Le cours

Résumé en cinq points

Une densité est une fonction positive, continue sauf en un nombre fini de points, d'intégrale 1 sur $\R$ . Elle n'est pas unique et peut dépasser 1.
$X$ est à densité lorsque $F_X$ est continue sur $\R$ et $C^1$ sauf en un nombre fini de points. Alors $F_X(x)$ est l'intégrale de $f_X$ jusqu'à $x$ , et $\P(X = a) = 0$ .
Pour trouver la loi d'une image $g(X)$ , on calcule toujours $\P(g(X) \leqslant y)$ , on vérifie la continuité, puis on dérive. Pour $aX + b$ , la densité est $\frac{1}{\abs{a}} f_X\big(\frac{y-b}{a}\big)$ .
$X$ admet une espérance si et seulement si l'intégrale de $x f_X(x)$ converge absolument. Certaines lois n'ont pas d'espérance.
Le théorème de transfert donne $\E(g(X))$ comme intégrale de $g(t) f_X(t)$ , sous condition d'absolue convergence, sans avoir à déterminer la loi de $g(X)$ .

Pourquoi ce chapitre

Beaucoup de grandeurs aléatoires ne prennent pas des valeurs isolées mais varient continûment : une durée d'attente, une durée de vie, une erreur de mesure, un rendement financier. Pour de telles variables, la probabilité de chaque valeur ponctuelle est nulle, et la description par les $\P(X = x)$ s'effondre. On la remplace par une fonction densité, dont l'intégrale sur un intervalle donne la probabilité de tomber dans cet intervalle. C'est le passage de la somme à l'intégrale.

Tout le chapitre consiste à transposer les outils de première année :

la loi se lit sur une densité ;
l'espérance est une intégrale au lieu d'une série ;
la convergence absolue joue le rôle qu'avait la convergence absolue des séries.

Ce chapitre est la porte d'entrée de toute la partie probabiliste des concours de deuxième année.

1Densité de probabilité

1.1Définition

Définition 1.1Densité de probabilité

Une fonction $f$ de $\R$ dans $\R$ est une densité de probabilité lorsqu'elle vérifie les trois conditions suivantes :

$f$ est continue sur $\R$ sauf éventuellement en un nombre fini de points ;
$f$ est positive sur $\R$ ;
l'intégrale de $f$ sur $\R$ converge et vaut 1, autrement dit $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\dd t = 1$ .

1.2Exemples

Exemple 1.2Quatre densités

La fonction valant 1 sur $\intff{0}{1}$ et 0 ailleurs est une densité. Elle est continue sauf en 0 et en 1, positive, et son intégrale vaut 1.
Pour $\lambda > 0$ , la fonction valant $\lambda\e^{-\lambda t}$ pour $t > 0$ et 0 pour $t \leqslant 0$ est une densité. Une primitive de $\lambda\e^{-\lambda t}$ est $-\e^{-\lambda t}$ , et l'intégrale de 0 à $+\infty$ vaut 1.
La fonction valant $1/t^2$ pour $t \geqslant 1$ et 0 ailleurs est une densité, puisque $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\dd t}{t^2} = 1$ .
La fonction valant $2t$ sur $\intff{0}{1}$ et 0 ailleurs est une densité. Elle prend des valeurs supérieures à 1, ce qui est licite.

1.3Deux pièges de vocabulaire

Attention

Une densité n'est pas une probabilité. La valeur $f(x)$ peut dépasser 1. Ce qui est une probabilité, c'est l'aire sous la courbe, donc une intégrale.

Attention

Une densité n'est pas unique. Si on modifie une densité en un nombre fini de points, on obtient encore une densité, et elle décrit la même loi. C'est pour cette raison que l'on dit « une densité de $X$ » et non « la densité de $X$ ». On choisit en général la version la plus simple à écrire.

2Variable aléatoire à densité

2.1Définition

Définition 2.1Variable aléatoire à densité

Une variable aléatoire réelle $X$ est à densité lorsque sa fonction de répartition $F_X$ est continue sur $\R$ et de classe $C^1$ sur $\R$ privé éventuellement d'un ensemble fini de points.

Sous ces hypothèses, toute fonction égale à $F_X'$ sauf éventuellement en un nombre fini de points est une densité de probabilité, et on l'appelle une densité de $X$ . On la note $f_X$ .

2.2Lien intégral

Propriété 2.2Fonction de répartition et densité

Pour tout réel $x$ : $F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t)\,\dd t.$

La fonction de répartition est donc l'aire sous la densité, cumulée depuis $-\infty$ . Réciproquement, la densité s'obtient en dérivant la fonction de répartition là où celle-ci est de classe $C^1$ .

2.3Conséquences immédiates

Propriété 2.3Probabilités d'intervalles

Comme $F_X$ est continue, $\P(X = a) = 0$ pour tout réel $a$ . Les inégalités strictes et larges donnent donc la même probabilité : $\begin{aligned} \P(a \leqslant X \leqslant b) &= \P(a < X < b)\\ &= F_X(b) - F_X(a)\\ &= \int_a^b f_X(t)\,\dd t. \end{aligned}$

C'est la différence majeure avec le cas discret.

Attention

Un événement de probabilité nulle n'est pas impossible. La variable prend bien une valeur, c'est seulement chaque valeur isolée qui a une probabilité nulle.

2.4Caractérisation de la loi

Propriété 2.4Loi et densité

La loi d'une variable aléatoire à densité est entièrement caractérisée par la donnée d'une densité. Deux variables à densité ayant la même densité, à un nombre fini de points près, ont la même loi.

Théorème 2.5Existence

Toute densité de probabilité sur $\R$ est la densité d'une variable aléatoire.

Résultat admis par le programme. On peut donc parler de la loi associée à une densité donnée sans se poser de question d'existence.

2.5Méthode de reconnaissance

MéthodeMontrer qu'une variable est à densité et trouver une densité

Calculer $F_X(x) = \P(X \leqslant x)$ pour tout réel $x$ , en discutant selon la position de $x$ .
Vérifier que $F_X$ est continue sur $\R$ , en particulier aux points de raccord, et qu'elle est de classe $C^1$ sauf en un nombre fini de points.
Dériver là où c'est possible, choisir une valeur arbitraire aux points de non-dérivabilité, et obtenir une densité.

L'étape de continuité est celle que l'on oublie le plus souvent, et c'est celle qui est notée.

3Lois d'images d'une variable à densité

3.1La méthode de la fonction de répartition

MéthodeLoi de $Y = g(X)$

C'est la seule méthode au programme, et elle est universelle.

Déterminer l'ensemble des valeurs possibles de $Y$ , car $F_Y$ est constante, égale à 0 ou à 1, en dehors.
Calculer $F_Y(y) = \P(g(X) \leqslant y)$ .
Traduire l'inégalité en une condition sur $X$ et l'exprimer avec $F_X$ .
Dériver.

3.2Transformation affine

Théorème 3.1Densité de $aX + b$

Hypothèses

$X$ est une variable à densité ;
$a$ est un réel non nul et $b$ un réel ;
$Y = aX + b$ .

Alors $Y$ est à densité, et pour tout réel $y$ : $f_Y(y) = \frac{1}{\abs{a}}\, f_X\!\left(\frac{y - b}{a}\right).$

Démonstration

Si $a > 0$ , alors $[Y \leqslant y] = [X \leqslant (y-b)/a]$ , donc $F_Y(y) = F_X\big((y-b)/a\big)$ . En dérivant, $f_Y(y) = \frac{1}{a} f_X\big((y-b)/a\big)$ .

Si $a < 0$ , alors $[Y \leqslant y] = [X \geqslant (y-b)/a]$ , donc $F_Y(y) = 1 - F_X\big((y-b)/a\big)$ en utilisant la continuité de $F_X$ . En dérivant, $f_Y(y) = -\frac{1}{a} f_X\big((y-b)/a\big)$ .

Dans les deux cas, on obtient la formule unifiée.

C'est un exigible explicite du programme.

3.3Le carré

Propriété 3.2Densité de $X^2$

Soit $Y = X^2$ . Comme $Y$ est positive, $F_Y(y) = 0$ pour $y < 0$ . Pour $y \geqslant 0$ , $[X^2 \leqslant y] = [-\sqrt{y} \leqslant X \leqslant \sqrt{y}]$ , donc $F_Y(y) = F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y}).$ Cette fonction est continue sur $\R$ , et de classe $C^1$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ dès que $F_X$ l'est. En dérivant, pour $y > 0$ : $f_Y(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}}\big(f_X(\sqrt{y}) + f_X(-\sqrt{y})\big).$

Attention

Le facteur $\frac{1}{2\sqrt{y}}$ vient de la dérivée de $\sqrt{y}$ . C'est l'erreur de calcul la plus fréquente du chapitre.

3.4Cas d'une fonction strictement monotone

Soit $\varphi$ une fonction de classe $C^1$ et strictement monotone sur l'ensemble des valeurs prises par $X$ , et $Y = \varphi(X)$ .

Propriété 3.3Fonction de répartition de $\varphi(X)$

Si $\varphi$ est strictement croissante, elle est bijective sur son image, et $[Y \leqslant y]$ équivaut à $[X \leqslant \varphi^{-1}(y)]$ , donc $F_Y(y) = F_X(\varphi^{-1}(y))$ pour $y$ dans l'image.
Si $\varphi$ est strictement décroissante, $[Y \leqslant y]$ équivaut à $[X \geqslant \varphi^{-1}(y)]$ , donc $F_Y(y) = 1 - F_X(\varphi^{-1}(y))$ .

On dérive ensuite, sans oublier la dérivée de la réciproque. En pratique, il est plus sûr de mener le calcul à la main sur l'exemple que d'appliquer une formule apprise.

3.5Exemple à connaître

Exemple 3.4Simulation d'une loi exponentielle

Soit $X$ de loi uniforme sur $\intoo{0}{1}$ et $\lambda > 0$ . Posons $Y = -\frac{1}{\lambda}\ln X$ . Pour $y \leqslant 0$ , $F_Y(y) = 0$ puisque $Y$ est strictement positive. Pour $y > 0$ : $\begin{aligned} \P(Y \leqslant y) &= \P(-\ln X \leqslant \lambda y)\\ &= \P(\ln X \geqslant -\lambda y)\\ &= \P(X \geqslant \e^{-\lambda y})\\ &= 1 - \e^{-\lambda y}, \end{aligned}$ car $\e^{-\lambda y}$ appartient à $\intoo{0}{1}$ et $X$ est uniforme sur cet intervalle. On reconnaît la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ .

Cette transformation est exactement celle qui permet de simuler une loi exponentielle en Python à partir de random.random.

4Espérance d'une variable à densité

4.1Définition

Définition 4.1Espérance

Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f_X$ . On dit que $X$ admet une espérance lorsque l'intégrale $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} x f_X(x)\,\dd x$ est absolument convergente. Dans ce cas, $\E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f_X(x)\,\dd x.$

L'exigence de convergence absolue garantit que la valeur obtenue ne dépend pas de la manière de découper l'intégrale. On étudie donc toujours la convergence de l'intégrale de $\abs{x} f_X(x)$ avant de conclure.

Définition 4.2Variable centrée

Une variable aléatoire d'espérance nulle est dite centrée. Si $X$ admet une espérance, alors $X - \E(X)$ est centrée.

4.2Un exemple sans espérance

Exemple 4.3Loi sans espérance

Soit $X$ de densité $f(t) = 1/t^2$ pour $t \geqslant 1$ et 0 ailleurs. C'est bien une densité. Mais $x f(x) = 1/x$ pour $x \geqslant 1$ , et l'intégrale $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\dd x}{x}$ diverge. Donc $X$ n'admet pas d'espérance.

C'est l'exemple type à savoir sortir : une loi peut être parfaitement définie et n'avoir aucune valeur moyenne.

4.3Propriétés, admises

Propriété 4.4Linéarité

Hypothèses

$X$ et $Y$ admettent une espérance ;
$a$ et $b$ sont réels.

Alors $aX + bY$ admet une espérance et $\E(aX + bY) = a\E(X) + b\E(Y)$ . En particulier $\E(aX + b) = a\E(X) + b$ .

Propriété 4.5Croissance

Hypothèses

$X$ et $Y$ admettent une espérance ;
$X \leqslant Y$ .

Alors $\E(X) \leqslant \E(Y)$ . En particulier, une variable positive a une espérance positive.

Propriété 4.6Existence par domination

Hypothèses

$\abs{X} \leqslant Y$ ;
$Y$ admet une espérance.

Alors $X$ admet une espérance, et $\abs{\E(X)} \leqslant \E(Y)$ .

Résultats admis. La domination est l'outil de référence pour prouver une existence sans calculer.

4.4Théorème de transfert

Théorème 4.7Théorème de transfert

Hypothèses

$X$ a une densité $f_X$ nulle en dehors de l'intervalle $\intoo{a}{b}$ , avec $a$ et $b$ éventuellement infinis ;
$g$ est continue sur $\intoo{a}{b}$ sauf éventuellement en un nombre fini de points.

Alors $g(X)$ admet une espérance si et seulement si l'intégrale $\displaystyle\int_a^b g(t) f_X(t)\,\dd t$ est absolument convergente, et dans ce cas $\E(g(X)) = \int_a^b g(t) f_X(t)\,\dd t.$

Le programme précise que la démonstration de ce résultat n'est pas exigible. Elle peut être admise, ou faite dans le cas particulier où $g$ est de classe $C^1$ à dérivée de signe strict constant.

À retenir

Le théorème de transfert calcule une espérance sans connaître la loi de $g(X)$ . Il donnera le moment d'ordre 2, donc la variance, au chapitre suivant.

4.5Exemples d'application

Exemple 4.8Loi uniforme sur $\intff{0}{1}$

La densité vaut 1 sur $\intff{0}{1}$ . Alors $\E(X) = \int_0^1 x\,\dd x = \frac{1}{2},$ et par transfert $\E(X^2) = \int_0^1 x^2\,\dd x = \frac{1}{3}.$

Exemple 4.9Densité $2t$ sur $\intff{0}{1}$

$\E(X) = \int_0^1 2t^2\,\dd t = \frac{2}{3},$ et $\E(1/X) = \int_0^1 \frac{1}{t}\times 2t\,\dd t = 2.$ Ici le transfert permet d'éviter tout calcul de loi de $1/X$ .

Méthodes

MéthodeMontrer qu'une fonction est une densité

Vérifier la positivité.
Vérifier la continuité sauf en un nombre fini de points.
Calculer l'intégrale sur $\R$ , en traitant la convergence proprement, avec une primitive et un passage à la limite.

MéthodeDéterminer une densité par la fonction de répartition

Calculer $F(x)$ par disjonction de cas.
Vérifier la continuité aux points de raccord.
Dériver sur chaque intervalle ouvert.
Compléter par une valeur quelconque aux points de raccord.

MéthodeTraiter une transformation affine

Appliquer la formule $f_Y(y) = \frac{1}{\abs{a}} f_X\big(\frac{y-b}{a}\big)$ , ou refaire le raisonnement en distinguant le signe de $a$ .

MéthodeTraiter un carré ou une fonction monotone

Revenir systématiquement à l'événement $[Y \leqslant y]$ .
Traduire cet événement sur $X$ .
Dériver, sans oublier le facteur venant de la dérivée de la réciproque.

MéthodeÉtudier l'existence d'une espérance

Regarder le comportement de $x f_X(x)$ aux bornes infinies.
Utiliser les critères de comparaison des intégrales généralisées vus en première année, ou la domination.

MéthodeCalculer $\E(g(X))$

Appliquer le théorème de transfert.
Vérifier d'abord l'absolue convergence.
Calculer l'intégrale.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Donner les trois conditions pour qu'une fonction soit une densité de probabilité, et les vérifier sur un exemple.
Définir une variable à densité par sa fonction de répartition, et expliquer pourquoi $\P(X = a) = 0$ .
Déterminer une densité de $aX + b$ pour $a$ non nul, en distinguant les deux signes.
Déterminer une densité de $X^2$ à partir de celle de $X$ .
Montrer que si $X$ suit la loi uniforme sur $\intoo{0}{1}$ , alors $-\frac{1}{\lambda}\ln X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ .
Donner la condition d'existence de l'espérance et exhiber une loi sans espérance.
Énoncer le théorème de transfert avec ses hypothèses, et l'utiliser pour calculer $\E(X^2)$ ou $\E(1/X)$ .
Justifier une existence d'espérance par domination plutôt que par calcul.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Densité de probabilité : f positive, continue sauf en un nombre fini de points, d'intégrale convergente sur R égale à 1. Définition exigible.
Variable à densité : F_X continue sur R et de classe C¹ sur R privé éventuellement d'un ensemble fini de points. Toute fonction égale à F_X′ sauf en un nombre fini de points est une densité de X. Définition exigible.
Pour tout réel x, F_X(x) = ∫ de −∞ à x de f_X(t) dt. Exigible, la démonstration par recollement est un bon exercice.
Si X est à densité, P(X = a) = 0 pour tout réel a. Exigible avec démonstration.
La loi d'une variable à densité est caractérisée par une densité. Exigible, énoncé seul.
Toute densité de probabilité est la densité d'une variable aléatoire. Admis.
Si a ≠ 0, aX + b est à densité, de densité y ↦ (1/|a|) f_X((y − b)/a). Exigible avec démonstration.
Lois de X² et de φ(X), avec φ de classe C¹ strictement monotone sur X(Ω). À savoir retrouver par le calcul, pas de formule à réciter.
Espérance : existe si et seulement si ∫ de −∞ à +∞ de x f_X(x) dx converge absolument. Définition exigible, avec un exemple de variable sans espérance.
Linéarité et croissance de l'espérance. Admis.
Existence par domination : si |X| ≤ Y et si Y admet une espérance, X en admet une. Admis.
Théorème de transfert, avec f_X nulle hors de ]a, b[ et g continue sur ]a, b[ sauf en un nombre fini de points. Admis. Démonstration non exigible, faisable si g est C¹ à dérivée de signe strict constant.
Hors programme ici : variance et lois usuelles (chapitres suivants), densité d'une somme de variables (chapitre ultérieur), fonctions de répartition continues qui ne sont pas C¹ sauf en un nombre fini de points.

Clés de démonstration

P(X = a) = 0. Pour tout n ≥ 1, l'événement [X = a] est inclus dans [a − 1/n < X ≤ a]. Donc 0 ≤ P(X = a) ≤ F_X(a) − F_X(a − 1/n). Ce majorant tend vers 0 quand n tend vers +∞, par continuité de F_X en a. Astuce : encadrer un événement ponctuel par un intervalle qui rétrécit.

F_X(x) = ∫ de −∞ à x de f_X. Soit x₁ < … < x_p les points où F_X n'est pas C¹. Sur chaque intervalle entre deux points consécutifs, F_X est une primitive de f_X, donc l'intégrale de f_X y vaut la différence des valeurs de F_X aux bornes. Ces valeurs se prennent aux bornes grâce à la continuité de F_X. On somme par la relation de Chasles, les termes intermédiaires se télescopent, puis on fait tendre la borne gauche vers −∞, où F_X tend vers 0. Astuce : la continuité de F_X permet le recollement.

Transformation affine. On traduit [aX + b ≤ y] en une inégalité sur X, dont le sens dépend du signe de a. Si a < 0, on obtient P(X ≥ c) = 1 − F_X(c), ce qui utilise P(X = c) = 0. On vérifie que F_Y est continue et C¹ sauf en un nombre fini de points, puis on dérive par composition. Astuce : la continuité de F_X permet d'échanger inégalités larges et strictes.

Transfert pour g de classe C¹ avec g′ > 0. On calcule la loi de Y = g(X) : F_Y(y) = F_X(g⁻¹(y)) sur l'image de g, d'où f_Y(y) = f_X(g⁻¹(y)) / g′(g⁻¹(y)). On écrit ensuite ∫ |y| f_Y(y) dy et on pose y = g(t). Le changement de variable C¹ strictement croissant conserve la nature et la valeur de l'intégrale, et il transforme l'intégrale en ∫ de a à b de |g(t)| f_X(t) dt. Astuce : c'est un changement de variable qui efface la dérivée de la réciproque. Voir l'exercice 8.

Absence d'espérance. On exhibe une densité en 1/t² au voisinage de +∞. Alors t f(t) se comporte comme 1/t, dont l'intégrale diverge. Astuce : comparaison à une intégrale de Riemann.

Exemples et contre-exemples à connaître

Densité de Laplace, f(t) = (1/2) e^−|t|. Elle est paire, positive, d'intégrale 1. Son espérance existe et vaut 0 par parité, mais il faut d'abord prouver la convergence absolue.
Densité de Cauchy, f(t) = 1/(π(1 + t²)). Son intégrale vaut (1/π)(π/2 + π/2) = 1. Elle est paire mais sans espérance, car t f(t) est équivalent à 1/(πt) en +∞. On ne conclut jamais « E(X) = 0 par symétrie » sans convergence absolue.
f(t) = 1/(2√t) sur ]0, 1] et 0 ailleurs. C'est une densité non bornée, d'intégrale impropre en 0. C'est la densité de U² pour U uniforme sur ]0, 1[.
Densité de Pareto, f(t) = α/t^α+1 pour t ≥ 1, avec α > 0. L'espérance existe si et seulement si α > 1, et vaut alors α/(α − 1). Pour α = 3/2, X admet une espérance mais X² n'en admet pas.
X uniforme sur ]0, 1[. X admet une espérance, mais 1/X n'en admet pas, puisque ∫ de 0 à 1 de dt/t diverge. L'existence de E(X) ne dit rien sur celle de E(g(X)).
X uniforme sur ]0, 1[ et Y = max(X, 1/2). Alors P(Y = 1/2) = 1/2, donc F_Y a un saut et Y n'est pas à densité. Une fonction d'une variable à densité n'est pas forcément à densité.
X de densité e^−t sur ]0, +∞[ et Y sa partie entière. Y est discrète. Le passage de la densité au discret se fait par intégration sur des intervalles.
Densité 2t sur [0, 1], de fonction de répartition x². Si U est uniforme sur ]0, 1[, alors √U a cette loi. C'est l'exemple type de simulation par réciproque de F.

Techniques du chapitre

Trouver une constante de normalisation. Mini-exercice : f(t) = c t e^−t pour t > 0, et 0 ailleurs. Par intégration par parties sur [0, A], ∫ de 0 à A de t e^−t dt = 1 − (A + 1)e^−A, qui tend vers 1. La positivité impose c ≥ 0, et l'intégrale égale à 1 impose c = 1.

Imposer la continuité aux raccords. Mini-exercice : F(x) = 0 si x < 0, F(x) = a x² si 0 ≤ x ≤ 1, et F(x) = 1 si x > 1. La continuité en 1 impose a = 1. La fonction F est alors C¹ sauf en 1, et f(x) = 2x sur ]0, 1[, 0 ailleurs, est une densité.

Traiter une valeur absolue comme un carré. Mini-exercice : Y = |X|. Pour y < 0, F_Y(y) = 0. Pour y ≥ 0, F_Y(y) = P(−y ≤ X ≤ y) = F_X(y) − F_X(−y). Là où c'est dérivable avec y > 0, f_Y(y) = f_X(y) + f_X(−y).

Étudier l'existence d'une espérance par comparaison. Mini-exercice : f(t) = 3/t⁴ pour t ≥ 1. On a |t f(t)| = 3/t³, intégrable sur [1, +∞[ par le critère de Riemann. Donc E(X) existe, et E(X) = ∫ de 1 à +∞ de 3/t³ dt = 3/2.

Dominer au lieu de calculer. Mini-exercice : X admet une espérance, montrer que √|X| aussi. Pour tout réel t, √|t| ≤ 1 + |t|, donc √|t| f_X(t) ≤ f_X(t) + |t| f_X(t). Le majorant est intégrable sur R, donc le transfert donne l'existence de E(√|X|).

Utiliser la parité, après la convergence. Mini-exercice : f(t) = (1/2) e^−|t|. On a |t| f(t) = o(1/t²) en ±∞, donc l'intégrale converge absolument. L'intégrande t f(t) est impair, donc E(X) = 0.

Simuler par la réciproque de F. Mini-exercice : F(x) = 1 − 1/x² pour x ≥ 1, 0 sinon. Pour u dans ]0, 1[, F(x) = u équivaut à x = 1/√(1 − u). Si U est uniforme sur ]0, 1[, alors X = 1/√(1 − U) a pour fonction de répartition F. En Python, on écrit X = 1/np.sqrt(1 − np.random.random()).

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Densité, répartition, moments

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit f(x) = c/(1 + x)³ pour x ≥ 0 et f(x) = 0 pour x < 0. Déterminer c pour que f soit une densité. Calculer F. Étudier l'existence de E(X) et de E(X²).

Technique primitive, comparaison en l'infini, décomposition.

Voir le corrigé

∫ de 0 à A de (1 + x)⁻³ dx = 1/2 − 1/(2(1 + A)²), qui tend vers 1/2. Donc c = 2, et f est alors positive et continue sauf en 0.
F(x) = 0 si x < 0. Pour x ≥ 0, F(x) = 1 − 1/(1 + x)².
x f(x) est équivalent à 2/x² en +∞, donc l'intégrale converge et E(X) existe. On écrit x = (1 + x) − 1, d'où E(X) = 2 ∫ de 0 à +∞ de ((1 + x)⁻² − (1 + x)⁻³) dx = 2(1 − 1/2) = 1.
x² f(x) est équivalent à 2/x, donc E(X²) n'existe pas.

piège : Conclure l'existence de E(X²) à partir de celle de E(X).

Exercice 2. Transformation affine avec a négatif

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

X a pour densité 2x sur [0, 1] et 0 ailleurs. Déterminer la fonction de répartition et une densité de Y = 1 − 3X.

Technique inverser l'inégalité quand a < 0.

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Y prend ses valeurs dans [−2, 1]. Donc F_Y(y) = 0 pour y < −2 et F_Y(y) = 1 pour y > 1.
Pour y dans [−2, 1], [1 − 3X ≤ y] = [X ≥ (1 − y)/3]. Donc F_Y(y) = 1 − F_X((1 − y)/3) = 1 − (1 − y)²/9, par continuité de F_X.
F_Y est continue en −2, où elle vaut 0, et en 1, où elle vaut 1. Elle est C¹ ailleurs.
Une densité est f_Y(y) = 2(1 − y)/9 sur [−2, 1], et 0 ailleurs. C'est bien (1/3) f_X((1 − y)/3).

piège : Écrire F_Y(y) = F_X((1 − y)/3) sans renverser le sens de l'inégalité.

Exercice 3. Carré d'une variable de Laplace

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

X a pour densité (1/2) e^−|x|. Déterminer une densité de Y = X².

Technique revenir à [Y ≤ y] et dériver √y.

Voir le corrigé

Pour y < 0, F_Y(y) = 0.
Pour y ≥ 0, F_Y(y) = P(−√y ≤ X ≤ √y) = 2 ∫ de 0 à √y de (1/2) e^−t dt = 1 − e^−√y.
F_Y est continue en 0, où elle vaut 0, et C¹ sur ]0, +∞[.
Pour y > 0, f_Y(y) = e^−√y/(2√y), et on pose f_Y(y) = 0 pour y ≤ 0.

piège : Oublier le facteur 1/(2√y), ou oublier la contribution de −√y.

Exercice 4. Inverse d'une uniforme

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

X est uniforme sur ]0, 1[. Déterminer la loi de Y = 1/X. Y admet-elle une espérance ?

Technique fonction strictement décroissante.

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Y prend ses valeurs dans ]1, +∞[, donc F_Y(y) = 0 pour y ≤ 1.
Pour y > 1, [Y ≤ y] = [X ≥ 1/y], donc F_Y(y) = 1 − 1/y.
F_Y est continue en 1 et C¹ ailleurs. Une densité est 1/y² sur ]1, +∞[, 0 ailleurs.
y f_Y(y) = 1/y n'est pas intégrable en +∞, donc pas d'espérance.

piège : Écrire F_Y(y) = F_X(1/y) en oubliant que x ↦ 1/x est décroissante.

Exercice 5. Vérifier le transfert sur un cas simple

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

X a pour densité e^−x sur ]0, +∞[. Soit Y = √X. Déterminer une densité de Y. Calculer E(Y²) de deux façons. Justifier l'existence de E(Y) sans la calculer.

Technique loi d'une image, puis transfert et domination.

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Pour y < 0, F_Y(y) = 0. Pour y ≥ 0, F_Y(y) = P(X ≤ y²) = 1 − e^−y².
F_Y est continue en 0, où elle vaut 0, et C¹ sur ]0, +∞[. Une densité est f_Y(y) = 2y e^−y² pour y > 0, et 0 sinon.
Par transfert, E(Y²) = E(X) = ∫ de 0 à +∞ de t e^−t dt = 1, par intégration par parties.
Directement, ∫ de 0 à +∞ de y² × 2y e^−y² dy. Avec u = y², on obtient ∫ de 0 à +∞ de u e^−u du = 1. Les deux calculs concordent.
Pour t > 0, √t ≤ 1 + t, donc √t e^−t ≤ (1 + t) e^−t, qui est intégrable. E(Y) existe.

piège : Oublier de justifier la convergence absolue avant d'appliquer le transfert.

Exercice 6. Une image discrète, une image mixte

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit EDHEC

X a pour densité e^−x sur ]0, +∞[. Soit N la partie entière de X, et Z = min(X, 1). Déterminer la loi de N + 1. Z est-elle à densité ?

Technique intégrer sur des intervalles, repérer un saut de F.

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N prend ses valeurs dans N. Pour k entier naturel, P(N = k) = P(k ≤ X < k + 1) = e^−k − e^−(k+1) = (e⁻¹)^k (1 − e⁻¹).
Pour k ≥ 1, P(N + 1 = k) = (1 − p)^k−1 p avec p = 1 − e⁻¹. N + 1 suit la loi géométrique de paramètre 1 − e⁻¹.
[Z = 1] = [X ≥ 1], de probabilité e⁻¹ > 0. Donc F_Z n'est pas continue en 1, et Z n'est pas à densité.
Z n'est pas discrète non plus. On a P(0 < Z < 1) = P(0 < X < 1) = 1 − e⁻¹ > 0. Si Z était discrète, Z(Ω) serait au plus dénombrable, et cette probabilité serait la somme des P(Z = z) pour z dans Z(Ω) ∩ ]0, 1[. Or chacun de ces termes vaut P(X = z) = 0. La somme serait nulle, ce qui est contradictoire.

piège : Affirmer qu'une fonction d'une variable à densité est toujours à densité.

Exercice 7. Une inégalité de type Markov

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit emlyon

X est à densité, positive, et admet une espérance. Montrer que pour tout a > 0, P(X ≥ a) ≤ E(X)/a.

Technique minorer l'intégrande sur une partie du domaine.

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X étant positive, on peut choisir une densité f nulle sur ]−∞, 0[. Alors E(X) = ∫ de 0 à +∞ de t f(t) dt.
L'intégrande est positif, donc E(X) ≥ ∫ de a à +∞ de t f(t) dt.
Sur [a, +∞[, t f(t) ≥ a f(t). Donc E(X) ≥ a ∫ de a à +∞ de f(t) dt = a P(X ≥ a).
On divise par a > 0.

piège : Écrire P(X ≥ a) = ∫ de a à +∞ de t f(t) dt, en confondant probabilité et moment.

Exercice 8. Démonstration du transfert dans un cas particulier

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit ESSEC

X a une densité f nulle hors de ]a, b[, avec −∞ ≤ a < b ≤ +∞. g est de classe C¹ sur ]a, b[ avec g′ > 0. On note α et β les limites de g en a et en b. Déterminer une densité de Y = g(X), puis montrer que Y admet une espérance si et seulement si ∫ de a à b de g(t) f(t) dt converge absolument, avec alors égalité.

Technique répartition, dérivée de la réciproque, changement de variable.

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g réalise une bijection strictement croissante de ]a, b[ sur ]α, β[, de réciproque C¹ de dérivée 1/g′(g⁻¹(y)).
Comme P(a < X < b) = 1, on a F_Y(y) = 0 pour y ≤ α et F_Y(y) = 1 pour y ≥ β. Pour y dans ]α, β[, F_Y(y) = F_X(g⁻¹(y)).
Quand y tend vers α par la droite, g⁻¹(y) tend vers a et F_X(g⁻¹(y)) tend vers 0. De même, F_Y tend vers 1 en β. Donc F_Y est continue, et C¹ sauf en un nombre fini de points.
Une densité est f_Y(y) = f(g⁻¹(y))/g′(g⁻¹(y)) sur ]α, β[, et 0 ailleurs.
On pose y = g(t) dans ∫ de α à β de |y| f_Y(y) dy. Ce changement de variable est C¹ et strictement croissant, il conserve la nature et la valeur, et donne ∫ de a à b de |g(t)| f(t) dt. Le même calcul sans valeur absolue donne l'égalité des intégrales.

piège : Oublier de vérifier la continuité de F_Y en α et β quand ces bornes sont finies.

Exercice 9. Espérance et queue de distribution

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit HEC

X est à densité et positive, de fonction de répartition F. Montrer que X admet une espérance si et seulement si ∫ de 0 à +∞ de (1 − F(t)) dt converge, et qu'alors E(X) est égale à cette intégrale.

Technique intégration par parties, contrôle d'un reste.

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Soit A > 0. On intègre par parties sur [0, A] avec u(t) = 1 − F(t) et v(t) = t. On découpe aux points où F n'est pas C¹, et la continuité de F fait disparaître les termes de raccord. On obtient ∫ de 0 à A de (1 − F(t)) dt = A(1 − F(A)) + ∫ de 0 à A de t f(t) dt.
Si E(X) existe, alors 0 ≤ A(1 − F(A)) = A ∫ de A à +∞ de f ≤ ∫ de A à +∞ de t f(t) dt. Ce reste d'une intégrale convergente tend vers 0. On passe à la limite.
Réciproquement, si ∫ (1 − F) converge, l'égalité du point 1 donne ∫ de 0 à A de t f(t) dt ≤ ∫ de 0 à +∞ de (1 − F). La fonction A ↦ ∫ de 0 à A de t f(t) dt est croissante et majorée, donc elle converge, et E(X) existe. On conclut par le point 2.

piège : Affirmer que A(1 − F(A)) tend vers 0 parce que F(A) tend vers 1, alors que A tend vers +∞.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité de la fonction de répartition aux points de raccord, alors que c'est elle qui prouve que la variable est à densité.
Oublier le facteur 1/(2√y) pour X², ou la dérivée de la réciproque pour φ(X), ou encore la valeur absolue de a pour aX + b.
Calculer une espérance sans justifier la convergence absolue, en particulier conclure E(X) = 0 par symétrie pour une loi de Cauchy.
Croire qu'une fonction d'une variable à densité est à densité. La partie entière est discrète. Le minimum avec une constante peut n'être ni l'un ni l'autre, comme min(X, 1) pour X de densité e^−x sur ]0, +∞[ (exercice 6). Tout dépend de la position de la constante par rapport aux valeurs de X.
Confondre densité et probabilité : f(x) peut dépasser 1, et P(X = a) est nulle même quand f(a) est grande.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel d'ECG deuxième année, mathématiques approfondies (2021), enseignement du troisième semestre, partie III « Compléments de probabilités, couples et n-uplets de variables aléatoires réelles », paragraphe 2 « Introduction aux variables aléatoires à densité ». Elle couvre la notion de densité, la caractérisation de la loi, les calculs de lois d'images, puis l'espérance et le théorème de transfert. Les lois usuelles et la variance font l'objet des deux chapitres suivants.