace vectoriel réel muni d'un produit scalaire : $\abs{\langle x, y\rangle} \leqslant \norm{x}\,\norm{y}.$ Il y a égalité si et seulement si la famille $(x, y)$ est liée, c'est-à-dire si l'un des deux vecteurs est un multiple de l'autre.

2.2Démonstration

Démonstration

Si $y = 0$ , les deux membres sont nuls et la famille est liée : l'égalité a lieu. Supposons $y$ non nul. Pour tout réel $t$ , posons $\varphi(t) = \norm{x + ty}^2$ . En développant, $\varphi(t) = \norm{y}^2 t^2 + 2\langle x, y\rangle t + \norm{x}^2.$ C'est un trinôme du second degré en $t$ , de coefficient dominant $\norm{y}^2$ strictement positif. Comme $\varphi(t)$ est un carré de norme, $\varphi(t) \geqslant 0$ pour tout $t$ . Un trinôme de signe constant positif a un discriminant négatif ou nul. Donc $4\langle x, y\rangle^2 - 4\norm{x}^2\norm{y}^2 \leqslant 0,$ ce qui donne $\langle x, y\rangle^2 \leqslant \norm{x}^2\norm{y}^2$ , puis l'inégalité annoncée en prenant les racines carrées.

Cas d'égalité. Il y a égalité si et seulement si le discriminant est nul, donc si et seulement si le trinôme admet une racine double $t_0$ . Alors $\norm{x + t_0y} = 0$ , donc $x = -t_0 y$ , et la famille est liée. Réciproquement, si $x = ay$ , un calcul direct donne $\abs{\langle x, y\rangle} = \abs{a}\,\norm{y}^2 = \norm{x}\,\norm{y}$ .

2.3Conséquence et usages

L'inégalité triangulaire s'en déduit. On développe $\norm{x+y}^2 = \norm{x}^2 + 2\langle x, y\rangle + \norm{y}^2$ , on majore $\langle x, y\rangle$ par $\norm{x}\,\norm{y}$ , et on reconnaît le carré de $\norm{x} + \norm{y}$ .

Exemple 2.2Application numérique classique

Avec le produit scalaire canonique sur $\R^n$ , en prenant $y = (1, 1, \dots, 1)$ , on obtient $(x_1 + \dots + x_n)^2 \leqslant n\,(x_1^2 + \dots + x_n^2).$ Cette majoration sert souvent en probabilités et en statistiques.

En statistique bivariée, l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée à la covariance donne la majoration du coefficient de corrélation linéaire par 1 en valeur absolue.

3Orthogonalité

3.1Vecteurs et sous-espaces orthogonaux

Définition 3.1Orthogonalité

Deux vecteurs $x$ et $y$ sont orthogonaux lorsque $\langle x, y\rangle = 0$ . On note parfois $x \perp y$ . Deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ sont orthogonaux lorsque tout vecteur de $F$ est orthogonal à tout vecteur de $G$ .

Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs, et c'est le seul vecteur orthogonal à lui-même. Pour vérifier que $F$ et $G$ sont orthogonaux, il suffit, par bilinéarité, de le faire sur une famille génératrice de $F$ et une famille génératrice de $G$ .

3.2Familles orthogonales et orthonormales

Définition 3.2Familles orthogonales et orthonormales

Le programme ne considère que des familles finies. Une famille $(u_1, \dots, u_p)$ est orthogonale lorsque $\langle u_i, u_j\rangle = 0$ dès que $i \neq j$ . Elle est orthonormale, ou orthonormée, lorsqu'en plus chaque vecteur est unitaire : $\langle u_i, u_j\rangle = 0 \text{ si } i \neq j, \qquad \langle u_i, u_i\rangle = 1.$

Théorème 3.3Liberté d'une famille orthogonale

Hypothèses

$(u_1, \dots, u_p)$ est une famille orthogonale ;
elle ne contient pas le vecteur nul.

Alors cette famille est libre. En particulier, toute famille orthonormale est libre.

Démonstration

Supposons $a_1u_1 + \dots + a_pu_p = 0$ . Prenons le produit scalaire avec $u_j$ . Par bilinéarité, tous les termes d'indice différent de $j$ s'annulent, et il reste $a_j\langle u_j, u_j\rangle = 0$ . Comme $u_j$ est non nul, $\langle u_j, u_j\rangle > 0$ , donc $a_j = 0$ . Ceci vaut pour tout $j$ .

3.3Théorème de Pythagore

Théorème 3.4Théorème de Pythagore

Si $x$ et $y$ sont orthogonaux, alors $\norm{x+y}^2 = \norm{x}^2 + \norm{y}^2$ .

La réciproque est vraie dans un espace réel : si $\norm{x+y}^2 = \norm{x}^2 + \norm{y}^2$ , alors $\langle x, y\rangle = 0$ .

Cela se lit directement sur le développement de la norme.

Propriété 3.5Pythagore pour $p$ vecteurs

Si $(u_1, \dots, u_p)$ est une famille orthogonale, alors $\norm{u_1 + \dots + u_p}^2 = \norm{u_1}^2 + \dots + \norm{u_p}^2.$ On développe la somme double et tous les termes croisés sont nuls.

4Espaces euclidiens

4.1Définition

Définition 4.1Espace euclidien

Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie, muni d'un produit scalaire. On note en général $n$ sa dimension.

4.2Existence de bases orthonormées

Théorème 4.2Existence de bases orthonormées

Tout espace euclidien admet au moins une base orthonormée.

On peut construire une telle base à partir d'une base quelconque par le procédé d'orthonormalisation de Schmidt, qui consiste à retrancher à chaque nouveau vecteur ses composantes sur les précédents, puis à normaliser. Le programme précise que ce procédé peut être présenté sur des exemples en petite dimension, mais qu'il n'est pas exigible.

4.3Coordonnées dans une base orthonormée

Propriété 4.3Coordonnées et norme

Hypothèse

$(e_1, \dots, e_n)$ est une base orthonormée de $E$ .

Alors, pour tout vecteur $x$ : $x = \langle x, e_1\rangle e_1 + \dots + \langle x, e_n\rangle e_n.$ Par le théorème de Pythagore appliqué à la famille orthogonale des $\langle x, e_i\rangle e_i$ : $\norm{x}^2 = \langle x, e_1\rangle^2 + \dots + \langle x, e_n\rangle^2.$

Démonstration

Comme la famille est une base, $x$ s'écrit $a_1e_1 + \dots + a_ne_n$ . En prenant le produit scalaire avec $e_j$ , tous les termes s'annulent sauf le $j$ -ième, et il reste $\langle x, e_j\rangle = a_j$ .

Dans une base orthonormée, les coordonnées se lisent par un simple produit scalaire, sans résoudre de système.

4.4Expression matricielle

Propriété 4.4Expression matricielle

Hypothèses

$\mathcal{B}$ est une base orthonormée de $E$ ;
$X$ et $Y$ sont les colonnes des coordonnées de $x$ et $y$ dans $\mathcal{B}$ .

Alors $\langle x, y\rangle = {}^t XY \quad \text{et} \quad \norm{x}^2 = {}^t XX.$

Attention

Ces formules sont fausses dans une base quelconque. Elles caractérisent même les bases orthonormées.

4.5Changement de bases orthonormées

Propriété 4.5Matrice de passage orthogonale

Hypothèses

$\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}'$ sont deux bases orthonormées de $E$ ;
$P$ est la matrice de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$ .

Alors $P^{-1} = {}^t P$ . Une telle matrice est dite orthogonale.

Le programme précise qu'aucune autre connaissance sur les matrices orthogonales n'est exigible.

Idée de la justification. Le coefficient d'indice $(i, j)$ de ${}^t PP$ est le produit scalaire des colonnes $i$ et $j$ de $P$ . C'est le produit scalaire des vecteurs numéro $i$ et numéro $j$ de $\mathcal{B}'$ , calculé dans la base orthonormée $\mathcal{B}$ . Ce produit vaut 1 si $i = j$ et 0 sinon. Donc ${}^t PP = I_n$ .

Pour inverser une matrice de passage entre bases orthonormées, il suffit de transposer. C'est un gain de temps en réduction des matrices symétriques.

4.6Supplémentaire orthogonal

Définition 4.6Orthogonal d'un sous-espace

Soit $F$ un sous-espace vectoriel d'un espace euclidien $E$ . L'orthogonal de $F$ , noté $F^\perp$ , est l'ensemble des vecteurs de $E$ orthogonaux à tous les vecteurs de $F$ .

C'est un sous-espace vectoriel de $E$ , par bilinéarité du produit scalaire. De plus $F \cap F^\perp = \{0\}$ , car un vecteur $x$ des deux vérifie $\langle x, x\rangle = 0$ , donc $x = 0$ .

Théorème 4.7Supplémentaire orthogonal

Hypothèses

$E$ est un espace euclidien ;
$F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .

Alors $E = F \oplus F^\perp$ . On dit que $F^\perp$ est le supplémentaire orthogonal de $F$ . On en déduit $\dim F^\perp = \dim E - \dim F, \qquad (F^\perp)^\perp = F.$

Idée de la preuve. Soit $(u_1, \dots, u_p)$ une base orthonormée de $F$ . Pour $x$ dans $E$ , posons $y = \langle x, u_1\rangle u_1 + \dots + \langle x, u_p\rangle u_p$ . Ce vecteur appartient à $F$ . Pour chaque $j$ , un calcul direct donne $\langle x - y, u_j\rangle = \langle x, u_j\rangle - \langle x, u_j\rangle = 0$ . Donc $x - y$ est orthogonal à tous les $u_j$ , donc à $F$ tout entier. On a écrit $x = y + (x - y)$ avec $y$ dans $F$ et $x - y$ dans $F^\perp$ . La somme est donc $E$ , et elle est directe d'après l'intersection nulle. Le vecteur $y$ est la projection orthogonale de $x$ sur $F$ , notion étudiée au quatrième semestre.

Pour déterminer $F^\perp$ , on écrit une famille génératrice de $F$ , puis on traduit l'orthogonalité à chacun de ses vecteurs. On obtient un système linéaire homogène dont $F^\perp$ est l'ensemble des solutions.

4.7Complétion d'une famille orthonormée

Théorème 4.8Complétion en base orthonormée

Toute famille orthonormale d'un espace euclidien peut être complétée en une base orthonormée de cet espace.

C'est une version orthonormée du théorème de la base incomplète. On peut l'obtenir en prenant une base orthonormée de l'orthogonal du sous-espace engendré par la famille de départ, puis en concaténant.

Méthodes

MéthodeVérifier qu'une application est un produit scalaire

Traiter la symétrie en premier, elle est en général immédiate.
Prouver la linéarité par rapport à la première variable.
Écrire $\langle x, x\rangle$ et montrer que c'est une somme ou une intégrale de termes positifs, nulle seulement si $x = 0$ .

Ce dernier point est le plus souvent piégé.

MéthodeDémontrer une inégalité numérique

Reconnaître un produit scalaire.
Choisir les deux vecteurs.
Appliquer Cauchy-Schwarz.

Le choix du vecteur constant $(1, 1, \dots, 1)$ est le plus fréquent.

MéthodeConstruire une base orthonormée

Partir d'une base, en petite dimension.
Rendre le deuxième vecteur orthogonal au premier en lui retranchant sa composante.
Normaliser chaque vecteur.

MéthodeDéterminer un supplémentaire orthogonal

Écrire les conditions d'orthogonalité aux générateurs de $F$ .
Résoudre le système.
Vérifier la dimension obtenue avec la formule $\dim F^\perp = n - \dim F$ .

MéthodeCalculer dans une base orthonormée

Utiliser systématiquement $x = \sum_i \langle x, e_i\rangle e_i, \qquad \norm{x}^2 = \sum_i \langle x, e_i\rangle^2.$ Cela évite tout système linéaire.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Donner la définition complète d'un produit scalaire et vérifier les axiomes sur un exemple à poids ou sur un exemple intégral.
Démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz par la méthode du trinôme, et traiter le cas d'égalité.
En déduire l'inégalité triangulaire.
Démontrer qu'une famille orthogonale sans vecteur nul est libre.
Énoncer et démontrer le théorème de Pythagore, avec sa réciproque dans le cas réel, et sa version pour $p$ vecteurs.
Démontrer que dans une base orthonormée les coordonnées sont les $\langle x, e_i\rangle$ , et en déduire l'expression de la norme.
Justifier que la matrice de passage entre deux bases orthonormées vérifie $P^{-1} = {}^t P$ .
Déterminer $F^\perp$ pour un plan ou une droite de $\R^3$ , et vérifier la formule des dimensions.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive. Grâce à la symétrie, la linéarité par rapport à une seule variable suffit. Exigible.
Produit scalaire canonique sur Rⁿ, Σ x_i y_i, et sa version en colonnes ᵗXY. Exigibles, ainsi que les exemples à poids et l'exemple intégral ∫₀¹ P(t)Q(t) dt sur R_n[x].
Norme associée, ||x|| = √⟨x, x⟩, avec ||λx|| = |λ| ||x|| et ||x|| = 0 si et seulement si x = 0. Exigible.
Identités de développement, ||x + y||² = ||x||² + 2⟨x, y⟩ + ||y||², et polarisation ⟨x, y⟩ = (||x + y||² − ||x||² − ||y||²)/2. Exigibles, par bilinéarité.
Inégalité de Cauchy-Schwarz, |⟨x, y⟩| ≤ ||x|| ||y||, avec égalité si et seulement si (x, y) est liée. Exigible avec démonstration, par le trinôme t ↦ ||x + ty||².
Inégalité triangulaire, ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||. Exigible avec démonstration à partir de Cauchy-Schwarz.
Toute famille orthogonale ne contenant pas le vecteur nul est libre. Exigible avec démonstration, produit scalaire d'une combinaison nulle avec chaque vecteur.
Théorème de Pythagore, x ⊥ y si et seulement si ||x + y||² = ||x||² + ||y||², et sa version pour une famille orthogonale finie. Exigible.
Tout espace euclidien admet une base orthonormée. Exigible comme énoncé. L'orthonormalisation de Schmidt n'est pas exigible, mais sa pratique en dimension 2 ou 3 est attendue.
Dans une base orthonormée (e_i), x = Σ ⟨x, e_i⟩ e_i et ||x||² = Σ ⟨x, e_i⟩². Exigible avec démonstration.
En base orthonormée, ⟨x, y⟩ = ᵗXY et ||x||² = ᵗXX. Exigible, faux dans une base quelconque.
La matrice de passage entre deux bases orthonormées vérifie P⁻¹ = ᵗP. Exigible avec justification, ᵗPP = I car les colonnes sont orthonormées. Aucune autre connaissance sur les matrices orthogonales n'est au programme.
Supplémentaire orthogonal, F⊥ est un sous-espace, E = F ⊕ F⊥, dim F⊥ = dim E − dim F, (F⊥)⊥ = F. Exigibles, la démonstration de E = F ⊕ F⊥ passe par une base orthonormée de F.
Toute famille orthonormée se complète en une base orthonormée. Exigible comme énoncé.
Hors programme, à signaler si un exercice les demande, la matrice de Gram, le groupe orthogonal, les espaces préhilbertiens de dimension infinie, et la projection orthogonale comme théorie avant le quatrième semestre.

Clés de démonstration

Cauchy-Schwarz. Si y = 0 tout est nul. Sinon φ(t) = ||x + ty||² = ||y||² t² + 2⟨x, y⟩ t + ||x||² est un trinôme positif ou nul pour tout t, de coefficient dominant strictement positif, donc de discriminant négatif ou nul, ce qui donne ⟨x, y⟩² ≤ ||x||² ||y||². Égalité si et seulement si discriminant nul, si et seulement si φ a une racine t₀, si et seulement si x + t₀y = 0. Astuce, un trinôme de signe constant a un discriminant de signe connu.

Inégalité triangulaire. ||x + y||² = ||x||² + 2⟨x, y⟩ + ||y||² ≤ ||x||² + 2||x|| ||y|| + ||y||² = (||x|| + ||y||)². Astuce, majorer le double produit puis reconnaître un carré.

Famille orthogonale libre. Si Σ a_i u_i = 0, le produit scalaire avec u_j donne a_j ||u_j||² = 0, et ||u_j|| ≠ 0, donc a_j = 0. Astuce, le produit scalaire isole un coefficient à la fois.

Coordonnées en base orthonormée. Si x = Σ a_i e_i, le produit scalaire avec e_j donne ⟨x, e_j⟩ = a_j. La norme suit par Pythagore. Astuce, la même idée que pour la liberté, appliquée à une décomposition au lieu d'une relation nulle.

P⁻¹ = ᵗP. Le coefficient (i, j) de ᵗPP est le produit scalaire des colonnes i et j de P, c'est-à-dire ⟨e'_i, e'_j⟩ calculé dans la base orthonormée B. Cela vaut 1 si i = j et 0 sinon. Astuce, ᵗPP = I suffit, car une matrice carrée inversible à gauche l'est à droite.

E = F ⊕ F⊥. On prend une base orthonormée (u₁, …, u_p) de F, on pose y = Σ ⟨x, u_i⟩ u_i, alors x − y est orthogonal à chaque u_i donc à F. On a x = y + (x − y). L'intersection est nulle car ⟨x, x⟩ = 0 impose x = 0. Astuce, la construction de y est celle de la projection orthogonale, sans le nom.

Exemples et contre-exemples à connaître

Sur R², (x, y) ↦ x₁y₁ est bilinéaire, symétrique, positive, mais pas définie, car (0, 1) est non nul de carré scalaire nul. Ce n'est pas un produit scalaire.
Sur R², (x, y) ↦ x₁y₁ − x₂y₂ est bilinéaire symétrique mais pas positive, (0, 1) donne −1. La positivité se vérifie, elle ne se devine pas.
Sur R², ⟨x, y⟩ = 2x₁y₁ + 3x₂y₂ est un produit scalaire, alors que 2x₁y₁ + 0x₂y₂ n'en est pas un. Les poids doivent être strictement positifs.
Sur R_n[x], ⟨P, Q⟩ = ∫₀¹ P(t)Q(t) dt est un produit scalaire, et le caractère défini repose sur le fait qu'un polynôme nul sur [0, 1] a une infinité de racines. Sur l'espace des fonctions continues, le même argument utilise la continuité.
Sur M_n(R), ⟨A, B⟩ = Tr(ᵗAB) = Σ a_i,j b_i,j est le produit scalaire canonique lu sur les coefficients. C'est l'exemple qui relie trace et algèbre bilinéaire.
(x₁ + … + x_n)² ≤ n(x₁² + … + x_n²), Cauchy-Schwarz avec le vecteur (1, …, 1). Égalité si et seulement si tous les x_i sont égaux.
Dans R³, la base ((1, 1, 0), (1, −1, 0), (0, 0, 1)) est orthogonale mais pas orthonormée. Il faut diviser les deux premiers vecteurs par √2.
Dans une base non orthonormée, ⟨x, y⟩ ≠ ᵗXY en général. Avec la base ((1, 0), (1, 1)) de R², le vecteur (1, 1) a pour coordonnées (0, 1) et sa norme vaut √2, pas 1.
L'orthogonal d'un plan de R³ d'équation ax + by + cz = 0 est la droite Vect((a, b, c)). L'équation donne directement le vecteur normal.
Une famille orthogonale peut contenir le vecteur nul et n'est alors pas libre. La condition « sans vecteur nul » du théorème n'est pas décorative.

Techniques du chapitre

Vérifier un produit scalaire. Mini-exercice, sur R², ⟨x, y⟩ = x₁y₁ + x₁y₂ + x₂y₁ + 3x₂y₂. Symétrie et bilinéarité sont claires. ⟨x, x⟩ = x₁² + 2x₁x₂ + 3x₂² = (x₁ + x₂)² + 2x₂², somme de carrés, nulle seulement si x₂ = 0 puis x₁ = 0. C'est un produit scalaire. L'astuce est la forme canonique.

Appliquer Cauchy-Schwarz. Mini-exercice, pour x₁, …, x_n strictement positifs, montrer (Σ x_i)(Σ 1/x_i) ≥ n². On prend u = (√x_i) et v = (1/√x_i), alors ⟨u, v⟩ = n et ||u||² ||v||² = (Σ x_i)(Σ 1/x_i). Cauchy-Schwarz donne n² ≤ (Σ x_i)(Σ 1/x_i).

Orthonormaliser en dimension 2. Mini-exercice, à partir de u₁ = (1, 1) et u₂ = (1, 0) dans R². On pose e₁ = u₁/√2. Puis v₂ = u₂ − ⟨u₂, e₁⟩ e₁ = (1, 0) − (1/2)(1, 1) = (1/2, −1/2), puis e₂ = v₂/||v₂|| = (1, −1)/√2. On vérifie ⟨e₁, e₂⟩ = 0.

Déterminer un orthogonal. Mini-exercice, F = Vect((1, 1, 1), (1, 0, −1)) dans R³. Un vecteur (x, y, z) est dans F⊥ si et seulement si x + y + z = 0 et x − z = 0, donc z = x et y = −2x. F⊥ = Vect((1, −2, 1)), de dimension 3 − 2 = 1, ce qui recoupe la formule.

Coordonnées sans système. Mini-exercice, dans la base orthonormée e₁ = (1, 1)/√2, e₂ = (1, −1)/√2 de R², le vecteur x = (3, 1) a pour coordonnées ⟨x, e₁⟩ = 4/√2 = 2√2 et ⟨x, e₂⟩ = 2/√2 = √2. Contrôle, 8 + 2 = 10 = ||x||².

Utiliser P⁻¹ = ᵗP. Mini-exercice, la matrice P de colonnes e₁ et e₂ ci-dessus, de lignes (1/√2, 1/√2) et (1/√2, −1/√2), vérifie ᵗPP = I. Son inverse est sa transposée, ici égale à elle-même. Aucun pivot à faire.

Compléter une famille orthonormée. Mini-exercice, compléter (e₁) = ((1, 2, 2)/3) en base orthonormée de R³. On cherche l'orthogonal, x + 2y + 2z = 0, de base ((2, −1, 0), (2, 0, −1)) qu'on orthonormalise, e₂ = (2, −1, 0)/√5, puis v₃ = (2, 0, −1) − (4/5)(2, −1, 0) = (2/5, 4/5, −1), de norme √(4/25 + 16/25 + 1) = √(45/25) = 3/√5, d'où e₃ = (2, 4, −5)/(3√5).

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Produit scalaire intégral

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Sur R₂[x], on pose ⟨P, Q⟩ = ∫₀¹ P(t)Q(t) dt. (a) Montrer que c'est un produit scalaire. (b) Calculer ⟨1, x⟩, ||1|| et ||x||. (c) Déterminer un polynôme de degré 1 orthogonal à 1.

Technique axiomes, intégrale d'une fonction continue positive nulle.

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(a) Symétrie et bilinéarité viennent de la linéarité de l'intégrale. Positivité, ∫₀¹ P(t)² dt ≥ 0. Caractère défini, si ∫₀¹ P² = 0 avec P² continue et positive, alors P² est nulle sur [0, 1], donc P a une infinité de racines, donc P = 0. 2. (b) ⟨1, x⟩ = ∫₀¹ t dt = 1/2, ||1||² = 1, ||x||² = ∫₀¹ t² dt = 1/3. 3. (c) On cherche x − a avec ⟨1, x − a⟩ = 1/2 − a = 0, donc x − 1/2. C'est le premier pas de Schmidt.

piège : Dans le caractère défini, oublier la continuité de P², qui est exactement ce qui permet de passer d'une intégrale nulle à une fonction nulle.

Exercice 2. Cas d'égalité de Cauchy-Schwarz

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soient a₁, …, a_n des réels avec Σ a_i = n. Montrer que Σ a_i² ≥ n et déterminer le cas d'égalité.

Technique Cauchy-Schwarz avec le vecteur (1, …, 1), égalité si et seulement si famille liée.

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Avec x = (a_i) et y = (1, …, 1), ⟨x, y⟩ = Σ a_i = n, ||y||² = n. 2. Cauchy-Schwarz, n² ≤ n Σ a_i², donc Σ a_i² ≥ n. 3. Égalité si et seulement si x et y sont liés, c'est-à-dire x = ty, tous les a_i égaux à t, et Σ a_i = n impose t = 1. Égalité si et seulement si tous les a_i valent 1.

piège : Écrire le cas d'égalité comme « x = y » au lieu de « x et y colinéaires », puis oublier de déterminer le coefficient.

Exercice 3. Pythagore et réciproque

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Dans un espace euclidien, montrer que ||x + y|| = ||x − y|| si et seulement si x ⊥ y. Interpréter géométriquement.

Technique développer les deux carrés et soustraire.

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||x + y||² − ||x − y||² = 4⟨x, y⟩ par les identités de développement. 2. Les normes sont positives, donc ||x + y|| = ||x − y|| équivaut à ||x + y||² = ||x − y||², équivaut à ⟨x, y⟩ = 0. 3. Interprétation, un parallélogramme a ses diagonales de même longueur si et seulement si c'est un rectangle.

piège : Passer des normes aux carrés sans dire que les normes sont positives, l'équivalence en dépend.

Exercice 4. Propriétés de l'orthogonal

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soient F et G deux sous-espaces d'un espace euclidien E. (a) Montrer que si F ⊂ G alors G⊥ ⊂ F⊥. (b) Montrer que (F + G)⊥ = F⊥ ∩ G⊥. (c) Montrer que (F⊥)⊥ = F.

Technique revenir à la définition, puis dimension pour (c).

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(a) Si x est orthogonal à tout G, il est orthogonal à tout F puisque F ⊂ G. 2. (b) Si x ⊥ F + G, alors x ⊥ F et x ⊥ G car F et G sont inclus dans F + G. Réciproquement si x ⊥ F et x ⊥ G, pour f + g dans F + G, ⟨x, f + g⟩ = 0 + 0. 3. (c) Tout x de F est orthogonal à tout F⊥ par définition, donc F ⊂ (F⊥)⊥. Les dimensions valent dim F et dim E − (dim E − dim F) = dim F. Inclusion et égalité des dimensions donnent l'égalité.

piège : Prouver (c) par double inclusion alors que l'inclusion réciproque n'est pas directe, il faut la dimension.

Exercice 5. Orthonormalisation dans R₂[x]

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Sur R₂[x] muni de ⟨P, Q⟩ = ∫₋₁¹ P(t)Q(t) dt, construire une base orthonormée à partir de (1, x, x²).

Technique Schmidt, en utilisant la parité pour annuler des intégrales.

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||1||² = 2, e₀ = 1/√2. 2. ⟨x, 1⟩ = 0 par imparité, donc x est déjà orthogonal à e₀. ||x||² = 2/3, e₁ = x √(3/2). 3. ⟨x², e₁⟩ = 0 par imparité, ⟨x², e₀⟩ = (1/√2)(2/3) = √2/3. On pose v₂ = x² − (√2/3) e₀ = x² − 1/3. ||v₂||² = ∫₋₁¹ (t² − 1/3)² dt = 2/5 − 4/9 + 2/9 = 8/45. e₂ = (x² − 1/3) √(45/8). 4. Signalement, ce sont, à normalisation près, les trois premiers polynômes de Legendre, un nom qu'un sujet donne mais qui n'est pas au programme.

piège : Oublier de retrancher la composante sur e₀ pour x², en croyant que ⟨x², 1⟩ est nul comme ⟨x, 1⟩. Une fonction paire n'a pas d'intégrale nulle.

Exercice 6. Colonnes orthonormées et P⁻¹ = ᵗP

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit P une matrice carrée d'ordre n. Montrer que ᵗPP = I_n si et seulement si les colonnes de P forment une base orthonormée de M_n,1(R) pour le produit scalaire canonique. Montrer qu'alors les lignes de P sont aussi orthonormées.

Technique coefficient (i, j) de ᵗPP, puis inverse à gauche et à droite.

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Le coefficient (i, j) de ᵗPP est ᵗC_i C_j où C_i est la colonne i. ᵗPP = I signifie donc ⟨C_i, C_j⟩ = 0 si i ≠ j et 1 si i = j, ce qui est l'orthonormalité. Une famille orthonormée de n vecteurs en dimension n est une base. 2. Si ᵗPP = I, P est inversible d'inverse ᵗP, donc aussi PᵗP = I. Le coefficient (i, j) de PᵗP est le produit scalaire des lignes i et j, d'où l'orthonormalité des lignes.

piège : Oublier qu'une inverse à gauche d'une matrice carrée est aussi inverse à droite, ce qui est nécessaire pour passer aux lignes.

Exercice 7. Orthogonal d'un plan et décomposition

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Dans R³ euclidien canonique, soit F le plan d'équation x − y + 2z = 0. (a) Déterminer F⊥. (b) Décomposer le vecteur u = (1, 2, 3) en u = f + g avec f dans F et g dans F⊥. (c) Calculer ||f|| et vérifier Pythagore.

Technique vecteur normal, puis g = ⟨u, n⟩ n / ||n||².

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(a) F⊥ = Vect(n) avec n = (1, −1, 2), car F est l'ensemble des vecteurs orthogonaux à n et (F⊥)⊥ = F. 2. (b) g est colinéaire à n, g = t n, et u − g doit être dans F, soit ⟨u − tn, n⟩ = 0, donc t = ⟨u, n⟩/||n||² = (1 − 2 + 6)/6 = 5/6. g = (5/6, −5/6, 5/3) et f = u − g = (1/6, 17/6, 4/3). On vérifie 1/6 − 17/6 + 8/3 = 0. 3. (c) ||g||² = 25/36 × 6 = 25/6, ||u||² = 14, donc ||f||² = 14 − 25/6 = 59/6 par Pythagore, ce que confirme le calcul direct (1 + 289 + 64)/36 = 354/36 = 59/6.

piège : Prendre f = tn au lieu de g = tn, en confondant le plan et sa normale.

Exercice 8. Cauchy-Schwarz et intégrales

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Soit f continue et strictement positive sur [0, 1]. Montrer que ∫₀¹ f(t) dt × ∫₀¹ 1/f(t) dt ≥ 1.

Technique produit scalaire intégral avec √f et 1/√f.

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Sur l'espace des fonctions continues sur [0, 1], ⟨u, v⟩ = ∫₀¹ uv est un produit scalaire, la vérification est celle de l'exercice 1 avec la continuité à la place de l'argument sur les racines. 2. On pose u = √f et v = 1/√f, continues car f est continue et strictement positive. ⟨u, v⟩ = ∫₀¹ 1 = 1, ||u||² = ∫ f, ||v||² = ∫ 1/f. 3. Cauchy-Schwarz donne 1 ≤ ∫ f × ∫ 1/f. Égalité si et seulement si √f et 1/√f sont colinéaires, donc f constante.

piège : Appliquer Cauchy-Schwarz à f et 1/f directement, ce qui majore (∫ 1)² par ∫ f² ∫ 1/f², un résultat vrai mais qui n'est pas celui demandé.

Exercice 9. Produit scalaire sur M_n(R) et trace

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, type EDHEC

Sur M_n(R), on pose ⟨A, B⟩ = Tr(ᵗAB). (a) Montrer que c'est un produit scalaire. (b) Montrer que S_n(R) et A_n(R), matrices symétriques et antisymétriques, sont orthogonaux. (c) En déduire que A_n(R) est le supplémentaire orthogonal de S_n(R), et retrouver dim A_n(R).

Technique Tr(ᵗAB) = Σ a_i,j b_i,j, puis Tr(XY) = Tr(YX) pour la transposition.

Voir le corrigé

(a) Le coefficient (j, j) de ᵗAB est Σ_i a_i,j b_i,j, donc Tr(ᵗAB) = Σ_i,j a_i,j b_i,j. C'est le produit scalaire canonique sur les n² coefficients, bilinéaire, symétrique, défini positif. 2. (b) Soient S symétrique et K antisymétrique. ⟨S, K⟩ = Tr(ᵗSK) = Tr(SK). Par transposition, Tr(SK) = Tr(ᵗ(SK)) = Tr(ᵗKᵗS) = Tr(−KS) = −Tr(KS) = −Tr(SK) en utilisant Tr(KS) = Tr(SK). Donc Tr(SK) = 0. 3. (c) A_n(R) ⊂ S_n(R)⊥, et dim S_n(R)⊥ = n² − n(n + 1)/2 = n(n − 1)/2. Or M_n(R) = S_n ⊕ A_n donne dim A_n = n(n − 1)/2. Inclusion et égalité des dimensions, A_n(R) = S_n(R)⊥.

piège : Dans (b), oublier que la trace est invariante par transposition, Tr(ᵗM) = Tr(M), ce qui est le pivot du calcul.

Exercice 10. Coefficient de corrélation

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, type emlyon

Soient x = (x₁, …, x_n) et y = (y₁, …, y_n) deux séries statistiques de moyennes x̄ et ȳ, et de variances non nulles. On pose cov(x, y) = (1/n) Σ (x_i − x̄)(y_i − ȳ) et r = cov(x, y)/(σ_x σ_y). Montrer que |r| ≤ 1, et caractériser |r| = 1.

Technique vecteurs centrés et produit scalaire canonique.

Voir le corrigé

On pose X = (x_i − x̄) et Y = (y_i − ȳ), vecteurs de Rⁿ. Alors cov(x, y) = ⟨X, Y⟩/n, σ_x² = ||X||²/n, σ_y² = ||Y||²/n. 2. r = ⟨X, Y⟩/(||X|| ||Y||), et Cauchy-Schwarz donne |r| ≤ 1. Les normes sont non nulles par hypothèse sur les variances. 3. |r| = 1 si et seulement si X et Y sont colinéaires, Y = aX avec a ≠ 0, c'est-à-dire y_i − ȳ = a(x_i − x̄) pour tout i. Les points (x_i, y_i) sont alignés sur une droite de pente a, de signe celui de r.

piège : Oublier de centrer les séries avant d'appliquer Cauchy-Schwarz, ce qui majore un autre quotient.

Exercice 11. Distance à un sous-espace

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit HEC ou ESSEC

Soit F un sous-espace d'un espace euclidien E et x un vecteur de E, décomposé en x = y + z avec y dans F et z dans F⊥. Montrer que pour tout f dans F, ||x − f|| ≥ ||x − y||, avec égalité si et seulement si f = y. En déduire la valeur minimale de ∫₀¹ (t² − at − b)² dt lorsque a et b décrivent R.

Technique Pythagore avec x − f = (x − y) + (y − f), puis traduction sur R₂[x].

Voir le corrigé

x − f = z + (y − f) avec z dans F⊥ et y − f dans F. Pythagore donne ||x − f||² = ||z||² + ||y − f||² ≥ ||z||² = ||x − y||², égalité si et seulement si y − f = 0. 2. Sur R₂[x] muni du produit scalaire intégral sur [0, 1], la quantité à minimiser est ||x² − (ax + b)||² avec ax + b décrivant F = R₁[x]. Le minimum est atteint pour y égal à la composante de x² dans F. 3. On cherche y = ax + b avec x² − y orthogonal à 1 et à x. ⟨x² − ax − b, 1⟩ = 1/3 − a/2 − b = 0 et ⟨x² − ax − b, x⟩ = 1/4 − a/3 − b/2 = 0. On résout, a = 1, b = −1/6. 4. Le minimum vaut ||x² − x + 1/6||² = ∫₀¹ (t² − t + 1/6)² dt = 1/180. Signalement, c'est la projection orthogonale, étudiée au quatrième semestre, mais tout ici découle de E = F ⊕ F⊥ et de Pythagore, au programme du troisième.

piège : Chercher le minimum par dérivation partielle en a et b sans reconnaître la structure euclidienne, ce qui marche mais coûte deux fois plus de calculs.

Erreurs fréquentes

Vérifier la bilinéarité et la symétrie, puis oublier le caractère défini, qui est l'axiome le plus souvent piégé.
Écrire le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz comme x = y au lieu de x et y colinéaires.
Utiliser ⟨x, y⟩ = ᵗXY ou x = Σ ⟨x, e_i⟩ e_i dans une base qui n'est pas orthonormée.
Oublier de normaliser après avoir orthogonalisé, ou normaliser avant d'avoir retranché les composantes.
Confondre F⊥ avec un supplémentaire quelconque de F, ou affirmer (F⊥)⊥ = F par double inclusion sans l'argument de dimension.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel d'ECG deuxième année, mathématiques approfondies (2021), enseignement du troisième semestre, partie I « Algèbre linéaire et bilinéaire », paragraphe « Algèbre bilinéaire ». Tous les espaces vectoriels sont réels. On identifie $\R$ et $\mathcal{M}_1(\R)$ . Les endomorphismes symétriques et la projection orthogonale sont traités au quatrième semestre.

Produit scalaire et espaces euclidiens

Résumé en cinq points

1Produit scalaire

1.1Définition

1.2Exemples à connaître

1.3Norme associée

1.4Identités de développement

2Inégalité de Cauchy-Schwarz

2.1Énoncé

2.2Démonstration

2.3Conséquence et usages

3Orthogonalité

3.1Vecteurs et sous-espaces orthogonaux

3.2Familles orthogonales et orthonormales

3.3Théorème de Pythagore

4Espaces euclidiens

4.1Définition

4.2Existence de bases orthonormées

4.3Coordonnées dans une base orthonormée

4.4Expression matricielle

4.5Changement de bases orthonormées

4.6Supplémentaire orthogonal

4.7Complétion d'une famille orthonormée

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Produit scalaire intégral

Exercice 2. Cas d'égalité de Cauchy-Schwarz

Exercice 3. Pythagore et réciproque

Exercice 4. Propriétés de l'orthogonal

Exercice 5. Orthonormalisation dans R2[x]

Exercice 6. Colonnes orthonormées et P⁻¹ = ᵗP

Exercice 7. Orthogonal d'un plan et décomposition

Exercice 8. Cauchy-Schwarz et intégrales

Exercice 9. Produit scalaire sur Mn(R) et trace

Exercice 10. Coefficient de corrélation

Exercice 11. Distance à un sous-espace

Erreurs fréquentes

Exercice 5. Orthonormalisation dans R₂[x]

Exercice 9. Produit scalaire sur M_n(R) et trace