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ECG1 · Maths approfondies · semaine 13

Dérivation

Dérivée en un point, dérivées à gauche et à droite, linéarité, dérivée d'un produit et d'une composée, fonctions de classe C1. Dérivation des fonctions réciproques et dérivées des fonctions de référence. Théorème de Rolle, égalité et inégalités des accroissements finis, caractérisation des fonctions monotones et théorème du prolongement de la dérivée.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Le nombre dérivé est la limite du taux d'accroissement. La dérivabilité entraîne la continuité, l'inverse est faux.
  2. Produit, quotient et composée ont des règles à appliquer. La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées.
  3. La dérivée de la réciproque en yy est l'inverse de la dérivée de ff en la réciproque de yy, à condition que cette dérivée ne s'annule pas.
  4. Rolle donne un point où la dérivée s'annule, les accroissements finis donnent un point où la tangente est parallèle à la corde, et l'inégalité correspondante contrôle la variation de ff.
  5. Sur un intervalle, le signe de la dérivée donne les variations. Une dérivée positive ou nulle s'annulant en un nombre fini de points donne la stricte croissance.
Pourquoi ce chapitre

La dérivation est l'outil de comparaison locale et de contrôle global.

  • Localement, la dérivée donne la pente de la tangente et l'approximation affine.
  • Globalement, le signe de la dérivée donne les variations, donc les extremums, donc le nombre de solutions d'une équation.
  • Le chapitre contient aussi les deux théorèmes qui relient le local et le global : Rolle et les accroissements finis.
  • L'inégalité des accroissements finis sert directement à l'étude des suites définies par un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n).
  • La dérivation des fonctions réciproques permet de traiter les fonctions définies par le théorème de la bijection.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Dérivabilité et régularité 2

Exercice 1. Dérivabilité en une borne ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

On pose f(x)=xln⁡xf(x) = x \ln x et g(x)=x2ln⁡xg(x) = x^2 \ln x pour x>0x > 0, avec f(0)=g(0)=0.f(0) = g(0) = 0. Étudier la continuité et la dérivabilité de ff et de gg en 00.

Voir l'indice

Technique taux d'accroissement et croissances comparées.

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  1. xln⁡xx\ln x et x2ln⁡xx^2\ln x tendent vers 00 en 0+0^+, donc ff et gg sont continues en 00.
  2. Le taux de ff en 00 vaut ln⁡x\ln x, qui tend vers −∞-\infty. ff n'est pas dérivable en 00, et sa courbe y a une demi-tangente verticale.
  3. Le taux de gg vaut xln⁡xx\ln x, qui tend vers 00. gg est dérivable en 00 et g′(0)=0g'(0)=0.

piège : Conclure à la dérivabilité parce que ff est continue.

Exercice 2. Raccordement lisse ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

On pose f(x)=e−1/xf(x) = e^{-1/x} pour x>0x > 0 et f(x)=0f(x) = 0 pour x≤0x \leq 0.

Montrer que ff est C1C^1 sur R\R.

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  1. Sur ]−∞,0[]-\infty,0[ et sur ]0,+∞[]0,+\infty[, ff est C1C^1 par opérations.

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Réciproque d'une bijection 2

Exercice 3. Une réciproque sans formule ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Soit f(x)=x+ex.f(x) = x + e^x. Montrer que ff est une bijection de R\R sur R\R, que f−1f^{-1} est C1C^1, puis calculer (f−1)′(1)(f^{-1})'(1) et donner la tangente à la courbe de f−1f^{-1} au point d'abscisse 11.

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  1. f′=1+ex>0f'=1+e^x>0, donc ff est continue et strictement croissante. …

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Exercice 10. Réciproque de x ex ★★

Classiques de khôlle et concours · 40 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC

Soit f(x)=xexf(x) = x e^x sur I=[−1,+∞[I = [-1, +\infty[.

(a) Montrer que ff est une bijection de II sur [−1e,+∞[[-\frac{1}{e}, +\infty[.

On note WW sa réciproque.

(b) Montrer que WW est C1C^1 sur ]−1e,+∞[]-\frac{1}{e}, +\infty[, exprimer W′W' à l'aide de WW, et calculer W′(0)W'(0).

(c) Montrer que WW n'est pas dérivable en −1e-\frac{1}{e}.

(d) Montrer que W(y)≤ln⁡yW(y) \leq \ln y pour y≥ey \geq e.

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  1. f′(x)=(1+x)exf'(x)=(1+x)e^x est positive sur II et ne s'annule qu'en −1-1, donc ff est strictement croissante. …

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Inégalités et encadrements 2

Exercice 4. Inégalité logarithmique ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Montrer que ln⁡(1+x)≤x\ln(1 + x) \leq x pour tout x>−1x > -1, avec égalité seulement en 00.

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  1. On pose g(x)=x−ln⁡(1+x)g(x) = x - \ln(1 + x) sur ]−1,+∞[]-1, +\infty[. …

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Exercice 8. Encadrement du logarithme et série harmonique ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit Ecricome

Montrer que pour 0<a<b0 < a < b, b−ab<ln⁡b−ln⁡a<b−aa.\frac{b - a}{b} < \ln b - \ln a < \frac{b - a}{a}. En déduire que Hn=∑k=1n1kH_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} vérifie ln⁡(n+1)≤Hn≤1+ln⁡n,\ln(n + 1) \leq H_n \leq 1 + \ln n, puis que Hnln⁡n\frac{H_n}{\ln n} tend vers 11.

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  1. ln⁡\ln est continue sur [a,b][a, b] et dérivable sur ]a,b[]a, b[. …

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Racines de fonctions 2

Exercice 5. Racines de la dérivée d'un polynôme ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Soit PP un polynôme réel de degré n≥2n \geq 2 ayant nn racines réelles distinctes.

Montrer que P′P' a n−1n - 1 racines réelles distinctes, et seulement celles-là.

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  1. On range les racines x1<x2<⋯<xnx_1<x_2<\dots<x_n.

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Exercice 7. Suite implicite ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, type EDHEC

Pour n≥1n \geq 1, on pose fn(x)=xn+nx−1.f_n(x) = x^n + nx - 1. Montrer que l'équation fn(x)=0f_n(x) = 0 a une unique solution unu_n dans [0,+∞[[0, +\infty[, que 0<un<1n0 < u_n < \frac{1}{n}, puis que nunn u_n tend vers 11.

Voir le début du corrigé
  1. fn′(x)=nxn−1+n>0f_n'(x)=nx^{n-1}+n>0 sur [0,+∞[[0,+\infty[, donc fnf_n est strictement croissante. …

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Suites récurrentes 1

Exercice 6. Suite récurrente et vitesse ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit Ecricome

On pose f(x)=11+x,f(x) = \frac{1}{1 + x}, u0=1u_0 = 1 et un+1=f(un).u_{n+1} = f(u_n). Montrer que la suite converge vers l=5−12l = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}.

Trouver un rang à partir duquel ∣un−l∣≤10−3|u_n - l| \leq 10^{-3}.

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  1. ff est décroissante sur I=[1/2,1]I=[1/2,1], avec f(1/2)=2/3f(1/2)=2/3 et f(1)=1/2f(1)=1/2. …

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Fonction constante 1

Exercice 9. Une identité avec l'arctangente ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Montrer que arctan⁡x+arctan⁡(1x)=π2\arctan x + \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2} pour x>0x > 0.

Que vaut cette somme pour x<0x < 0 ?

Voir le début du corrigé
  1. On pose g(x) = arctan x + arctan(1/x) sur R*. …

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel d'ECG mathématiques approfondies (2021), enseignement du premier semestre, partie V « Fonctions réelles d'une variable réelle », paragraphe 3 « Dérivation ».