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ECG1 · Maths approfondies · semaine 14

Intégration sur un segment

Intégrale d'une fonction continue sur un segment définie comme aire sous la courbe puis généralisée à une fonction de signe quelconque, sommes de Riemann. Linéarité, relation de Chasles, positivité, croissance et cas d'une fonction continue positive d'intégrale nulle. Primitives, intégration par parties et changement de variable, la construction de l'intégrale de Riemann est hors programme.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. L'intégrale est une aire algébrique. Les conventions sur les bornes rendent la relation de Chasles valable dans tous les cas.
  2. Linéarité, Chasles, positivité et croissance sont les quatre propriétés de base. La positivité et la croissance exigent des bornes dans l'ordre croissant.
  3. Une fonction continue positive d'intégrale nulle sur un segment non réduit à un point est la fonction nulle.
  4. Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives, et l'intégrale vaut la différence des valeurs d'une primitive aux bornes.
  5. Intégration par parties et changement de variable sont les deux techniques de calcul. Les sommes de Riemann relient sommes discrètes et intégrales.
Pourquoi ce chapitre

L'intégrale est l'outil de sommation continue.

  • En probabilités de deuxième année, elle donnera les densités, les espérances et les fonctions de répartition.
  • En analyse, elle sert à définir des fonctions, à établir des inégalités, à calculer des limites de sommes.

Le chapitre demande trois choses distinctes :

  • une compréhension géométrique, l'aire algébrique sous la courbe, qui permet de prévoir un signe ou de contrôler un ordre de grandeur ;
  • une maîtrise technique : primitives usuelles, intégration par parties, changement de variable ;
  • la connaissance des sommes de Riemann, qui relient une somme discrète à une intégrale et fournissent la méthode des rectangles, mentionnée par le programme en lien avec l'informatique.

Les sommes de Riemann relient une somme discrète à une intégrale.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Calcul d'intégrales 2

Exercice 1. Intégrations par parties ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Calculer A=∫0π/2tcos⁡t dtA = \int_0^{\pi/2} t \cos t \, dt et B=∫1etln⁡t dt.B = \int_1^e t \ln t \, dt.

Voir l'indice

Technique choisir le facteur à dériver.

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  1. Pour AA, on dérive tt et on intègre cos⁡t\cos t : A=[tsin⁡t]0π/2−∫0π/2sin⁡t dt=π/2−1.A = [t \sin t]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} \sin t\,dt = \pi/2 - 1.
  2. Pour BB, on dérive ln⁡t\ln t et on intègre tt en t2/2t^2/2 : B=[t2ln⁡t/2]1e−∫1et/2 dt.B = [t^2 \ln t/2]_1^e - \int_1^e t/2\,dt.
  3. Cela donne e2/2−(e2−1)/4=(e2+1)/4e^2/2 - (e^2 - 1)/4 = (e^2 + 1)/4.

piège : Intégrer ln⁡t\ln t au lieu de le dériver, ce qui complique le calcul.

Exercice 2. Un changement de variable indiqué ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

À l'aide du changement de variable t=sin⁡ut = \sin u, calculer ∫011−t2 dt.\int_0^1 \sqrt{1 - t^2} \, dt.

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  1. φ = sin est de classe C¹ et strictement croissante sur [0, π/2], avec φ(0) = 0 et φ(π/2) = 1. …

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Inégalités et intégrales 2

Exercice 3. Utiliser le théorème d'intégrale nulle ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Soit ff continue sur [0,1][0, 1] telle que ∫01f(t) dt=12.\int_0^1 f(t) \, dt = \frac{1}{2}. Montrer que ff admet un point fixe.

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  1. On pose g(t)=f(t)−tg(t) = f(t) - t, continue, et ∫01g=1/2−1/2=0\int_0^1 g = 1/2 - 1/2 = 0.

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Exercice 10. Inégalité de Cauchy-Schwarz intégrale ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC

Soient ff, gg continues sur [a,b][a, b] avec a<ba < b. Montrer que (∫fg)2≤∫f2×∫g2.\left(\int fg\right)^2 \leq \int f^2 \times \int g^2. Ce résultat n'est pas au programme comme résultat de cours de première année, l'énoncé le fait démontrer.

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  1. Pour tout réel λ\lambda, P(λ)=∫(f+λg)2≥0P(\lambda) = \int (f + \lambda g)^2 \geq 0 par positivité.

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Sommes et intégrales 3

Exercice 4. Comparaison somme et intégrale ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

On note Hn=∑k=1n1k.H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}. Montrer que ln⁡(n+1)≤Hn≤1+ln⁡n,\ln(n + 1) \leq H_n \leq 1 + \ln n, puis que HnH_n est équivalent à ln⁡n\ln n.

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  1. Pour k≥1k \geq 1, t↦1/tt \mapsto 1/t est décroissante, donc ∫kk+1dt/t≤1/k\int_k^{k+1} dt/t \leq 1/k. …

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Exercice 5. Limites par sommes de Riemann ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit Ecricome

Déterminer les limites de un=∑k=1nkn2+k2u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2 + k^2} et de vn=1n((2n)!n!)1/n.v_n = \frac{1}{n} \left(\frac{(2n)!}{n!}\right)^{1/n}.

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  1. un = (1/n) Σ (k/n)/(1 + (k/n)²), qui tend vers ∫_01 x/(1 + x²) dx = (ln 2)/2. …

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Exercice 7. Série alternée et ln 2 sans les séries ★★★

Approfondissement · 30 min · Niveau écrit BCE, type EDHEC

Montrer que Sn=∑k=1n(−1)k+1kS_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k} tend vers ln⁡2\ln 2.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Fonction définie par une intégrale 1

Exercice 6. Fonction définie par une intégrale ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

Pour x>1x > 1, on pose F(x)=∫x2xdtln⁡t.F(x) = \int_x^{2x} \frac{dt}{\ln t}. Justifier la définition, étudier les variations de FF et sa limite en +∞+\infty.

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  1. Pour x>1x > 1, [x,2x][x, 2x] est inclus dans ]1,+∞[]1, +\infty[, où t↦1/ln⁡tt \mapsto 1/\ln t est continue. …

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Suites d'intégrales 2

Exercice 8. Un lemme d'oscillation ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit BCE, type emlyon

Soit ff de classe C1C^1 sur [a,b][a, b]. Montrer que ∫abf(t)sin⁡(nt) dt\int_a^b f(t) \sin(nt) \, dt tend vers 00 quand nn tend vers +∞+\infty.

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  1. On dérive ff et on intègre sin⁡(nt)\sin(nt) en −cos⁡(nt)/n-\cos(nt)/n.

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Exercice 9. Intégrales de Wallis ★★★

Approfondissement · 40 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC

On pose Wn=∫0π/2sin⁡nt dt.W_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n t \, dt. Montrer que (n+2)Wn+2=(n+1)Wn,(n + 2) W_{n+2} = (n + 1) W_n, que (n+1)Wn+1Wn=π2,(n + 1) W_{n+1} W_n = \frac{\pi}{2}, puis que WnW_n est équivalent à π2n\sqrt{\frac{\pi}{2n}}.

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  1. On écrit sin⁡n+2=sin⁡n+1×sin⁡\sin^{n+2} = \sin^{n+1} \times \sin. …

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel d'ECG mathématiques approfondies (2021), enseignement du premier semestre, partie V « Fonctions réelles d'une variable réelle », paragraphe 4 « Intégration sur un segment ».