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ECG1 · Maths approfondies · semaine 11

Limite, continuité et étude globale des fonctions

Limite et continuité en un point, limites à droite et à gauche, opérations, encadrement, prolongement par continuité et limite d'une composée. Fonctions de référence dont les fonctions trigonométriques, parité, périodicité, monotonie et théorème de la limite monotone. Théorème des valeurs intermédiaires, image d'un intervalle et d'un segment, théorème de la bijection et fonction réciproque.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. La limite en un point se définit avec ε\varepsilon et α\alpha. Si le point appartient à l'intervalle, l'existence de la limite équivaut à la continuité et la limite vaut la valeur de la fonction.
  2. Les opérations, l'encadrement et la composition règlent les calculs de limites, avec les mêmes quatre formes indéterminées que pour les suites.
  3. Toute fonction monotone sur un intervalle ouvert admet des limites à droite et à gauche en tout point, ainsi qu'aux extrémités.
  4. Le théorème des valeurs intermédiaires donne l'existence d'une solution. L'image d'un intervalle est un intervalle, celle d'un segment est un segment.
  5. Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle est une bijection sur son image, de réciproque continue et de même sens de variation.
Pourquoi ce chapitre

Il transforme en énoncés précis des notions manipulées intuitivement au lycée. Trois théorèmes en sortent :

  • le théorème des valeurs intermédiaires, qui donne l'existence de solutions à une équation ;
  • le théorème de la limite monotone, qui garantit l'existence de limites ;
  • le théorème de la bijection, qui permet de définir des fonctions réciproques et de compter les solutions.

Le programme signale aussi la méthode de dichotomie, menée en lien avec l'informatique.

On n'affaiblit pas les hypothèses, on applique les théorèmes dans leur version confortable.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Continuité en un point 4

Exercice 1. Continuité par la définition ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Écrire la négation de « ff admet ll pour limite en x0x_0 ».

Montrer ensuite, avec ε\varepsilon et α\alpha, que x↦x2x \mapsto x^2 est continue en tout réel x0x_0.

Voir l'indice

Technique majorer ∣f(x)−f(x0)∣|f(x) - f(x_0)| par un multiple de ∣x−x0∣|x - x_0|.

Voir le corrigé offert
  1. Négation : ∃ε>0\exists \varepsilon > 0, ∀α>0\forall \alpha > 0, ∃x∈I\exists x \in I avec ∣x−x0∣≤α|x - x_0| \leq \alpha et ∣f(x)−l∣>ε|f(x) - l| > \varepsilon.

∣x2−x02∣=∣x−x0∣×∣x+x0∣.|x^2 - x_0^2| = |x - x_0| \times |x + x_0|. 3. Si ∣x−x0∣≤1|x - x_0| \leq 1, alors ∣x+x0∣≤∣x−x0∣+2∣x0∣≤1+2∣x0∣|x + x_0| \leq |x - x_0| + 2|x_0| \leq 1 + 2|x_0|. 4. Soit ε>0\varepsilon > 0. On pose α=min⁡(1,ε/(1+2∣x0∣))\alpha = \min(1, \varepsilon/(1 + 2|x_0|)). Pour ∣x−x0∣≤α|x - x_0| \leq \alpha, ∣x2−x02∣≤α(1+2∣x0∣)≤ε|x^2 - x_0^2| \leq \alpha(1 + 2|x_0|) \leq \varepsilon.

piège : Oublier la condition α≤1\alpha \leq 1, sans laquelle ∣x+x0∣|x + x_0| n'est pas contrôlé.

Exercice 2. Prolongement avec partie entière ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Soit g(x)=x⌊1/x⌋g(x) = x\lfloor 1/x \rfloor pour x>0x > 0. Montrer que gg se prolonge par continuité en 00.

Voir le début du corrigé
  1. Pour x>0x > 0, 1/x−1<⌊1/x⌋≤1/x1/x - 1 < \lfloor 1/x \rfloor \leq 1/x.

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 3. Raccordement aux entiers ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Étudier la continuité sur R\mathbb{R} de h(x)=⌊x⌋+(x−⌊x⌋)2h(x) = \lfloor x \rfloor + (x - \lfloor x \rfloor)^2.

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  1. Sur ]n,n+1[]n, n + 1[, h(x)=n+(x−n)2h(x) = n + (x - n)^2, continue.

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Exercice 10. Continuité forcée par deux monotonies ★★★

Approfondissement · 30 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC

Soit ff croissante sur ]0,+∞[]0, +\infty[ telle que x↦f(x)xx \mapsto \frac{f(x)}{x} soit décroissante.

Montrer que ff est continue.

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  1. Soit x0>0x_0 > 0 et x>x0x > x_0. La croissance de ff donne f(x)≥f(x0)f(x) \geq f(x_0). …

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Limite à l'infini 1

Exercice 4. Fonction périodique en +∞ ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Soit ff périodique de période T>0T > 0 et non constante.

Montrer que ff n'a pas de limite en +∞+\infty.

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  1. Il existe aa et bb avec f(a)≠f(b)f(a) \neq f(b).

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Théorème des valeurs intermédiaires 3

Exercice 5. Point fixe ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

Soit ff continue de [0,1][0, 1] dans [0,1][0, 1].

Montrer qu'il existe c∈[0,1]c \in [0, 1] tel que f(c)=cf(c) = c.

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  1. g(x)=f(x)−xg(x) = f(x) - x est continue sur [0,1][0, 1].

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Exercice 8. Dichotomie ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Montrer que x3+x−1=0x^3 + x - 1 = 0 a une unique solution α\alpha dans [0,1][0, 1].

Effectuer trois étapes de dichotomie, puis dire combien d'étapes garantissent une erreur au plus égale à 10−310^{-3}.

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  1. p(x)=x3+x−1p(x) = x^3 + x - 1 est continue et strictement croissante, avec p(0)=−1<0<1=p(1)p(0) = -1 < 0 < 1 = p(1). …

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Exercice 9. Suite implicite ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit EDHEC

Pour n≥1n \geq 1, montrer que xn+x−1=0x^n + x - 1 = 0 a une unique solution xnx_n dans [0,1][0, 1].

Montrer que (xn)(x_n) est croissante, puis qu'elle tend vers 11.

Voir le début du corrigé
  1. fn(x)=xn+x−1f_n(x) = x^n + x - 1 est continue et strictement croissante sur [0,1][0, 1], avec fn(0)=−1f_n(0) = -1 et fn(1)=1f_n(1) = 1. …

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Extremum d'une fonction continue 1

Exercice 6. Minimum d'une fonction coercive ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau écrit Ecricome

Soit ff continue sur R\R, tendant vers +∞+\infty en +∞+\infty et en −∞-\infty.

Montrer que ff admet un minimum sur R\R.

Voir le début du corrigé
  1. Par définition des limites infinies, il existe B>0B > 0 tel que f(x)≥f(0)f(x) \geq f(0) dès que ∣x∣≥B|x| \geq B.

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Bijection et réciproque 1

Exercice 7. Réciproque d'une fonction ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit EDHEC

Soit f(x)=x+exf(x) = x + e^x sur R\mathbb{R}. Montrer que ff est une bijection de R\mathbb{R} sur R\mathbb{R}, de réciproque gg. Calculer g(1)g(1), montrer que g(y)<ln⁡yg(y) < \ln y pour y>1y > 1, puis que g(y)/yg(y)/y tend vers 00 en +∞+\infty.

Voir le début du corrigé
  1. ff est continue et strictement croissante comme somme de deux fonctions strictement croissantes, de limites −∞-\infty et +∞+\infty, donc f(R)=Rf(R) = R.

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Équation fonctionnelle 1

Exercice 11. Équation de Cauchy continue ★★★

Approfondissement · 40 min · D'après un oral X-ENS

Soit f continue sur R telle que f(x + y) = f(x) + f(y) pour tous réels x et y. Montrer qu'il existe un réel a tel que f(x) = ax pour tout x.

Voir le début du corrigé
  1. Avec x=y=0x = y = 0, f(0)=0f(0) = 0. Avec y=−xy = -x, f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x).

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel d'ECG mathématiques approfondies (2021), enseignement du premier semestre, partie V « Fonctions réelles d'une variable réelle », paragraphes « Limite et continuité d'une fonction d'une variable en un point » et « Étude globale des fonctions d'une variable sur un intervalle ».