Le cours

Résumé en cinq points

Au troisième semestre, une fonction de $n$ variables est définie sur $\R^n$ tout entier, muni du produit scalaire canonique et de la norme euclidienne.
Le graphe a pour équation $x_{n+1} = f(x_1, \dots, x_n)$ . Pour une fonction affine de deux variables, c'est un plan.
La ligne de niveau $k$ est l'ensemble des points où $f$ vaut $k$ . Les lignes de niveau ne se coupent pas, et leur resserrement traduit une variation rapide.
La continuité se définit exactement comme en une variable, en remplaçant la valeur absolue par la norme euclidienne.
Les fonctions polynomiales sont continues, et la continuité se conserve par somme, produit, quotient à dénominateur non nul et composition par une fonction d'une variable continue. Ces résultats sont admis.

Pourquoi ce chapitre

En première année, on a étudié des fonctions d'une seule variable. Or les modèles économiques font presque toujours intervenir plusieurs variables à la fois :

une fonction de production dépend du capital et du travail ;
une fonction d'utilité dépend des quantités consommées de plusieurs biens ;
un coût dépend de plusieurs facteurs.

Ce chapitre installe le vocabulaire minimal : ce qu'est une fonction de $n$ variables, comment on la représente, ce que signifie sa continuité. Le programme écarte toute difficulté de nature topologique, l'étude des points pathologiques et les recollements de formules. L'objectif est d'être à l'aise avec les objets, pour aborder ensuite le calcul différentiel et le gradient, puis l'optimisation au quatrième semestre.

1L'espace KXF6FXK

1.1Structure

Définition 1.1L'espace $\R^n$

$\R^n$ est l'ensemble des $n$ -uplets de réels $x = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ . C'est un espace vectoriel réel de dimension $n$ . Sa base canonique est $(e_1, \dots, e_n)$ , où $e_i$ a un 1 en position $i$ et des 0 ailleurs.

Définition 1.2Produit scalaire et norme canoniques

Le produit scalaire canonique de $x$ et $y$ est $\langle x, y\rangle = x_1y_1 + \dots + x_ny_n.$ La norme euclidienne associée est $\norm{x} = \sqrt{x_1^2 + \dots + x_n^2}.$

Sauf mention contraire, c'est toujours cette structure euclidienne qui est sous-entendue.

1.2Distance et voisinage

Définition 1.3Distance et boules

La distance entre deux points $x$ et $y$ de $\R^n$ est $\norm{x - y}$ . La boule ouverte de centre $x_0$ et de rayon $r > 0$ est l'ensemble des $x$ tels que $\norm{x - x_0} < r$ . La boule fermée s'obtient avec une inégalité large.

En dimension 2, une boule est un disque. En dimension 3, c'est une boule au sens usuel.

Ce vocabulaire sert uniquement à énoncer la continuité. L'étude topologique de $\R^n$ , avec les notions d'ouvert, de fermé et de partie bornée, est abordée au quatrième semestre.

2Fonctions de KXF28FXK variables

2.1Définition

Définition 2.1Fonction de $n$ variables

Une fonction de $n$ variables réelles est une application $f$ définie sur $\R^n$ et à valeurs dans $\R$ . On note indifféremment $f(x)$ ou $f(x_1, \dots, x_n)$ . Pour $n = 2$ on écrit souvent $f(x, y)$ , et pour $n = 3$ on écrit $f(x, y, z)$ .

Exemple 2.2Fonctions définies sur $\R^2$ tout entier

$f(x, y) = 3x - 2y + 5$ , fonction affine ;
$f(x, y) = x^2 + y^2$ , distance au carré à l'origine ;
$f(x, y) = xy$ , produit des coordonnées ;
$f(x, y) = x^2y - y^3 + 4x$ , fonction polynomiale ;
$f(x, y) = \e^{x + y}$ , composée d'une fonction affine par l'exponentielle ;
$f(x, y) = \dfrac{x^2 + y^2}{1 + x^2 + y^2}$ , quotient dont le dénominateur ne s'annule jamais.

Remarque

Les fonctions de type Cobb-Douglas, $f(x, y) = x^a y^b$ avec $a$ et $b$ strictement positifs, sont naturelles en économie mais ne sont définies que pour $x$ et $y$ strictement positifs. Elles relèvent donc du quatrième semestre, où l'on travaille sur des parties de $\R^n$ . Au troisième semestre on reste sur $\R^n$ entier.

2.2Fonctions polynomiales

Définition 2.3Monôme et fonction polynomiale

Un monôme de $n$ variables est un produit de la forme $c\, x_1^{a_1} x_2^{a_2} \cdots x_n^{a_n}$ , où $c$ est un réel et les $a_i$ des entiers naturels. Son degré est la somme $a_1 + \dots + a_n$ .

Une fonction polynomiale de $n$ variables est une somme finie de monômes. Son degré est le plus grand degré des monômes de coefficient non nul.

Ces fonctions sont définies sur $\R^n$ tout entier. Elles fournissent la réserve d'exemples la plus commode du chapitre.

2.3Fonctions affines

Définition 2.4Fonction affine

Une fonction affine de $n$ variables s'écrit $f(x) = \langle a, x\rangle + b$ , où $a$ est un vecteur fixé de $\R^n$ et $b$ un réel. En coordonnées, $f(x_1, \dots, x_n) = a_1x_1 + \dots + a_nx_n + b.$ Elle est linéaire lorsque $b = 0$ .

3Graphe et lignes de niveau

3.1Graphe

Définition 3.1Graphe

Le graphe de $f$ est l'ensemble des points $(x_1, \dots, x_n, f(x_1, \dots, x_n))$ de $\R^{n+1}$ . Son équation est donc $x_{n+1} = f(x_1, \dots, x_n).$

Pour $n = 1$ , on retrouve la courbe d'une fonction, tracée dans le plan.
Pour $n = 2$ , le graphe est une surface de l'espace, d'équation $z = f(x, y)$ .
Pour $n \geqslant 3$ , on ne peut plus dessiner, ce qui explique l'importance des lignes de niveau.

3.2Cas des fonctions affines

Si $f(x) = \langle a, x\rangle + b$ , l'équation du graphe est $x_{n+1} = a_1x_1 + \dots + a_nx_n + b.$

Pour $n = 2$ , c'est l'équation d'un plan de l'espace, non vertical.
Pour $n$ quelconque, c'est un hyperplan affine de $\R^{n+1}$ .

C'est le seul cas où l'on sait décrire complètement le graphe sans calcul.

3.3Lignes de niveau

Définition 3.2Ligne de niveau

Pour une fonction de deux variables $f$ et un réel $k$ , la ligne de niveau $k$ de $f$ est l'ensemble $L_k = \{(x, y) \in \R^2 \text{ tels que } f(x, y) = k\}.$

Géométriquement, c'est la projection sur le plan de l'intersection du graphe avec le plan horizontal d'altitude $k$ . C'est le principe des cartes de randonnée, où les courbes de niveau donnent l'altitude.

Exemple 3.3Lignes de niveau à savoir tracer

$f(x, y) = x + 2y$ . Les lignes de niveau sont les droites d'équation $x + 2y = k$ , toutes parallèles entre elles, de vecteur directeur $(-2, 1)$ .
$f(x, y) = x^2 + y^2$ . Pour $k > 0$ , la ligne de niveau est le cercle de centre l'origine et de rayon $\sqrt{k}$ . Pour $k = 0$ elle se réduit à l'origine. Pour $k < 0$ elle est vide.
$f(x, y) = xy$ . Pour $k \neq 0$ , les lignes de niveau sont les hyperboles d'équation $y = k/x$ . Pour $k = 0$ , c'est la réunion des deux axes.
$f(x, y) = x^2 - y^2$ . Pour $k = 0$ , c'est la réunion des deux droites $y = x$ et $y = -x$ . Pour $k \neq 0$ , ce sont des hyperboles.

Lecture d'une carte de niveaux :

quand les lignes de niveau associées à des valeurs régulièrement espacées sont resserrées, la fonction varie vite dans cette zone ;
quand elles sont écartées, elle varie lentement ;
une ligne de niveau réduite à un point signale souvent un extremum local.

Vocabulaire économique :

une ligne de niveau d'une fonction d'utilité s'appelle une courbe d'indifférence ;
une ligne de niveau d'une fonction de production s'appelle une isoquante.

Deux lignes de niveau associées à des valeurs différentes ne se coupent jamais, puisqu'un point ne peut pas avoir deux images.

En dimension $n \geqslant 3$ , on parle de surface de niveau ou d'ensemble de niveau, défini de la même manière par $f(x) = k$ .

3.4Visualisation avec Python

Le programme invite à illustrer ces notions avec matplotlib.pyplot. Deux gestes suffisent :

on construit une grille de points avec numpy, par exemple avec linspace puis meshgrid ;
on trace soit la surface, avec plot_surface, soit les lignes de niveau, avec contour.

Le tracé des lignes de niveau est souvent plus lisible que celui de la surface, en particulier pour repérer un minimum.

4Continuité

4.1Définition

Définition 4.1Continuité

Soit $f$ définie sur $\R^n$ et $x_0$ un point de $\R^n$ . On dit que $f$ est continue en $x_0$ lorsque $\begin{aligned} &\forall \varepsilon > 0,\ \exists \alpha > 0,\ \forall x \in \R^n,\\ &\norm{x - x_0} \leqslant \alpha \Rightarrow\\ &\abs{f(x) - f(x_0)} \leqslant \varepsilon. \end{aligned}$ On dit que $f$ est continue sur $\R^n$ lorsqu'elle est continue en tout point de $\R^n$ .

4.2Comment la lire

C'est exactement la définition vue en première année pour une fonction d'une variable, à ceci près que la valeur absolue $\abs{x - x_0}$ est remplacée par la norme $\norm{x - x_0}$ . Si le point $x$ est assez proche de $x_0$ , alors l'image $f(x)$ est aussi proche que voulu de $f(x_0)$ .

La seule nouveauté est qu'en dimension $n \geqslant 2$ , il y a une infinité de directions par lesquelles $x$ peut s'approcher de $x_0$ , et la définition les contrôle toutes en même temps.

4.3Résultats admis

Le programme admet les résultats suivants, et précise qu'aucune difficulté ne sera soulevée sur ce sujet.

Propriété 4.2Fonctions polynomiales

Toute fonction polynomiale de $n$ variables est continue sur $\R^n$ . En particulier les fonctions affines et les projections $(x_1, \dots, x_n) \mapsto x_i$ sont continues.

Résultat admis.

Propriété 4.3Somme et produit

La somme et le produit de deux fonctions continues sur $\R^n$ sont continus sur $\R^n$ .

Résultat admis.

Propriété 4.4Quotient

Hypothèses

$f$ et $g$ sont continues sur $\R^n$ ;
$g$ ne s'annule en aucun point.

Alors $f/g$ est continue sur $\R^n$ .

Résultat admis.

Propriété 4.5Composition

Hypothèses

$f$ est continue sur $\R^n$ à valeurs dans un intervalle $I$ de $\R$ ;
$g$ est continue sur $I$ à valeurs réelles.

Alors $g \circ f$ est continue sur $\R^n$ .

Résultat admis.

4.4Exemples de justification rédigée

Exemple 4.6Une exponentielle

$f(x, y) = \e^{x^2 + y}$ est continue sur $\R^2$ : la fonction $(x, y) \mapsto x^2 + y$ est polynomiale donc continue, et l'exponentielle est continue sur $\R$ , donc la composée est continue.

Exemple 4.7Un quotient

$f(x, y) = \dfrac{xy + 1}{x^2 + y^2 + 1}$ est continue sur $\R^2$ : le numérateur et le dénominateur sont polynomiaux donc continus, et le dénominateur ne s'annule jamais car $x^2 + y^2 + 1 \geqslant 1$ .

Exemple 4.8Un logarithme

$f(x, y, z) = \ln(1 + x^2 + y^2 + z^2)$ est continue sur $\R^3$ : la fonction $1 + x^2 + y^2 + z^2$ est polynomiale, continue, à valeurs dans l'intervalle $[1, +\infty[$ , et le logarithme est continu sur cet intervalle.

Exemple 4.9La norme

$f(x) = \norm{x}$ est continue sur $\R^n$ : c'est la composée de la fonction polynomiale $x \mapsto x_1^2 + \dots + x_n^2$ , à valeurs dans $[0, +\infty[$ , par la racine carrée, continue sur cet intervalle.

4.5Ce qui est hors programme

Le programme exclut explicitement deux situations :

l'étude de la continuité en un point pathologique, c'est-à-dire le cas d'une fonction définie par une expression qui perd son sens en un point, comme le quotient $xy/(x^2 + y^2)$ prolongé par 0 en l'origine ;
l'étude des recollements, c'est-à-dire le cas d'une fonction définie sur $\R^n$ par plusieurs formules selon la zone.

On ne demandera donc jamais de démontrer une discontinuité par un passage à la limite selon deux directions différentes. Si un tel objet apparaît dans un sujet, l'énoncé fournira les indications nécessaires.

Méthodes

MéthodeJustifier la continuité d'une fonction explicite

Décomposer la fonction en briques élémentaires.
Dire que les fonctions polynomiales de $n$ variables sont continues sur $\R^n$ .
Invoquer les opérations et la composition.
Pour un quotient, justifier que le dénominateur ne s'annule pas, par exemple en montrant qu'il est minoré par une constante strictement positive.

MéthodeDéterminer et tracer des lignes de niveau

Fixer un réel $k$ et écrire l'équation $f(x, y) = k$ .
Reconnaître la courbe : droite, cercle, parabole, hyperbole, réunion de droites.
Discuter selon le signe ou la valeur de $k$ , car l'ensemble peut être vide ou réduit à un point.

MéthodeRetrouver l'allure d'une surface

Étudier séparément quelques coupes, par exemple les courbes obtenues en fixant $y = 0$ puis $x = 0$ .
Regarder les lignes de niveau.

La combinaison des deux donne une bonne idée du relief.

MéthodeReconnaître une fonction affine

Vérifier que chaque variable apparaît au degré 1.
Vérifier qu'il n'y a pas de produit croisé.

Le graphe est alors un plan pour $n = 2$ , et les lignes de niveau sont des droites parallèles.

MéthodeUtiliser Python

Construire la grille avec meshgrid.
Évaluer la fonction de manière vectorisée.
Appeler contour pour les lignes de niveau ou plot_surface pour la surface.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Écrire la définition de la continuité d'une fonction de $\R^n$ dans $\R$ avec les quantificateurs, et expliquer l'analogie avec le cas d'une variable.
Donner l'équation du graphe d'une fonction de deux variables et dire de quelle nature est ce graphe pour une fonction affine.
Déterminer et tracer les lignes de niveau de $x + 2y$ , de $x^2 + y^2$ , de $xy$ et de $x^2 - y^2$ , en discutant selon $k$ .
Justifier proprement la continuité d'une fonction construite par somme, produit, quotient et composition.
Expliquer pourquoi deux lignes de niveau de valeurs différentes ne se coupent jamais.
Interpréter un resserrement des lignes de niveau en termes de vitesse de variation de la fonction.
Donner le vocabulaire économique des lignes de niveau, courbe d'indifférence et isoquante.
Écrire les quelques lignes de Python qui tracent les lignes de niveau d'une fonction de deux variables.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Rⁿ est muni du produit scalaire canonique ⟨x, y⟩ = Σ xᵢyᵢ et de la norme ||x|| = √⟨x, x⟩. Inégalité de Cauchy-Schwarz, |⟨x, y⟩| ≤ ||x|| ||y||, et inégalité triangulaire, ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||. Exigibles, vues au chapitre sur les espaces euclidiens.
Le graphe de f définie sur Rⁿ est l'ensemble des points (x₁, …, xₙ, f(x)) de Rⁿ⁺¹, d'équation x indice n+1 = f(x₁, …, xₙ). Définition exigible.
Pour f affine, f(x) = ⟨a, x⟩ + b, le graphe est un hyperplan affine de Rⁿ⁺¹, un plan non vertical pour n = 2. Exigible.
La ligne de niveau k d'une fonction de deux variables est l'ensemble des (x, y) tels que f(x, y) = k. Deux lignes de niveau de valeurs différentes sont disjointes. Exigible avec démonstration.
Définition de la continuité en x₀. ∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ Rⁿ, ||x − x₀|| ≤ α ⇒ |f(x) − f(x₀)| ≤ ε. Exigible, à savoir écrire sans hésiter.
Toute fonction polynomiale de n variables est continue sur Rⁿ. Admis.
Somme, produit de fonctions continues sur Rⁿ sont continus. Quotient continu si le dénominateur ne s'annule pas. Admis.
Si f est continue sur Rⁿ à valeurs dans un intervalle I et g continue sur I à valeurs réelles, alors g ∘ f est continue sur Rⁿ. Admis.
Les projections x ↦ xᵢ et les fonctions affines sont continues. Exigible, cas particulier des polynômes, ou directement par la définition.
La norme x ↦ ||x|| et toute forme linéaire x ↦ ⟨a, x⟩ sont continues sur Rⁿ. Exigibles avec démonstration à partir de la définition, c'est l'exercice de khôlle type.
Hors programme, à signaler. Continuité en un point pathologique d'un quotient prolongé, recollement de formules, étude des ouverts et fermés de Rⁿ, extrema sur une partie, tout cela relève du quatrième semestre ou n'est pas au programme.

Clés de démonstration

Deux lignes de niveau ne se coupent pas. Si (x, y) appartient à L_k et à L_k′, alors f(x, y) = k et f(x, y) = k′, donc k = k′. Astuce, un point a une seule image.

Continuité d'une forme linéaire. Pour f(x) = ⟨a, x⟩, on écrit f(x) − f(x₀) = ⟨a, x − x₀⟩, donc |f(x) − f(x₀)| ≤ ||a|| ||x − x₀|| par Cauchy-Schwarz. Si a = 0, f est constante. Sinon, pour ε donné, α = ε/||a|| convient. Astuce, la linéarité transforme la différence des images en image de la différence.

Continuité de la norme. L'inégalité triangulaire donne ||x|| ≤ ||x − x₀|| + ||x₀|| et ||x₀|| ≤ ||x₀ − x|| + ||x||, donc | ||x|| − ||x₀|| | ≤ ||x − x₀||. Pour ε donné, α = ε convient. Astuce, l'inégalité triangulaire inversée est la clé.

Continuité par assemblage. On écrit f comme somme, produit, quotient ou composée de briques continues, et on cite le résultat admis à chaque étape. Pour un quotient, on minore le dénominateur par une constante strictement positive. Pour une composée, on précise l'intervalle I dans lequel la fonction intérieure prend ses valeurs et sur lequel la fonction extérieure est continue. Astuce, la rédaction suit la construction de la formule de l'intérieur vers l'extérieur.

Exemples et contre-exemples à connaître

f(x, y) = x + 2y. Lignes de niveau, droites parallèles x + 2y = k. Graphe, plan d'équation z = x + 2y.
f(x, y) = x² + y². Lignes de niveau, cercle de rayon √k pour k > 0, origine pour k = 0, vide pour k < 0. Un même exemple donne les trois cas.
f(x, y) = xy. Lignes de niveau, hyperboles y = k/x pour k ≠ 0, réunion des deux axes pour k = 0. Une ligne de niveau peut être non connexe ou se croiser elle-même.
f(x, y) = x² − y². Coupe y = 0 parabole vers le haut, coupe x = 0 parabole vers le bas, graphe en selle. Ligne de niveau 0, les deux bissectrices.
f(x, y) = y − x². Lignes de niveau, paraboles y = x² + k, toutes translatées verticalement.
f(x, y) = e^{−(x² + y²)}. Lignes de niveau, cercles pour 0 < k < 1, origine pour k = 1, vide pour k ≤ 0 ou k > 1. Les valeurs de k sont contraintes par l'image de f.
f(x, y) = (x + y)/(1 + x² + y²). Continue sur R² parce que le dénominateur est minoré par 1. Le quotient de deux polynômes n'est continu sur tout R² que si le dénominateur ne s'annule jamais.
f(x, y) = xy/(x² + y²) prolongée par 0 en l'origine. Exemple hors programme, à connaître pour savoir qu'on ne l'étudie pas. Le programme exclut explicitement les points pathologiques.
Cobb-Douglas f(x, y) = x^a y^b avec a, b > 0. Définie seulement pour x > 0 et y > 0, donc pas sur R² entier. Elle attend le quatrième semestre.
La fonction constante et les projections (x₁, …, xₙ) ↦ xᵢ sont les briques de base. Toute fonction polynomiale s'obtient à partir d'elles par sommes et produits.

Techniques du chapitre

Reconnaître une ligne de niveau par mise sous forme canonique. Mini-exercice, f(x, y) = x² − 2x + y². Ligne k, (x − 1)² + y² = k + 1. Cercle de centre (1, 0) et de rayon √(k + 1) si k > −1, point (1, 0) si k = −1, vide si k < −1.

Discuter selon k à partir de l'image de f. Mini-exercice, f(x, y) = e^{x + y}. Comme f est à valeurs strictement positives, la ligne k est vide pour k ≤ 0. Pour k > 0, elle est la droite x + y = ln k.

Rédiger une continuité. Mini-exercice, f(x, y, z) = ln(2 + x² + y² z²). La fonction (x, y, z) ↦ 2 + x² + y²z² est polynomiale donc continue, à valeurs dans [2, +∞[, intervalle sur lequel ln est continu. Par composition, f est continue sur R³.

Minorer un dénominateur. Mini-exercice, f(x, y) = x/(x² + y² + 4). Pour tout (x, y), x² + y² + 4 ≥ 4 > 0, le dénominateur ne s'annule pas. Numérateur et dénominateur polynomiaux, quotient continu sur R².

Lire une surface par ses coupes. Mini-exercice, f(x, y) = x² + y² − 4y. Coupe x = 0, parabole y² − 4y de sommet en y = 2, valeur −4. Coupe y = 2, parabole x² − 4. Forme canonique x² + (y − 2)² − 4. Le graphe est un paraboloïde de sommet (0, 2, −4), les lignes de niveau sont des cercles centrés en (0, 2).

Écrire l'équation du plan tangent d'une fonction affine, c'est-à-dire de son graphe. Mini-exercice, f(x, y) = 3x − y + 2. Graphe, plan z = 3x − y + 2, qui passe par (0, 0, 2), (1, 0, 5), (0, 1, 1). Lignes de niveau, droites 3x − y = k − 2, toutes de vecteur directeur (1, 3).

Tracer en Python. Mini-exercice, lignes de niveau de x² + y². On construit x = np.linspace(−2, 2, 200), y de même, X, Y = np.meshgrid(x, y), Z = X2 + Y2, puis plt.contour(X, Y, Z, levels=[0.5, 1, 2, 3]) et plt.show(). Le calcul est vectorisé, on n'écrit pas de boucle.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Lignes de niveau et forme canonique

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit f(x, y) = x² + y² − 2x + 4y. Déterminer, selon k, la ligne de niveau k. Quelle est la plus petite valeur prise par f ?

Technique compléter les carrés.

Voir le corrigé

f(x, y) = (x − 1)² − 1 + (y + 2)² − 4 = (x − 1)² + (y + 2)² − 5. 2. Ligne k, (x − 1)² + (y + 2)² = k + 5. Si k > −5, cercle de centre (1, −2) et de rayon √(k + 5). Si k = −5, le point (1, −2). Si k < −5, vide. 3. Comme une somme de carrés est positive, f(x, y) ≥ −5 avec égalité en (1, −2). La plus petite valeur est −5.

piège : Écrire un rayon √(k + 5) sans discuter le signe de k + 5.

Exercice 2. Ellipses et hyperboles

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Décrire les lignes de niveau de f(x, y) = x² + 4y² puis de g(x, y) = x² − 4y².

Technique reconnaître une conique par son équation réduite.

Voir le corrigé

Pour f, ligne k avec k > 0, x² + 4y² = k, ellipse centrée à l'origine, coupant l'axe des x en ±√k et l'axe des y en ±√k/2. Pour k = 0, l'origine. Pour k < 0, vide. 2. Pour g, ligne 0, x² = 4y², soit y = x/2 ou y = −x/2, deux droites. Pour k ≠ 0, hyperbole x² − 4y² = k, dont les deux droites précédentes sont les asymptotes. Pour k > 0, les branches coupent l'axe des x en ±√k. Pour k < 0, elles coupent l'axe des y en ±√(−k)/2.

piège : Dessiner un cercle pour x² + 4y² = k en oubliant le coefficient 4.

Exercice 3. Continuité par assemblage

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Justifier la continuité sur R² de f(x, y) = √(1 + x²y²), de g(x, y) = (xy − 1)/(2 + x⁴ + y²) et de h(x, y) = cos(x) e^y².

Technique décomposer en briques et citer les résultats admis.

Voir le corrigé

(x, y) ↦ 1 + x²y² est polynomiale donc continue, à valeurs dans [1, +∞[, sur lequel la racine carrée est continue. Par composition f est continue. 2. Numérateur et dénominateur de g sont polynomiaux donc continus, et 2 + x⁴ + y² ≥ 2 > 0, donc le quotient est continu. 3. (x, y) ↦ x est continue à valeurs dans R et cos est continue sur R, donc (x, y) ↦ cos x est continue. De même (x, y) ↦ y² est polynomiale, exp est continue sur R, donc (x, y) ↦ e^y² est continue. Le produit h est continu.

piège : Écrire « f est continue car composée de fonctions continues » sans préciser l'intervalle d'arrivée de la fonction intérieure.

Exercice 4. Continuité par la définition

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit a un vecteur non nul de Rⁿ et f(x) = ⟨a, x⟩. Montrer, avec la définition, que f est continue en tout point. Faire de même pour g(x) = ||x||.

Technique Cauchy-Schwarz puis inégalité triangulaire.

Voir le corrigé

Soit x₀ dans Rⁿ et ε > 0. Pour tout x, |f(x) − f(x₀)| = |⟨a, x − x₀⟩| ≤ ||a|| ||x − x₀||. 2. On pose α = ε/||a|| > 0. Si ||x − x₀|| ≤ α, alors |f(x) − f(x₀)| ≤ ε. Donc f est continue en x₀. 3. Pour g, l'inégalité triangulaire donne | ||x|| − ||x₀|| | ≤ ||x − x₀||. On pose α = ε. Si ||x − x₀|| ≤ ε, alors |g(x) − g(x₀)| ≤ ε.

piège : Choisir α dépendant de x, alors qu'il ne doit dépendre que de ε et de x₀.

Exercice 5. Une fonction de n variables

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Soit a un vecteur de Rⁿ et f(x) = ||x||² − 2⟨a, x⟩. Montrer que f(x) = ||x − a||² − ||a||². Décrire l'ensemble de niveau k de f. Montrer que f est continue sur Rⁿ.

Technique développer une norme au carré.

Voir le corrigé

||x − a||² = ⟨x − a, x − a⟩ = ||x||² − 2⟨a, x⟩ + ||a||² par bilinéarité et symétrie. D'où f(x) = ||x − a||² − ||a||². 2. Ensemble de niveau k, ||x − a||² = k + ||a||². Si k > −||a||², sphère de centre a et de rayon √(k + ||a||²). Si k = −||a||², le point a. Si k < −||a||², vide. 3. En coordonnées, f(x) = Σ xᵢ² − 2 Σ aᵢxᵢ est polynomiale, donc continue sur Rⁿ.

piège : Développer ||x − a||² en ||x||² − ||a||² comme une identité remarquable de nombres.

Exercice 6. Lecture d'une surface

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Soit f(x, y) = x² − y². Étudier les coupes du graphe par les plans y = 0, x = 0, puis y = x et y = −x. Décrire les lignes de niveau et expliquer pourquoi f n'a ni maximum ni minimum.

Technique coupes puis lignes de niveau.

Voir le corrigé

Coupe y = 0, z = x², parabole tournée vers le haut. Coupe x = 0, z = −y², parabole tournée vers le bas. 2. Coupes y = x et y = −x, z = 0, deux droites horizontales dans le graphe. 3. Ligne 0, les bissectrices. Ligne k > 0, hyperbole coupant l'axe des x en ±√k. Ligne k < 0, hyperbole coupant l'axe des y en ±√(−k). 4. f(t, 0) = t² prend des valeurs aussi grandes que l'on veut, f(0, t) = −t² aussi petites que l'on veut. Aucune valeur n'est un maximum ni un minimum.

piège : Conclure que l'origine est un minimum parce que la coupe y = 0 y a un minimum.

Exercice 7. Fonction bornée et lignes de niveau

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Soit f(x, y) = e^{−(x² + y²)}. Montrer que f est continue sur R² et que 0 < f(x, y) ≤ 1. Décrire les lignes de niveau. Pour quelles valeurs de k la ligne de niveau est-elle un cercle de rayon 1 ?

Technique encadrer par l'image de exp, puis résoudre f = k.

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(x, y) ↦ −(x² + y²) est polynomiale donc continue, exp est continue sur R, la composée est continue. 2. Comme −(x² + y²) ≤ 0 et exp est strictement croissante à valeurs strictement positives, 0 < f(x, y) ≤ e⁰ = 1, avec égalité si et seulement si (x, y) = (0, 0). 3. Pour 0 < k < 1, f(x, y) = k équivaut à x² + y² = −ln k, avec −ln k > 0, cercle de centre l'origine et de rayon √(−ln k). Pour k = 1, l'origine. Pour k ≤ 0 ou k > 1, vide. 4. Rayon 1 si et seulement si −ln k = 1, soit k = e⁻¹.

piège : Écrire x² + y² = ln k en oubliant le signe, ce qui donne un rayon imaginaire pour k < 1.

Exercice 8. Fonctions affines caractérisées par leurs lignes de niveau

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

Soit f(x, y) = ax + by + c avec (a, b) ≠ (0, 0). Montrer que les lignes de niveau de f sont des droites parallèles, toutes orthogonales au vecteur (a, b). Montrer que si k < k′, la ligne k′ est obtenue à partir de la ligne k par la translation de vecteur ((k′ − k)/(a² + b²)) (a, b).

Technique équation de droite et vecteur normal.

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Ligne k, ax + by = k − c, droite de vecteur normal (a, b), non vide car (a, b) ≠ (0, 0). Toutes ont le même vecteur normal, donc elles sont parallèles. 2. Soit (x, y) sur la ligne k et (x′, y′) = (x, y) + t(a, b) avec t = (k′ − k)/(a² + b²). Alors ax′ + by′ = ax + by + t(a² + b²) = k − c + k′ − k = k′ − c. Le translaté est sur la ligne k′. 3. La translation est une bijection du plan qui envoie la ligne k dans la ligne k′, et sa réciproque envoie la ligne k′ dans la ligne k par le même calcul. Les deux droites se correspondent. 4. Interprétation, plus a² + b² est grand, plus les lignes de niveau sont resserrées pour un même écart de k, ce qui traduit une variation plus rapide de f.

piège : Dire que (a, b) dirige la droite, alors qu'il lui est orthogonal.

Erreurs fréquentes

Confondre le graphe, qui vit dans Rⁿ⁺¹, et les lignes de niveau, qui vivent dans Rⁿ.
Décrire une ligne de niveau sans discuter selon k, alors qu'elle peut être vide ou réduite à un point.
Justifier une continuité par « composée de fonctions continues » sans vérifier l'intervalle d'arrivée ni la non-annulation d'un dénominateur.
Choisir un α dépendant de x dans la définition de la continuité.
Aborder un quotient prolongé en un point où il n'est pas défini, alors que le programme l'exclut et que le sujet donnera les indications nécessaires.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel d'ECG deuxième année, mathématiques approfondies (2021), enseignement du troisième semestre, partie II « Fonctions réelles définies sur $\R^n$ », paragraphe 1 « Introduction aux fonctions définies sur $\R^n$ ». Au troisième semestre, le domaine de définition est systématiquement $\R^n$ tout entier, muni de sa structure euclidienne canonique. Les fonctions définies sur une partie de $\R^n$ et la recherche d'extrema sous contrainte relèvent du quatrième semestre.

Introduction aux fonctions définies sur Rn

Résumé en cinq points

1L'espace KXF6FXK

1.1Structure

1.2Distance et voisinage

2Fonctions de KXF28FXK variables

2.1Définition

2.2Fonctions polynomiales

2.3Fonctions affines

3Graphe et lignes de niveau

3.1Graphe

3.2Cas des fonctions affines

3.3Lignes de niveau

3.4Visualisation avec Python

4Continuité

4.1Définition

4.2Comment la lire

4.3Résultats admis

4.4Exemples de justification rédigée

4.5Ce qui est hors programme

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Lignes de niveau et forme canonique

Exercice 2. Ellipses et hyperboles

Exercice 3. Continuité par assemblage

Exercice 4. Continuité par la définition

Exercice 5. Une fonction de n variables

Exercice 6. Lecture d'une surface

Exercice 7. Fonction bornée et lignes de niveau

Exercice 8. Fonctions affines caractérisées par leurs lignes de niveau

Erreurs fréquentes