Le cours

Résumé en cinq points

$\lambda$ est valeur propre de $f$ lorsque $\Ker(f - \lambda\,\mathrm{Id})$ n'est pas réduit au vecteur nul. Les vecteurs propres sont non nuls par définition.
Toute valeur propre est racine de tout polynôme annulateur, mais une racine n'est pas forcément une valeur propre. Il faut vérifier.
Tout endomorphisme en dimension finie admet un polynôme annulateur non nul, donc un nombre fini de valeurs propres, au plus $n$ .
Les sous-espaces propres sont toujours en somme directe. $f$ est diagonalisable si et seulement si la somme de leurs dimensions vaut $\dim E$ .
Diagonaliser, c'est écrire $A = PDP^{-1}$ avec les vecteurs propres en colonnes de $P$ et les valeurs propres dans le même ordre dans $D$ . On en déduit $A^k = PD^kP^{-1}$ .

Pourquoi ce chapitre

Réduire un endomorphisme, c'est chercher une base dans laquelle sa matrice est la plus simple possible. L'idéal est une matrice diagonale. Tout devient alors facile :

les puissances se calculent coefficient par coefficient ;
les systèmes de suites récurrentes couplées se découplent ;
les systèmes différentiels linéaires se ramènent à des équations indépendantes.

Ce chapitre apparaît presque chaque année aux concours d'ECG, souvent en problème complet, parfois couplé à des probabilités, par exemple pour étudier une chaîne de Markov à deux ou trois états.

Attention

Le déterminant et le polynôme caractéristique ne figurent pas au programme d'ECG mathématiques approfondies. On cherche les valeurs propres par résolution de système ou par polynôme annulateur, jamais par une équation caractéristique.

1Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres

1.1Définitions pour un endomorphisme

Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension $n \geqslant 1$ et $f$ un endomorphisme de $E$ .

Définition 1.1Valeur propre, vecteur propre

Un réel $\lambda$ est une valeur propre de $f$ lorsqu'il existe un vecteur $x$ de $E$ , non nul, tel que $f(x) = \lambda x$ . Un tel vecteur $x$ est appelé vecteur propre de $f$ associé à $\lambda$ .

Définition 1.2Sous-espace propre

Le sous-espace propre associé à $\lambda$ est $E_\lambda(f) = \Ker(f - \lambda\,\mathrm{Id}_E).$ C'est un sous-espace vectoriel de $E$ , formé du vecteur nul et de tous les vecteurs propres associés à $\lambda$ .

Définition 1.3Spectre

Le spectre de $f$ , noté $\mathrm{Sp}(f)$ , est l'ensemble des valeurs propres de $f$ .

Attention

Le vecteur nul vérifie $f(0) = \lambda \cdot 0$ pour tout $\lambda$ . On l'exclut donc de la définition d'un vecteur propre. En revanche il appartient à tout sous-espace propre.

À retenir

$\lambda$ est valeur propre si et seulement si $E_\lambda(f) \neq \{0\}$ , c'est-à-dire $\dim E_\lambda(f) \geqslant 1$ .

Propriété 1.4Caractérisations utiles

$\lambda$ est valeur propre de $f$ si et seulement si $f - \lambda\,\mathrm{Id}_E$ n'est pas injectif. En dimension finie, cela équivaut à dire que $f - \lambda\,\mathrm{Id}_E$ n'est pas bijectif. En particulier, $0$ est valeur propre de $f$ si et seulement si $f$ n'est pas injectif.

1.2Définitions pour une matrice carrée

Définition 1.5Éléments propres d'une matrice

Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$ . Un réel $\lambda$ est valeur propre de $A$ lorsqu'il existe une colonne $X$ de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ , non nulle, telle que $AX = \lambda X$ . On note $\mathrm{Sp}(A)$ le spectre de $A$ et $E_\lambda(A) = \Ker(A - \lambda I_n)$ le sous-espace propre associé.

Propriété 1.6Lien avec les endomorphismes

Hypothèses

$A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$ .

Alors $\mathrm{Sp}(A) = \mathrm{Sp}(f)$ , et les colonnes de coordonnées des vecteurs propres de $f$ dans $\mathcal{B}$ sont exactement les vecteurs propres de $A$ . Deux matrices semblables ont donc le même spectre, et les sous-espaces propres correspondants ont la même dimension.

1.3Cas des matrices triangulaires

Propriété 1.7Matrices triangulaires

Si $A$ est triangulaire, supérieure ou inférieure, ses valeurs propres sont exactement ses coefficients diagonaux.

Démonstration

La matrice $A - \lambda I_n$ est encore triangulaire, de coefficients diagonaux $a_{i,i} - \lambda$ . Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls. Donc $A - \lambda I_n$ n'est pas inversible exactement lorsque $\lambda$ est l'un des $a_{i,i}$ .

Attention

Cela donne les valeurs propres, pas les sous-espaces propres. Une matrice triangulaire n'est pas nécessairement diagonalisable. La matrice d'ordre 2 de lignes $(0, 1)$ et $(0, 0)$ a pour unique valeur propre $0$ , et son sous-espace propre est de dimension 1, strictement inférieure à 2.

1.4Éléments propres d'un polynôme d'endomorphisme

Propriété 1.8Image d'un vecteur propre par $Q(f)$

Hypothèses

$Q$ est un polynôme réel.

Alors si $f(x) = \lambda x$ , on a $Q(f)(x) = Q(\lambda)x$ . De même, si $AX = \lambda X$ , alors $Q(A)X = Q(\lambda)X$ .

Démonstration

On montre d'abord par récurrence que $f^k(x) = \lambda^k x$ pour tout entier naturel $k$ . C'est vrai pour $k = 0$ puisque $f^0 = \mathrm{Id}$ . Si $f^k(x) = \lambda^k x$ , alors $\begin{aligned} f^{k+1}(x) &= f(\lambda^k x)\\ &= \lambda^k f(x)\\ &= \lambda^{k+1} x. \end{aligned}$ On écrit ensuite $Q = a_0 + a_1X + \dots + a_p X^p$ , puis on combine linéairement.

Si $x$ est vecteur propre de $f$ pour $\lambda$ , alors $x$ est vecteur propre de $Q(f)$ pour $Q(\lambda)$ .

Attention

Cela ne dit pas que toutes les valeurs propres de $Q(f)$ sont de cette forme, ni que $Q(\lambda)$ décrit tout le spectre de $Q(f)$ .

2Recherche des éléments propres

2.1Méthode par résolution de système

MéthodeChercher les éléments propres par système

Chercher les réels $\lambda$ pour lesquels le système $(A - \lambda I_n)X = 0$ admet une solution non nulle.
Effectuer un pivot de Gauss sur $A - \lambda I_n$ en traitant $\lambda$ comme un paramètre, et repérer les valeurs de $\lambda$ qui font perdre le rang.
Pour chacune, résoudre le système et obtenir une base du sous-espace propre.

2.2Polynômes annulateurs

Définition 2.1Polynôme annulateur

Un polynôme $Q$ est un polynôme annulateur de $f$ lorsque $Q(f)$ est l'endomorphisme nul. De même, $Q$ annule la matrice $A$ lorsque $Q(A)$ est la matrice nulle.

Exemple 2.2Exemples classiques

Une homothétie de rapport $a$ vérifie $f - a\,\mathrm{Id} = 0$ . Le polynôme $X - a$ l'annule.
Un projecteur $p$ vérifie $p^2 = p$ . Le polynôme $X^2 - X = X(X - 1)$ l'annule.
Une symétrie $s$ vérifie $s^2 = \mathrm{Id}$ . Le polynôme $X^2 - 1 = (X - 1)(X + 1)$ l'annule.
Si une matrice vérifie $A^3 = 2A^2 + A$ , on en tire le polynôme annulateur $X^3 - 2X^2 - X$ .

2.3Théorème des racines

Théorème 2.3Racines d'un polynôme annulateur

Hypothèses

$Q$ est un polynôme annulateur de $f$ ;
$\lambda$ est une valeur propre de $f$ .

Alors $\lambda$ est racine de $Q$ . Même énoncé pour une matrice carrée.

Démonstration

Soit $x$ un vecteur propre associé à $\lambda$ , donc $x \neq 0$ . D'après le résultat précédent, $Q(f)(x) = Q(\lambda)x$ . Or $Q(f)$ est l'application nulle, donc $Q(\lambda)x = 0$ . Comme $x$ n'est pas nul, $Q(\lambda) = 0$ .

Les valeurs propres se cherchent parmi les racines d'un polynôme annulateur. C'est souvent beaucoup plus rapide qu'un pivot.

Attention

La réciproque est fausse. Contre-exemple : l'identité est un projecteur, donc $X^2 - X$ l'annule, mais son spectre est $\{1\}$ et $0$ n'est pas valeur propre. Après avoir trouvé les racines, il faut toujours vérifier lesquelles sont effectivement des valeurs propres, en résolvant le système correspondant.

2.4Existence d'un polynôme annulateur non nul

Théorème 2.4Existence d'un polynôme annulateur

Tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie admet un polynôme annulateur non nul. Toute matrice carrée aussi.

Démonstration

Si $\dim E = n$ , alors $\mathcal{L}(E)$ est de dimension $n^2$ . La famille formée de $\mathrm{Id}, f, f^2, \dots, f^{n^2}$ compte $n^2 + 1$ éléments dans un espace de dimension $n^2$ . Elle est donc liée. Une relation de liaison non triviale fournit exactement un polynôme non nul, de degré au plus $n^2$ , qui annule $f$ .

Un endomorphisme d'un espace de dimension finie a un nombre fini de valeurs propres, puisqu'elles sont toutes racines d'un même polynôme non nul.

Remarque

Le programme précise qu'aucune autre connaissance sur les polynômes annulateurs n'est exigible. Le polynôme minimal et le théorème de Cayley-Hamilton sont hors programme.

3Propriétés générales des sous-espaces propres

3.1Familles de vecteurs propres

Théorème 3.1Familles de vecteurs propres

Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre.

Plus généralement, si $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ sont des valeurs propres deux à deux distinctes de $f$ , et si l'on prend dans chaque sous-espace propre $E_{\lambda_i}$ une famille libre, alors la concaténation de ces familles est une famille libre de $E$ .

Démonstration

Sur le cas de vecteurs propres, on raisonne par récurrence sur $p$ . Supposons $a_1x_1 + \dots + a_p x_p = 0,$ avec $x_i$ vecteur propre pour $\lambda_i$ . On applique $f$ : $a_1\lambda_1x_1 + \dots + a_p\lambda_p x_p = 0.$ On retranche $\lambda_p$ fois la première relation. Le dernier terme disparaît et il reste $a_1(\lambda_1 - \lambda_p)x_1 + \dots + a_{p-1}(\lambda_{p-1} - \lambda_p)x_{p-1} = 0.$ L'hypothèse de récurrence donne $a_i(\lambda_i - \lambda_p) = 0$ pour $i \leqslant p - 1$ , et les $\lambda_i$ sont distincts, donc $a_i = 0$ . Il reste $a_p x_p = 0$ avec $x_p$ non nul, donc $a_p = 0$ .

3.2Somme directe des sous-espaces propres

Théorème 3.2Somme directe

Les sous-espaces propres d'un endomorphisme sont en somme directe.

C'est la reformulation du résultat précédent, via la caractérisation par concaténation de bases vue au chapitre des compléments d'algèbre linéaire.

Propriété 3.3Inégalité fondamentale

$\sum_{\lambda \in \mathrm{Sp}(f)} \dim\Ker(f - \lambda\,\mathrm{Id}_E) \leqslant \dim E.$

À retenir

Un endomorphisme d'un espace de dimension $n$ a au plus $n$ valeurs propres.

4Réduction

4.1Définition

Définition 4.1Endomorphisme diagonalisable

Un endomorphisme $f$ de $E$ est diagonalisable lorsqu'il existe une base $\mathcal{B}$ de $E$ formée de vecteurs propres de $f$ . Dans une telle base, $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$ est diagonale, et ses coefficients diagonaux sont les valeurs propres associées, dans l'ordre des vecteurs de la base.

4.2Caractérisations

Théorème 4.2Caractérisations de la diagonalisabilité

Hypothèses

$f$ est un endomorphisme de $E$ , avec $\dim E = n$ .

Alors les trois propriétés suivantes sont équivalentes :

$f$ est diagonalisable ;
$E$ est la somme directe des sous-espaces propres de $f$ ;
$\displaystyle\sum_{\lambda \in \mathrm{Sp}(f)} \dim\Ker(f - \lambda\,\mathrm{Id}_E) = n$ .

L'équivalence entre 2 et 3 vient de l'inégalité précédente jointe au critère de dimension. L'équivalence entre 1 et 2 s'obtient en concaténant des bases des sous-espaces propres.

4.3Condition suffisante commode

Propriété 4.3 $n$ valeurs propres distinctes

Hypothèses

$f$ est un endomorphisme d'un espace de dimension $n$ ;
$f$ admet $n$ valeurs propres distinctes.

Alors $f$ est diagonalisable, et tous ses sous-espaces propres sont de dimension 1.

Démonstration

Chaque sous-espace propre est de dimension au moins 1, et la somme de ces $n$ dimensions est au plus $n$ . Chaque dimension vaut donc exactement 1, et la somme vaut $n$ .

Attention

C'est une condition suffisante et non nécessaire. L'identité est diagonalisable et n'a qu'une seule valeur propre.

4.4Version matricielle

Définition 4.4Matrice diagonalisable

Une matrice carrée $A$ d'ordre $n$ est diagonalisable lorsqu'il existe une matrice inversible $P$ telle que $P^{-1}AP$ soit diagonale. On écrit alors $A = PDP^{-1}$ .

Les colonnes de $P$ forment une base de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ constituée de vecteurs propres de $A$ . Les coefficients diagonaux de $D$ sont les valeurs propres correspondantes, rangées dans le même ordre que les colonnes de $P$ .

Attention

Erreur classique : intervertir l'ordre entre $P$ et $D$ rend l'égalité fausse.

Exemple 4.5Exemple complet

Soit $A$ la matrice d'ordre 2 de lignes $(1, 1)$ et $(0, 2)$ .

Elle est triangulaire, donc $\mathrm{Sp}(A) = \{1, 2\}$ . Deux valeurs propres distinctes en dimension 2 : $A$ est diagonalisable.
$(A - I)X = 0$ donne $x_2 = 0$ , donc $E_1 = \Vect((1, 0))$ .
$(A - 2I)X = 0$ donne $x_1 = x_2$ , donc $E_2 = \Vect((1, 1))$ .
On pose $P$ de lignes $(1, 1)$ et $(0, 1)$ , et $D = \mathrm{diag}(1, 2)$ .
L'inverse de $P$ est la matrice de lignes $(1, -1)$ et $(0, 1)$ .
La trace vaut $3$ d'un côté et $1 + 2 = 3$ de l'autre : le contrôle est bon.

4.5Un exemple non diagonalisable

Exemple 4.6Matrice nilpotente

Soit $N$ la matrice d'ordre 2 de lignes $(0, 1)$ et $(0, 0)$ . Elle est triangulaire de diagonale nulle, donc $\mathrm{Sp}(N) = \{0\}$ . Le sous-espace propre est $\Ker N = \Vect((1, 0))$ , de dimension 1. La somme des dimensions des sous-espaces propres vaut 1, et non 2 : $N$ n'est pas diagonalisable.

On peut aussi le voir ainsi : si $N$ était semblable à une matrice diagonale, celle-ci serait nulle, donc $N$ serait nulle.

4.6Application au calcul des puissances

Propriété 4.7Puissances d'une matrice diagonalisable

Hypothèses

$A = PDP^{-1}$ .

Alors $A^k = PD^kP^{-1}$ pour tout entier naturel $k$ .

Les facteurs $P^{-1}P$ se simplifient de proche en proche. La matrice $D^k$ est diagonale, de coefficients les puissances $k$ -ièmes des valeurs propres.

Exemple 4.8Sur l'exemple précédent

$D^k = \mathrm{diag}(1, 2^k)$ , et le calcul donne $A^k$ égale à la matrice de lignes $(1, 2^k - 1)$ et $(0, 2^k)$ . Pour $k = 1$ on retrouve bien $A$ .

Usage typique : un système de suites récurrentes couplées s'écrit $U_{n+1} = AU_n$ , donc $U_n = A^nU_0$ . La diagonalisation donne l'expression explicite de chaque suite, et son comportement asymptotique selon les valeurs propres.

Méthodes

MéthodeTrouver les valeurs propres

Si la matrice est triangulaire, lire la diagonale.
Si l'énoncé fournit une relation polynomiale, en déduire un polynôme annulateur et tester ses racines.
Sinon, résoudre $(A - \lambda I)X = 0$ par pivot, en discutant selon $\lambda$ .

MéthodeTrouver les sous-espaces propres

Pour chaque valeur propre, résoudre le système linéaire homogène.
Donner une base explicite.
Noter la dimension de chaque sous-espace propre.

MéthodeConclure sur la diagonalisabilité

Additionner les dimensions des sous-espaces propres et comparer à $n$ .
Raccourcis fréquents : $n$ valeurs propres distinctes, matrice déjà diagonale, ou endomorphisme dont on connaît une décomposition en somme directe de sous-espaces propres.

MéthodeMontrer qu'une matrice n'est pas diagonalisable

Montrer que la somme des dimensions des sous-espaces propres est strictement inférieure à $n$ .
Cas fréquent : une unique valeur propre $\lambda$ avec $A$ différente de $\lambda I$ .

MéthodeDiagonaliser effectivement

Ranger les vecteurs propres en colonnes dans $P$ , les valeurs propres dans le même ordre dans $D$ .
Vérifier $AP = PD$ , ce qui évite de calculer $P^{-1}$ inutilement.
Inverser $P$ si nécessaire.

MéthodeVérifier

La somme des valeurs propres, comptées avec la dimension de leur sous-espace propre, doit être égale à la trace de $A$ .

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Définir valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre, spectre, et expliquer pourquoi le vecteur nul est exclu.
Démontrer que les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont ses coefficients diagonaux.
Démontrer que si $f(x) = \lambda x$ alors $Q(f)(x) = Q(\lambda)x$ , puis que toute valeur propre est racine d'un polynôme annulateur.
Donner un contre-exemple montrant que la réciproque du théorème des racines est fausse.
Justifier que tout endomorphisme en dimension finie admet un polynôme annulateur non nul, par un argument de dimension dans $\mathcal{L}(E)$ .
Démontrer qu'une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre.
Énoncer et utiliser le critère de diagonalisation par la somme des dimensions des sous-espaces propres.
Diagonaliser une matrice d'ordre 2 ou 3, puis en déduire ses puissances et le comportement d'un système de suites couplées.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

λ est valeur propre de f si et seulement si ker(f − λ Id) ≠ {0}, si et seulement si f − λ Id n'est pas injectif. En dimension finie, si et seulement si f − λ Id n'est pas bijectif. Exigible.
0 est valeur propre de f si et seulement si f n'est pas injectif. Pour une matrice, si et seulement si A n'est pas inversible. Exigible.
Les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont ses coefficients diagonaux. Exigible avec démonstration, par inversibilité d'une matrice triangulaire.
Si f(x) = λx, alors Q(f)(x) = Q(λ)x pour tout polynôme Q. Même énoncé matriciel. Exigible avec démonstration, récurrence sur les puissances puis linéarité.
Si Q est un polynôme annulateur de f et λ une valeur propre, alors Q(λ) = 0. Exigible avec démonstration. La réciproque est fausse, contre-exemple exigible.
Tout endomorphisme d'un espace de dimension finie, et toute matrice carrée, admet un polynôme annulateur non nul. Exigible avec démonstration, argument de dimension dans L(E) ou M_n(R). Aucune autre connaissance sur les polynômes annulateurs n'est au programme.
Un endomorphisme en dimension n a un nombre fini de valeurs propres, au plus n. Exigible.
Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre. Plus généralement, une concaténation de familles libres de sous-espaces propres distincts est libre. Exigible avec démonstration.
Les sous-espaces propres sont en somme directe, et Σ dim E_λ ≤ dim E. Exigible.
f est diagonalisable si et seulement si il existe une base de vecteurs propres, si et seulement si E est somme directe des sous-espaces propres, si et seulement si Σ dim E_λ = dim E. Exigibles.
Si f a n valeurs propres distinctes en dimension n, f est diagonalisable et chaque sous-espace propre est une droite. Exigible avec démonstration. Condition suffisante, pas nécessaire.
A est diagonalisable si et seulement si il existe P inversible avec P⁻¹ A P diagonale. Les colonnes de P sont des vecteurs propres, la diagonale de D les valeurs propres dans le même ordre. Exigible.
Si A = P D P⁻¹, alors A^k = P D^k P⁻¹ pour tout entier k. Exigible, application au calcul des puissances et aux suites récurrentes couplées.
Deux matrices semblables ont le même spectre et des sous-espaces propres de mêmes dimensions. Exigible, conséquence du chapitre précédent.
Hors programme, à signaler si un exercice les demande, le déterminant, le polynôme caractéristique, le polynôme minimal, Cayley-Hamilton, la trigonalisation, et le fait que Sp(ᵗA) = Sp(A) autrement que par un argument de rang.

Clés de démonstration

Matrice triangulaire. A − λI est triangulaire de diagonale a_i,i − λ. Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si sa diagonale ne contient pas de zéro. Donc A − λI n'est pas inversible exactement quand λ est l'un des a_i,i. Astuce, cela donne le spectre, pas les sous-espaces propres, ni la diagonalisabilité.

Q(f)(x) = Q(λ)x. Par récurrence, f^k(x) = λ^k x, le passage de k à k + 1 s'écrit f(λ^k x) = λ^k f(x) = λ^k+1 x. On combine ensuite linéairement avec les coefficients de Q. Astuce, la linéarité de f sort le scalaire λ^k.

Théorème des racines. Soit x ≠ 0 avec f(x) = λx. Alors 0 = Q(f)(x) = Q(λ)x, et x ≠ 0 impose Q(λ) = 0. Astuce, tout repose sur x non nul, c'est pour cela que le vecteur nul est exclu de la définition.

Existence d'un polynôme annulateur. L(E) est de dimension n², donc la famille (Id, f, …, f^n²) de n² + 1 vecteurs est liée. Une relation non triviale Σ a_k f^k = 0 donne le polynôme Σ a_k X^k, non nul. Astuce, trop de vecteurs dans un espace de dimension finie, donc une relation.

Liberté des vecteurs propres. Récurrence sur p. Si Σ a_i x_i = 0, on applique f, on obtient Σ a_i λ_i x_i = 0, on retranche λ_p fois la première relation, le dernier terme disparaît et l'hypothèse de récurrence donne a_i(λ_i − λ_p) = 0 pour i < p, donc a_i = 0. Astuce, faire disparaître un terme en combinant la relation et son image par f.

Critère de dimension. Les sous-espaces propres sont en somme directe, donc la concaténation de leurs bases est libre, de cardinal Σ dim E_λ. C'est une base de E si et seulement si ce cardinal vaut n. Astuce, une famille libre de n vecteurs en dimension n est une base.

Exemples et contre-exemples à connaître

La matrice N de lignes (0, 1) et (0, 0) a pour unique valeur propre 0, avec ker N de dimension 1. Non diagonalisable, c'est le contre-exemple central.
L'identité a une seule valeur propre et elle est diagonalisable. Avoir n valeurs propres distinctes est suffisant, pas nécessaire.
La rotation d'angle droit dans R², de matrice de lignes (0, −1) et (1, 0), n'a aucune valeur propre réelle, car x² + 1 l'annule et n'a pas de racine réelle. Un endomorphisme réel peut avoir un spectre vide.
L'identité est annulée par X² − X, dont 0 est racine, pourtant 0 n'est pas valeur propre. Les racines d'un polynôme annulateur sont des candidats, pas des valeurs propres garanties.
Un projecteur p vérifie p² = p, donc Sp(p) ⊂ {0, 1}, et E = ker p ⊕ Im p montre qu'il est diagonalisable. Une symétrie, avec s² = Id, est diagonalisable de même avec E = ker(s − Id) ⊕ ker(s + Id).
La matrice J d'ordre n dont tous les coefficients valent 1 vérifie J² = nJ, donc Sp(J) ⊂ {0, n}. Le noyau est l'hyperplan d'équation Σ x_i = 0, de dimension n − 1, et le vecteur (1, …, 1) est propre pour n. J est diagonalisable.
Sur R_n[x], la dérivation P ↦ P' a pour unique valeur propre 0, avec un noyau réduit aux constantes. Non diagonalisable dès que n ≥ 1.
Sur R_n[x], l'endomorphisme P ↦ xP' envoie x^k sur k x^k. La base canonique est une base de vecteurs propres, valeurs propres 0, 1, …, n distinctes, il est diagonalisable.
Si A est inversible, λ ≠ 0 est valeur propre de A si et seulement si 1/λ est valeur propre de A⁻¹, avec les mêmes vecteurs propres. On multiplie AX = λX par A⁻¹.
Une matrice symétrique réelle est toujours diagonalisable, mais ce résultat est un théorème du quatrième semestre. On ne l'utilise pas dans ce chapitre sans le signaler.

Techniques du chapitre

Lire le spectre d'une matrice triangulaire. Mini-exercice, A de lignes (2, 5, 7), (0, 3, 1), (0, 0, 3). Sp(A) = {2, 3}. Pour savoir si A est diagonalisable, on doit calculer dim ker(A − 3I). Le système (A − 3I)X = 0 donne −x + 5y + 7z = 0 et z = 0, d'où x = 5y, y libre, dimension 1. Total 1 + 1 = 2 < 3, non diagonalisable.

Trouver les valeurs propres par un polynôme annulateur. Mini-exercice, A vérifie A² = 3A − 2I. Le polynôme X² − 3X + 2 = (X − 1)(X − 2) annule A, donc Sp(A) ⊂ {1, 2}. On vérifie ensuite chaque candidat en résolvant le système.

Résoudre le système (A − λI)X = 0. Mini-exercice, A de lignes (1, 2) et (2, 1), λ = 3. Le système est −2x + 2y = 0 et 2x − 2y = 0, donc y = x, E₃ = Vect((1, 1)). Pour λ = −1, x + y = 0, E₋₁ = Vect((1, −1)).

Détecter la perte de rang. Mini-exercice, avec A de lignes (a, b) et (c, d), le système (A − λI)X = 0 a une solution non nulle si et seulement si le pivot dégénère. On échelonne en supposant a − λ ≠ 0, on trouve la condition (a − λ)(d − λ) − bc = 0, et on traite à part le cas a = λ. En ECG, cette condition se retrouve par pivot, jamais nommée déterminant.

Diagonaliser effectivement. Mini-exercice, avec l'exemple précédent, P de colonnes (1, 1) et (1, −1), D = diag(3, −1). On vérifie AP = PD plutôt que de calculer P⁻¹. Ici P⁻¹ = P/2 puisque P² = 2I.

Calculer les puissances. Mini-exercice, Aⁿ = P Dⁿ P⁻¹ = (1/2) P diag(3ⁿ, (−1)ⁿ) P. Le calcul donne Aⁿ de lignes ((3ⁿ + (−1)ⁿ)/2, (3ⁿ − (−1)ⁿ)/2) et la ligne symétrique. Contrôle n = 1, on retrouve A.

Contrôler avec la trace. Mini-exercice, si l'on trouve pour une matrice d'ordre 3 de trace 6 les valeurs propres 1, 2 et 4, chacune de multiplicité 1, la somme 7 ≠ 6 révèle une erreur.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Diagonalisation d'une matrice d'ordre 2

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit A de lignes (4, 1) et (2, 3). Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de A. A est-elle diagonalisable. Donner P et D.

Technique système avec paramètre λ, ou trace et astuce.

Voir le corrigé

Le système (4 − λ)x + y = 0 et 2x + (3 − λ)y = 0. De la première, y = (λ − 4)x, on reporte, x(2 + (3 − λ)(λ − 4)) = 0. Une solution non nulle existe si et seulement si (λ − 4)(λ − 3) = 2, soit λ² − 7λ + 10 = 0, donc λ = 2 ou λ = 5. 2. E₂, y = −2x, Vect((1, −2)). E₅, y = x, Vect((1, 1)). 3. Deux valeurs propres distinctes en dimension 2, A est diagonalisable. P de colonnes (1, −2) et (1, 1), D = diag(2, 5). Contrôle, trace 7 = 2 + 5.

piège : Ranger D dans un ordre différent de celui des colonnes de P.

Exercice 2. Non diagonalisable

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit A de lignes (3, 1) et (0, 3). Montrer que A n'est pas diagonalisable. Calculer Aⁿ avec le binôme.

Technique unique valeur propre et A ≠ 3I, puis A = 3I + N.

Voir le corrigé

A est triangulaire, Sp(A) = {3}. Si A était diagonalisable, elle serait semblable à 3I, donc égale à 3I, ce qui est faux. Autre voie, ker(A − 3I) est la droite Vect((1, 0)), de dimension 1 < 2. 2. N = A − 3I a pour lignes (0, 1) et (0, 0), N² = 0, et N commute avec I. Binôme, Aⁿ = 3ⁿ I + n 3ⁿ⁻¹ N, de lignes (3ⁿ, n 3ⁿ⁻¹) et (0, 3ⁿ).

piège : Conclure de « valeur propre unique » à « non diagonalisable » sans dire que A n'est pas scalaire.

Exercice 3. Projecteur

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit p un endomorphisme de E, de dimension n, avec p ∘ p = p, p ≠ 0 et p ≠ Id. Déterminer Sp(p) et montrer que p est diagonalisable. Quelle est la matrice de p dans une base bien choisie.

Technique polynôme annulateur, puis somme directe ker p ⊕ Im p.

Voir le corrigé

X² − X annule p, donc Sp(p) ⊂ {0, 1}. 2. p ≠ Id donne un x avec p(x) ≠ x, et y = x − p(x) ≠ 0 vérifie p(y) = 0, donc 0 est valeur propre. p ≠ 0 donne un z avec p(z) ≠ 0, et p(p(z)) = p(z), donc 1 est valeur propre avec le vecteur p(z). 3. E₀ = ker p et E₁ = ker(p − Id) = Im p, car p(x) = x donne x dans Im p, et x = p(y) donne p(x) = x. On a E = ker p ⊕ Im p par la décomposition x = (x − p(x)) + p(x). Donc p est diagonalisable, de matrice diag(1, …, 1, 0, …, 0) dans une base adaptée, avec rg(p) fois 1.

piège : Écrire Sp(p) = {0, 1} sans vérifier que chaque candidat est effectivement valeur propre, ce qui demande p ≠ 0 et p ≠ Id.

Exercice 4. Polynôme annulateur et diagonalisabilité

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit A une matrice carrée vérifiant A² − 3A + 2I = 0. Montrer que A est diagonalisable.

Technique décomposition explicite de tout vecteur sur les deux noyaux.

Voir le corrigé

(X − 1)(X − 2) annule A, donc Sp(A) ⊂ {1, 2}. 2. Pour toute colonne X, on écrit X = (A − I)X − (A − 2I)X, ce qui est vrai car (A − I) − (A − 2I) = I. 3. Le vecteur (A − I)X est dans ker(A − 2I), puisque (A − 2I)(A − I)X = 0. Le vecteur (A − 2I)X est dans ker(A − I) de même. 4. Donc M_n,1(R) = ker(A − I) + ker(A − 2I), et cette somme est directe car les sous-espaces propres le sont, ou parce que l'intersection est nulle. La somme des dimensions vaut n, A est diagonalisable. Si l'un des noyaux est nul, A est scalaire.

piège : Dire « les racines sont simples donc A est diagonalisable », ce qui est vrai mais n'est pas un résultat au programme, il faut la décomposition explicite.

Exercice 5. Endomorphisme de R₂[x]

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit f défini sur R₂[x] par f(P) = (x + 1)P' − P. (a) Vérifier que f est un endomorphisme de R₂[x] et écrire sa matrice dans la base canonique. (b) Déterminer ses valeurs propres et dire si f est diagonalisable.

Technique calcul sur la base, lecture triangulaire.

Voir le corrigé

(a) f est linéaire. f(1) = −1, f(x) = (x + 1) − x = 1, f(x²) = 2x(x + 1) − x² = x² + 2x. La matrice a pour colonnes (−1, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 2, 1), elle est triangulaire supérieure. 2. (b) Sp(f) = {−1, 0, 1}, trois valeurs propres distinctes en dimension 3, f est diagonalisable. Vecteurs propres, 1 pour −1, x + 1 pour 0, et pour 1 on résout, P = (x + 1)² convient car f((x + 1)²) = 2(x + 1)² − (x + 1)² = (x + 1)².

piège : Écrire la matrice en lignes au lieu de colonnes, ce qui reste triangulaire ici mais fausse les sous-espaces propres.

Exercice 6. Spectre de Q(A)

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit A une matrice carrée diagonalisable et Q un polynôme. Montrer que Q(A) est diagonalisable et que Sp(Q(A)) = {Q(λ), λ ∈ Sp(A)}.

Technique conjuguer, Q(P D P⁻¹) = P Q(D) P⁻¹.

Voir le corrigé

A = P D P⁻¹, et A^k = P D^k P⁻¹, donc Q(A) = P Q(D) P⁻¹ par linéarité. 2. Q(D) est diagonale de coefficients Q(λ_i), donc Q(A) est diagonalisable. 3. Le spectre de Q(D) est l'ensemble des Q(λ_i), et une matrice semblable a le même spectre. Sans diagonalisabilité, on a seulement l'inclusion des Q(λ) dans Sp(Q(A)), par le résultat Q(A)X = Q(λ)X.

piège : Croire que l'égalité des spectres est générale. Avec la rotation d'angle droit R, R² = −I a pour spectre {−1} alors que Sp(R) est vide.

Exercice 7. Matrice J et matrices a I + b J

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Soit J la matrice d'ordre 3 dont tous les coefficients valent 1, et M = aI + bJ avec a, b réels. (a) Déterminer les éléments propres de J. (b) En déduire que M est diagonalisable et donner ses valeurs propres. (c) À quelle condition M est-elle inversible.

Technique J² = 3J, polynôme annulateur, puis M = Q(J).

Voir le corrigé

(a) J² = 3J, donc Sp(J) ⊂ {0, 3}. ker J est le plan x + y + z = 0, de base ((1, −1, 0), (1, 0, −1)), dimension 2. J(1, 1, 1) = 3(1, 1, 1), donc 3 est valeur propre, E₃ = Vect((1, 1, 1)). Total 2 + 1 = 3, J est diagonalisable. 2. (b) M = Q(J) avec Q = a + bX. Dans une base de vecteurs propres de J, M est diagonale de coefficients a, a, a + 3b. Donc M est diagonalisable, Sp(M) = {a, a + 3b}, avec E_a = ker J de dimension 2 si b ≠ 0. 3. (c) M inversible si et seulement si 0 n'est pas valeur propre, c'est-à-dire a ≠ 0 et a ≠ −3b.

piège : Oublier que si b = 0, M = aI a une seule valeur propre de multiplicité 3.

Exercice 8. Suites récurrentes couplées

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Soient (u_n) et (v_n) définies par u₀ = 1, v₀ = 0, u_n+1 = 4u_n + v_n, v_n+1 = 2u_n + 3v_n. Exprimer u_n et v_n en fonction de n.

Technique écrire U_n+1 = A U_n, diagonaliser A, puis U_n = Aⁿ U₀.

Voir le corrigé

A est la matrice de l'exercice 1, A = P D P⁻¹ avec P de colonnes (1, −2), (1, 1) et D = diag(2, 5). 2. P⁻¹ = (1/3) fois la matrice de lignes (1, −1) et (2, 1). 3. U_n = P Dⁿ P⁻¹ U₀. On calcule P⁻¹ U₀ = (1/3)(1, 2), puis Dⁿ donne (1/3)(2ⁿ, 2 × 5ⁿ), puis P donne u_n = (2ⁿ + 2 × 5ⁿ)/3 et v_n = (−2 × 2ⁿ + 2 × 5ⁿ)/3. 4. Contrôle, n = 0 donne (1, 0), n = 1 donne (4, 2).

piège : Calculer Aⁿ complètement alors qu'il suffit d'appliquer les trois matrices successivement à U₀.

Exercice 9. Matrice d'ordre 3 avec une valeur propre double

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, type EDHEC

Soit A de lignes (2, 0, 0), (1, 1, 1), (1, 0, 2). (a) Déterminer Sp(A) et les sous-espaces propres. (b) A est-elle diagonalisable. (c) Vérifier que (A − I)(A − 2I)² = 0 et en déduire Aⁿ.

Technique pivot avec paramètre, puis division euclidienne de Xⁿ par un polynôme annulateur.

Voir le corrigé

(a) Le système (A − λI)X = 0 s'écrit (2 − λ)x = 0, x + (1 − λ)y + z = 0, x + (2 − λ)z = 0. Si λ ≠ 2, x = 0 puis z = 0 puis (1 − λ)y = 0, solution non nulle seulement si λ = 1, avec E₁ = Vect((0, 1, 0)). Si λ = 2, les équations deviennent x − y + z = 0 et x = 0, donc E₂ = Vect((0, 1, 1)). Sp(A) = {1, 2}. 2. (b) dim E₁ + dim E₂ = 2 < 3, A n'est pas diagonalisable. 3. (c) On pose B = A − 2I, de lignes (0, 0, 0), (1, −1, 1), (1, 0, 0). Alors B² a pour lignes (0, 0, 0), (0, 1, −1), (0, 0, 0), et A − I a pour lignes (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 0, 1). Chaque ligne de (A − I)B² est une combinaison des lignes 1 et 3 de B², toutes deux nulles, donc (A − I)B² = 0. Le polynôme Q = (X − 1)(X − 2)² annule A. 4. Division euclidienne, Xⁿ = Q S + R avec deg R ≤ 2, donc Aⁿ = R(A) puisque Q(A) = 0. On écrit R = a + b(X − 2) + c(X − 2)². Comme 2 est racine double de Q, on a R(2) = 2ⁿ, R'(2) = n 2ⁿ⁻¹, et R(1) = 1, en dérivant l'égalité Xⁿ = QS + R et en évaluant. D'où a = 2ⁿ, b = n 2ⁿ⁻¹, c = 1 − 2ⁿ + n 2ⁿ⁻¹. 5. Aⁿ = 2ⁿ I + n 2ⁿ⁻¹ B + (1 − 2ⁿ + n 2ⁿ⁻¹) B². Contrôle, n = 1 donne 2I + B = A, et n = 2 donne 4I + 4B + B² = (2I + B)².

piège : Tenter le binôme avec B alors que B n'est pas nilpotente, ou oublier la condition sur R'(2), qui vient de la racine double.

Exercice 10. Chaîne à deux états

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, type emlyon

Une puce saute entre deux cases. Si elle est en 1, elle reste avec probabilité 1/3 et passe en 2 sinon. Si elle est en 2, elle reste avec probabilité 1/2. Soit p_n la probabilité d'être en 1 à l'instant n, avec p₀ = 1. Montrer que p_n converge et donner sa limite.

Technique formule des probabilités totales, matrice de transition, diagonalisation.

Voir le corrigé

p_n+1 = (1/3)p_n + (1/2)(1 − p_n) = 1/2 − p_n/6. 2. Point fixe, l = 1/2 − l/6, donc l = 3/7. On pose w_n = p_n − 3/7, alors w_n+1 = −w_n/6, suite géométrique, w_n = (4/7)(−1/6)ⁿ. 3. p_n = 3/7 + (4/7)(−1/6)ⁿ tend vers 3/7. 4. Lecture matricielle, avec V_n = (p_n, 1 − p_n), on a V_n+1 = M V_n où M a pour lignes (1/3, 1/2) et (2/3, 1/2). M a pour valeurs propres 1 et −1/6, ce qui recoupe la trace 5/6, et les vecteurs propres (3, 4) et (1, −1). Les valeurs propres 1 et −1/6 pilotent la convergence.

piège : Poser la matrice avec les lignes et colonnes inversées, ce qui fausse V_n+1 = M V_n. On vérifie que les colonnes de M somment à 1 avec cette convention.

Exercice 11. Endomorphismes qui commutent

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit HEC ou ESSEC

Soient f et g deux endomorphismes de E qui commutent. (a) Montrer que tout sous-espace propre de f est stable par g. (b) On suppose que f a n valeurs propres distinctes en dimension n. Montrer que g est diagonalisable dans la même base que f.

Technique appliquer g à f(x) = λx, puis dimension 1.

Voir le corrigé

(a) Si f(x) = λx, alors f(g(x)) = g(f(x)) = g(λx) = λg(x), donc g(x) est dans E_λ(f). 2. (b) Chaque E_λ(f) est une droite Vect(x_λ), stable par g, donc g(x_λ) = μ_λ x_λ pour un réel μ_λ. Les n vecteurs x_λ forment une base de E, et ce sont des vecteurs propres de g. 3. Dans cette base, f et g ont des matrices diagonales.

piège : Dans (b), oublier que la stabilité d'une droite signifie exactement que le vecteur directeur est propre.

Erreurs fréquentes

Accepter le vecteur nul comme vecteur propre, ce qui rendrait tout réel valeur propre.
Conclure qu'une racine d'un polynôme annulateur est une valeur propre sans résoudre le système.
Déduire « non diagonalisable » d'une valeur propre unique sans vérifier que la matrice n'est pas scalaire, ou déduire « diagonalisable » d'une matrice triangulaire.
Intervertir l'ordre des valeurs propres dans D par rapport aux colonnes de P, ou écrire A = P⁻¹ D P.
Utiliser le déterminant, le polynôme caractéristique ou Cayley-Hamilton, hors programme en ECG, alors qu'un pivot ou un polynôme annulateur suffit.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel d'ECG deuxième année, mathématiques approfondies (2021), enseignement du troisième semestre, partie I « Algèbre linéaire et bilinéaire », paragraphe 2 « Éléments propres des endomorphismes et des matrices carrées, réduction ». Tous les espaces vectoriels sont réels et de dimension finie. La réduction des matrices symétriques est traitée plus tard, au quatrième semestre.

Éléments propres et réduction

Résumé en cinq points

1Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres

1.1Définitions pour un endomorphisme

1.2Définitions pour une matrice carrée

1.3Cas des matrices triangulaires

1.4Éléments propres d'un polynôme d'endomorphisme

2Recherche des éléments propres

2.1Méthode par résolution de système

2.2Polynômes annulateurs

2.3Théorème des racines

2.4Existence d'un polynôme annulateur non nul

3Propriétés générales des sous-espaces propres

3.1Familles de vecteurs propres

3.2Somme directe des sous-espaces propres

4Réduction

4.1Définition

4.2Caractérisations

4.3Condition suffisante commode

4.4Version matricielle

4.5Un exemple non diagonalisable

4.6Application au calcul des puissances

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Diagonalisation d'une matrice d'ordre 2

Exercice 2. Non diagonalisable

Exercice 3. Projecteur

Exercice 4. Polynôme annulateur et diagonalisabilité

Exercice 5. Endomorphisme de R2[x]

Exercice 6. Spectre de Q(A)

Exercice 7. Matrice J et matrices a I + b J

Exercice 8. Suites récurrentes couplées

Exercice 9. Matrice d'ordre 3 avec une valeur propre double

Exercice 10. Chaîne à deux états

Exercice 11. Endomorphismes qui commutent

Erreurs fréquentes

Exercice 5. Endomorphisme de R₂[x]