Le cours

Résumé en cinq points

Une variable aléatoire réelle est une application de $\Omega$ dans $\R$ telle que $[X \leqslant x]$ soit un événement pour tout réel $x$ .
La fonction de répartition $F_X(x) = \P(X \leqslant x)$ est croissante, à valeurs dans $\intff{0}{1}$ , de limites $0$ en $-\infty$ et $1$ en $+\infty$ , et continue à droite.
La loi est caractérisée par la fonction de répartition : c'est l'outil d'identification principal de la deuxième année.
Combinaisons linéaires, produits, maximum et minimum de variables aléatoires sont des variables aléatoires. Pour un maximum on passe par $[M \leqslant x]$ , pour un minimum par $[m > x]$ .
La formule de l'espérance totale donne $E(X)$ comme somme des $E(X/A_n)\,\P(A_n)$ sur un système complet, sous réserve d'existence de chaque espérance conditionnelle et de convergence de la série des $E(|X|/A_n)\,\P(A_n)$ .

Pourquoi ce chapitre

En première année, une variable aléatoire était essentiellement discrète, décrite par ses probabilités ponctuelles. Cela ne suffit plus. Un temps d'attente, une durée de vie, une erreur de mesure prennent leurs valeurs dans un intervalle, et la probabilité de chaque valeur isolée y est nulle.

Il faut un outil qui décrive la loi sans passer par les valeurs ponctuelles : la fonction de répartition. Ce chapitre l'installe dans le cadre général, avant d'aborder les variables à densité.
Il apporte aussi la formule de l'espérance totale, qui calcule une espérance en découpant selon un système complet d'événements, comme la formule des probabilités totales découpe une probabilité.

1Cadre et rappels

1.1Espace probabilisé

On travaille sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, \P)$ .

Définition 1.1Espace probabilisé

$\Omega$ est l'univers, l'ensemble des issues possibles de l'expérience.
$\mathcal{A}$ est une tribu sur $\Omega$ : un ensemble de parties de $\Omega$ contenant $\Omega$ , stable par passage au complémentaire et stable par union dénombrable. Ses éléments sont les événements.
$\P$ est une probabilité sur $(\Omega, \mathcal{A})$ : une application de $\mathcal{A}$ dans $\intff{0}{1}$ telle que $\P(\Omega) = 1$ et qui est sigma-additive.

1.2Outils de première année à garder en tête

Définition 1.2Système complet d'événements

Une famille $(A_n)$ d'événements est un système complet d'événements lorsque les $A_n$ sont deux à deux incompatibles et que leur réunion est $\Omega$ .

Théorème 1.3Formule des probabilités totales

Hypothèses

$(A_n)$ est un système complet d'événements ;
$\P(A_n) \neq 0$ pour tout $n$ .

Alors pour tout événement $B$ , $\P(B)$ est la somme de la série des $\P(A_n)\,\P_{A_n}(B)$ .

Définition 1.4Probabilité conditionnelle

Si $\P(A) \neq 0$ , on pose $\P_A(B) = \frac{\P(A \cap B)}{\P(A)}.$ L'application $\P_A$ est une probabilité sur $(\Omega, \mathcal{A})$ .

C'est ce point qui rend légitime la notion d'espérance conditionnelle.

2Variable aléatoire réelle

2.1Définition

Définition 2.1Variable aléatoire réelle

Une variable aléatoire réelle sur $(\Omega, \mathcal{A}, \P)$ est une application $X$ de $\Omega$ dans $\R$ telle que, pour tout réel $x$ , l'ensemble $[X \leqslant x]$ soit un événement, c'est-à-dire un élément de la tribu $\mathcal{A}$ .

On note $[X \leqslant x]$ l'ensemble des $\omega \in \Omega$ tels que $X(\omega) \leqslant x$ .

Le programme précise que vérifier qu'une application donnée est une variable aléatoire n'est pas un objectif. En pratique, tous les objets rencontrés en sont, et on ne le justifie jamais.

2.2Événements associés

À partir des $[X \leqslant x]$ , les opérations de tribu fournissent tous les événements usuels.

$[X > x]$ est le complémentaire de $[X \leqslant x]$ .
Pour $a < b$ , $[a < X \leqslant b]$ s'obtient comme différence de $[X \leqslant b]$ et $[X \leqslant a]$ .
Les événements $[X < x]$ , $[X \geqslant x]$ et $[X = x]$ s'obtiennent par des passages à la limite sur des suites monotones d'événements.

3Fonction de répartition

3.1Définition

Définition 3.1Fonction de répartition

La fonction de répartition de $X$ est l'application $F_X$ définie sur $\R$ par $F_X(x) = \P(X \leqslant x).$

3.2Propriétés générales

Propriété 3.2Propriétés de la fonction de répartition

Pour toute variable aléatoire réelle $X$ , la fonction $F_X$ vérifie les propriétés suivantes, admises :

$F_X$ est à valeurs dans $\intff{0}{1}$ ;
$F_X$ est croissante au sens large sur $\R$ ;
$F_X$ tend vers $0$ en $-\infty$ et vers $1$ en $+\infty$ ;
$F_X$ est continue à droite en tout point.

Démonstration

Croissance : si $x \leqslant y$ , alors $[X \leqslant x]$ est inclus dans $[X \leqslant y]$ , et la croissance de $\P$ conclut.

Propriété 3.3Probabilité d'un intervalle

Pour tous réels $a < b$ : $\P(a < X \leqslant b) = F_X(b) - F_X(a).$

Démonstration

Cela vient de l'additivité, puisque $[X \leqslant b]$ est la réunion disjointe de $[X \leqslant a]$ et de $[a < X \leqslant b]$ .

Propriété 3.4Probabilité ponctuelle et saut

$\P(X = a)$ est égale à $F_X(a)$ moins la limite à gauche de $F_X$ en $a$ . En particulier, $F_X$ est continue en $a$ si et seulement si $\P(X = a) = 0$ .

3.3Cas discret

Si $X$ est discrète, $F_X$ est une fonction en escalier, constante entre deux valeurs prises par $X$ , avec un saut de hauteur $\P(X = x)$ en chaque valeur $x$ de $X(\Omega)$ .

Exemple 3.5Loi de Bernoulli

Si $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ , alors : $F_X(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0,\\ 1 - p & \text{si } 0 \leqslant x < 1,\\ 1 & \text{si } x \geqslant 1. \end{cases}$

3.4Pourquoi cet outil

La fonction de répartition a deux qualités.

Elle est définie pour toute variable aléatoire, discrète ou non.
Elle est numérique, donc manipulable par les outils d'analyse de première année : croissance, limites, continuité, dérivation.

C'est elle qui permettra de définir proprement les variables à densité au chapitre suivant.

4Loi d'une variable aléatoire

4.1Définition

Définition 4.1Loi

La loi de $X$ est la donnée des probabilités $\P(X \in I)$ pour tout intervalle $I$ de $\R$ .

4.2Caractérisation

Théorème 4.2Caractérisation de la loi

La loi d'une variable aléatoire réelle est caractérisée par sa fonction de répartition. Autrement dit, deux variables aléatoires ayant la même fonction de répartition ont la même loi.

C'est le résultat central du chapitre. Pour identifier la loi d'une variable aléatoire, on calcule sa fonction de répartition et on la reconnaît.

4.3Même loi n'est pas égalité

Deux variables aléatoires peuvent avoir la même loi sans être égales.

Exemple 4.3Pile ou face

On lance une pièce équilibrée. $X$ vaut $1$ si on obtient pile et $0$ sinon, et $Y = 1 - X$ . Les deux suivent la loi de Bernoulli de paramètre $1/2$ , donc elles ont la même loi. Pourtant elles ne prennent jamais la même valeur.

5Opérations sur les variables aléatoires

Les résultats suivants sont admis par le programme.

Propriété 5.1Combinaisons de variables aléatoires

Hypothèses

$X$ et $Y$ sont des variables aléatoires réelles sur $(\Omega, \mathcal{A}, \P)$ ;
$a$ et $b$ sont des réels.

Alors $aX + bY$ et $XY$ sont des variables aléatoires. Plus généralement, toute combinaison linéaire d'un nombre fini de variables aléatoires en est une.

Le maximum et le minimum de variables aléatoires sont des variables aléatoires. On note $\max(X, Y)$ la variable aléatoire qui à $\omega$ associe le plus grand des deux nombres $X(\omega)$ et $Y(\omega)$ , et de même pour le minimum.

Propriété 5.2Fonctions de répartition du maximum et du minimum

Hypothèses

$X_1, \dots, X_n$ sont des variables aléatoires indépendantes (notion reprise en détail au chapitre sur les $n$ -uplets) ;
$M = \max(X_1, \dots, X_n)$ et $m = \min(X_1, \dots, X_n)$ .

Alors, pour tout réel $x$ : $\begin{aligned} F_M(x) &= F_{X_1}(x) \times \dots \times F_{X_n}(x),\\ 1 - F_m(x) &= \prod_{i=1}^{n} \big(1 - F_{X_i}(x)\big). \end{aligned}$

Démonstration

$[M \leqslant x]$ est l'intersection des $[X_i \leqslant x]$ , d'où la première formule. De même $[m > x]$ est l'intersection des $[X_i > x]$ , d'où la seconde.

Ces deux formules tombent très souvent, en particulier avec des lois exponentielles ou uniformes.

À retenir

Pour un maximum on passe par $[M \leqslant x]$ , pour un minimum par l'événement contraire $[m > x]$ .

6Espérance conditionnelle d'une variable discrète

6.1Définition

Définition 6.1Espérance conditionnelle

Hypothèses

$A$ est un événement de probabilité non nulle ;
$X$ est une variable aléatoire discrète.

L'espérance conditionnelle de $X$ sachant $A$ , notée $E(X/A)$ , est l'espérance de $X$ calculée pour la probabilité conditionnelle $\P_A$ , lorsque celle-ci existe.

Concrètement : $\begin{aligned} E(X/A) &= \sum_{x \in X(\Omega)} x\,\P_A(X = x)\\ &= \sum_{x \in X(\Omega)} x\,\frac{\P([X = x] \cap A)}{\P(A)}, \end{aligned}$ sous réserve de convergence absolue de cette série. Quand $X(\Omega)$ est fini, la question de convergence ne se pose pas.

Toutes les propriétés de l'espérance restent valables, puisque $\P_A$ est une probabilité. En particulier, sous réserve d'existence : $E(aX + bY/A) = aE(X/A) + bE(Y/A).$

Quand $A$ est du type $[Y = y]$ , on écrit $E(X/[Y = y])$ . C'est la situation la plus courante dans les exercices.

6.2Exemple

Exemple 6.2Dé puis pièce

On lance un dé équilibré et on note $N$ le résultat. On lance ensuite $N$ fois une pièce équilibrée, et on note $X$ le nombre de piles obtenus. Sachant $[N = k]$ , la variable $X$ suit la loi binomiale de paramètres $k$ et $1/2$ . Donc $E(X/[N = k]) = \frac{k}{2}.$

7Formule de l'espérance totale

7.1Énoncé

Théorème 7.1Formule de l'espérance totale

Hypothèses

$X$ est une variable aléatoire discrète ;
$(A_n)$ est un système complet d'événements ;
$\P(A_n) \neq 0$ pour tout entier $n$ .

Alors $X$ admet une espérance si et seulement si :

pour tout $n$ , l'espérance conditionnelle $E(X/A_n)$ existe ;
la série de terme général $E(|X|/A_n)\,\P(A_n)$ converge.

Dans ce cas, $E(X) = \sum_n E(X/A_n)\,\P(A_n).$

Attention

C'est une équivalence, et non une simple implication. Les deux conditions techniques garantissent que le regroupement des termes est licite.

Quand le système complet est fini, elles sont automatiquement vérifiées dès que chaque $E(X/A_i)$ existe, et la formule devient $E(X) = \sum_{i=1}^{k} E(X/A_i)\,\P(A_i).$

7.2Comment la lire

C'est l'analogue de la formule des probabilités totales, avec des espérances à la place des probabilités. On découpe l'univers selon un système complet, on calcule l'espérance dans chaque cas, puis on fait la moyenne pondérée par les probabilités des cas.

7.3Exemple complet

Exemple 7.2Dé puis pièce, suite

Reprenons l'exemple précédent. Le système complet est formé des $A_k = [N = k]$ pour $k$ de $1$ à $6$ , chacun de probabilité $1/6$ . Il est fini, et chaque espérance conditionnelle existe et vaut $k/2$ . La formule donne $\begin{aligned} E(X) &= \sum_{k=1}^{6} \frac{k}{2} \times \frac{1}{6}\\ &= \frac{1}{12}(1 + 2 + \dots + 6)\\ &= \frac{21}{12} = \frac{7}{4}. \end{aligned}$ Vérification : par symétrie, chaque lancer donne pile avec probabilité $1/2$ , donc on attend $E(X) = E(N)/2 = 3{,}5/2 = 1{,}75$ . C'est bien $7/4$ .

7.4Un usage typique avec un système complet infini

Le schéma classique : une variable $N$ suit une loi discrète à valeurs dans $\N$ , et conditionnellement à $[N = n]$ , la variable $X$ suit une loi connue dépendant de $n$ .

MéthodeEspérance avec un système complet infini

Prendre pour système complet les événements $[N = n]$ de probabilité non nulle.
Calculer $E(X/[N = n])$ .
Justifier la convergence de la série avant de conclure, en général en remarquant que $X$ est positive, auquel cas $E(|X|/A_n) = E(X/A_n)$ .
Sommer.

Autre usage très fréquent en ECG : le conditionnement par le premier pas. Pour une expérience répétée, on conditionne par le résultat de la première étape, ce qui fournit une relation de récurrence ou une équation vérifiée par l'espérance cherchée.

Méthodes

MéthodeIdentifier une loi

Calculer $F_X(x) = \P(X \leqslant x)$ pour tout réel $x$ , en discutant selon la position de $x$ .
Comparer à une fonction de répartition connue.
Si les deux coïncident, les lois sont les mêmes.

MéthodeTraiter un maximum ou un minimum

Pour un maximum, écrire $[\max \leqslant x]$ comme intersection des $[X_i \leqslant x]$ .
Pour un minimum, passer par l'événement contraire : $[\min > x]$ est l'intersection des $[X_i > x]$ .

MéthodeCalculer une espérance par conditionnement

Choisir un système complet adapté, souvent donné par la première étape de l'expérience ou par la valeur d'une variable auxiliaire.
Vérifier que chaque probabilité est non nulle.
Calculer chaque espérance conditionnelle.
Justifier l'existence, puis appliquer la formule.

MéthodeReconnaître une espérance conditionnelle

Sachant $A$ , la variable $X$ suit souvent une loi usuelle. On utilise alors directement l'espérance de cette loi, sans recalculer la série.

MéthodeContrôler un résultat

Comparer l'ordre de grandeur obtenu à une estimation intuitive, ou recalculer l'espérance par une seconde méthode, par exemple la linéarité.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Donner la définition d'une variable aléatoire réelle sur $(\Omega, \mathcal{A}, \P)$ et expliquer le rôle de la tribu.
Énoncer les propriétés de la fonction de répartition, et démontrer la croissance ainsi que la formule $\P(a < X \leqslant b) = F(b) - F(a)$ .
Tracer la fonction de répartition d'une variable discrète simple et lire les sauts.
Expliquer pourquoi la fonction de répartition caractérise la loi, et donner deux variables de même loi qui ne sont pas égales.
Établir les fonctions de répartition du maximum et du minimum de $n$ variables indépendantes.
Définir $E(X/A)$ et justifier que les propriétés de l'espérance s'y appliquent.
Énoncer la formule de l'espérance totale avec toutes ses hypothèses, y compris la condition de convergence.
Mener un calcul complet d'espérance par conditionnement, avec système complet fini puis infini.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Une variable aléatoire réelle est une application X de Ω dans R telle que [X ≤ x] soit un événement pour tout réel x. Définition exigible. Vérifier qu'une application donnée en est une n'est pas un objectif du programme.
F_X est à valeurs dans [0, 1] et croissante. Exigible avec démonstration, une inclusion d'événements suffit.
Pour a < b, P(a < X ≤ b) = F_X(b) − F_X(a). Exigible avec démonstration.
F_X tend vers 0 en −∞ et vers 1 en +∞, et elle est continue à droite en tout point. À connaître. La preuve par le théorème de la limite monotone de première année est un bon sujet de khôlle.
Pour tout réel a, P(X < a) est la limite à gauche de F_X en a, et P(X = a) = F_X(a) − P(X < a). F_X est donc continue en a si et seulement si P(X = a) = 0. Même statut.
Si X est à valeurs entières, P(X = k) = F_X(k) − F_X(k − 1) pour tout entier k. C'est la forme utile en pratique.
La loi de X est caractérisée par F_X. Admis.
Combinaisons linéaires, produits, maximum et minimum de variables aléatoires sont des variables aléatoires. Admis.
Si X₁, …, X_n sont indépendantes, alors F_max est le produit des F_{X_i}, et 1 − F_min est le produit des 1 − F_{X_i}. Exigible avec démonstration. L'indépendance de variables quelconques relève du paragraphe sur les n-uplets. Pour des variables discrètes, celle de première année suffit.
E(X/A), pour P(A) ≠ 0 et X discrète, est l'espérance de X pour P_A. Définition exigible. Linéarité, positivité, croissance et transfert, E(g(X)/A) = Σ g(x) P_A(X = x), restent vrais sous réserve de convergence absolue, car P_A est une probabilité.
Formule de l'espérance totale : c'est une équivalence, sous deux conditions, l'existence de chaque E(X/A_n) et la convergence de la série des E(|X|/A_n)P(A_n). Énoncé exigible avec ses hypothèses. La preuve repose sur le regroupement par paquets, admis au programme.
Hors programme, à signaler :
- la réciproque « toute fonction croissante, continue à droite, de limites 0 et 1 est une fonction de répartition ». Elle est vraie, mais on exhibe toujours la variable.
- l'espérance conditionnelle vue comme variable aléatoire E(X | Y).
- l'espérance conditionnelle d'une variable à densité.
- les familles sommables.

Clés de démonstration

Croissance et accroissements. Si x ≤ y, alors [X ≤ x] est inclus dans [X ≤ y], et P est croissante. Ensuite, [X ≤ b] est la réunion disjointe de [X ≤ a] et de [a < X ≤ b], et l'additivité conclut. Astuce, écrire l'égalité d'événements avant de passer aux probabilités.

Limites à l'infini. La suite des événements [X ≤ n] est croissante, et sa réunion est Ω, car tout réel X(ω) est majoré par un entier. Par limite monotone, F_X(n) tend vers 1. Comme F_X est croissante, elle admet une limite en +∞, qui vaut donc 1. En −∞, on raisonne de même avec [X ≤ −n], suite décroissante d'intersection vide. Astuce, la monotonie de F permet de se ramener à une suite.

Continuité à droite et sauts. Les événements [X ≤ a + 1/n] décroissent vers [X ≤ a], donc F_X(a + 1/n) tend vers F_X(a). Les événements [a − 1/n < X ≤ a] décroissent vers [X = a], donc F_X(a) − F_X(a − 1/n) tend vers P(X = a). Astuce, une inégalité large s'obtient par intersection, une inégalité stricte par réunion.

Maximum et minimum. Le maximum est inférieur ou égal à x si et seulement si chaque X_i l'est. L'indépendance transforme alors la probabilité de l'intersection en produit. Pour le minimum, on écrit que [min > x] est l'intersection des [X_i > x], événements eux aussi indépendants. Astuce, le maximum se contrôle par le haut, le minimum par le bas.

Espérance totale. Notons x_j les valeurs de X. Par les probabilités totales, x_j P(X = x_j) est la somme sur n des x_j P([X = x_j] ∩ A_n). On obtient un tableau à double entrée, lignes indexées par j et colonnes indexées par n. Sommer une colonne donne E(X/A_n)P(A_n), et sommer une ligne donne x_j P(X = x_j). Avec des valeurs absolues, les deux sommations d'une famille positive donnent la même somme. L'hypothèse 2 est donc exactement la convergence absolue qui autorise l'interversion. Astuce, penser tableau, valeurs d'un côté, cas de l'autre.

Exemples et contre-exemples à connaître

Variable constante égale à c. Sa fonction de répartition vaut 0 sur ]−∞, c[ et 1 sur [c, +∞[. C'est le saut le plus simple, et F(c) = 1 illustre la continuité à droite.
La fonction valant 0 sur ]−∞, 0] et 1 sur ]0, +∞[. Elle est croissante et a les bonnes limites, mais elle n'est pas continue à droite en 0. Ce n'est donc pas une fonction de répartition. C'est le contre-exemple qui teste la liste des propriétés.
Loi géométrique de paramètre p, avec q = 1 − p. Pour tout k ∈ N, P(X > k) = q^k. La queue est plus simple que la loi, et c'est elle qui sert pour les minimums.
Maximum de deux dés. P(M ≤ k) = k²/36, donc P(M = k) = (2k − 1)/36. On passe par F plutôt que de dénombrer à la main.
Deux variables X et Y indépendantes, de loi de Bernoulli de paramètre 1/2. Elles ont la même loi, mais X + Y et 2X n'ont pas la même loi. En effet, P(X + Y = 1) = 1/2 alors que P(2X = 1) = 0. La loi d'une somme dépend du couple, pas seulement des lois.
Dé équilibré. E(X/[X pair]) = 4 et E(X/[X impair]) = 3. La moyenne (4 + 3)/2 redonne 3,5. C'est la plus petite vérification de la formule de l'espérance totale.
La condition 2 est nécessaire. Soit X telle que P(X = 2ⁿ) = 2⁻ⁿ pour n ≥ 1, et A_n = [X = 2ⁿ]. Chaque E(X/A_n) = 2ⁿ existe, mais la série des 2ⁿ × 2⁻ⁿ diverge, et X n'a pas d'espérance.
La valeur absolue est indispensable. Soit X prenant les valeurs 2ⁿ et −2ⁿ avec probabilité 2⁻ⁿ⁻¹ chacune, pour n ≥ 1, et A_n = [|X| = 2ⁿ]. Alors E(X/A_n) = 0, et la série des E(X/A_n)P(A_n) converge vers 0. Pourtant E(|X|) est infinie, donc X n'a pas d'espérance.

Techniques du chapitre

Passer de la queue à la loi. Mini-exercice : X est à valeurs dans N et P(X > k) = 1/(k + 1) pour tout k ∈ N. D'abord, P(X = 0) = 1 − P(X > 0) = 0. Pour k ≥ 1, P(X = k) = P(X > k − 1) − P(X > k) = 1/k − 1/(k + 1) = 1/(k(k + 1)). Comme k P(X = k) = 1/(k + 1) n'est pas sommable, X n'a pas d'espérance.

Maximum et minimum par F. Mini-exercice : X₁, …, X_n sont indépendantes et uniformes sur {1, …, N}. Pour le maximum, P(M ≤ k) = (k/N)ⁿ. Pour le minimum, P(m > k) = ((N − k)/N)ⁿ, pour k entre 0 et N.

Transformation affine. Mini-exercice : X est uniforme sur {1, …, 6} et Y = 7 − X. Pour tout réel y, P(Y ≤ y) = P(X ≥ 7 − y) = 1 − P(X < 7 − y). L'inégalité devient stricte, on ne peut donc pas écrire 1 − F_X(7 − y). Les valeurs 7 − k parcourant {1, …, 6} avec probabilité 1/6, Y a la même loi que X.

Reconnaître la loi conditionnelle. Mini-exercice : N est uniforme sur {1, …, n}, et sachant [N = k], X est uniforme sur {1, …, k}. Alors E(X/[N = k]) = (k + 1)/2. Le système est fini, donc E(X) = (1/n) Σ (k + 1)/2 = (n + 3)/4.

Système complet infini et positivité. Mini-exercice : N suit la loi géométrique de paramètre p, et sachant [N = n], X suit la loi binomiale de paramètres n et 1/2. On a E(X/[N = n]) = n/2. Comme X ≥ 0, la série à vérifier est celle des (n/2)P(N = n), qui converge vers E(N)/2. Donc E(X) = 1/(2p).

Conditionnement par le premier pas, existence d'abord. Mini-exercice : T est le rang du premier pile, pile ayant la probabilité p. On sait déjà que T suit une loi géométrique, donc E(T) existe. Sachant pile au premier lancer, T = 1. Sachant face, T a la loi de 1 + T. D'où E(T) = p + q(1 + E(T)), soit E(T) = 1/p. Sans l'existence, l'équation ne prouve rien, car +∞ la « vérifie » aussi.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Reconnaître une fonction de répartition

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

On considère trois fonctions.

F₁ vaut 0 sur ]−∞, 1[, 1/3 sur [1, 2[ et 1 sur [2, +∞[.
F₂ vaut 0 sur ]−∞, 1], 1/3 sur ]1, 2] et 1 sur ]2, +∞[.
F₃ vaut 1/2 partout.

Lesquelles sont des fonctions de répartition ? Pour celle qui en est une, calculer P(1 < X ≤ 2) et P(1 ≤ X < 2).

Technique tester les propriétés, puis exhiber une variable.

Voir le corrigé

F₃ ne tend pas vers 0 en −∞, elle est exclue.
F₂(1) = 0, mais F₂ vaut 1/3 juste à droite de 1. Elle n'est pas continue à droite, elle est exclue.
Soit X à valeurs dans {1, 2} avec P(X = 1) = 1/3 et P(X = 2) = 2/3. Sa fonction de répartition est F₁. Par caractérisation, toute variable de fonction de répartition F₁ a cette loi.
P(1 < X ≤ 2) = F₁(2) − F₁(1) = 2/3, et P(1 ≤ X < 2) = P(X = 1) = 1/3.

piège : Conclure pour F₁ par « elle vérifie les quatre propriétés ». Cette réciproque n'est pas au programme, on exhibe une variable.

Exercice 2. Maximum et minimum de deux dés

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

On lance deux dés équilibrés indépendants, de résultats X et Y. On pose M = max(X, Y) et m = min(X, Y). Déterminer les lois de M et de m, puis leurs espérances.

Technique passer par F, puis contrôler par M + m = X + Y.

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P(M ≤ k) = (k/6)², donc P(M = k) = (k² − (k − 1)²)/36 = (2k − 1)/36.
E(M) = (2 Σ k² − Σ k)/36 = (182 − 21)/36 = 161/36.
P(m > k) = ((6 − k)/6)², donc P(m = k) = ((7 − k)² − (6 − k)²)/36 = (13 − 2k)/36.
E(m) = (13 × 21 − 2 × 91)/36 = 91/36.
Contrôle. E(M) + E(m) = 252/36 = 7 = E(X + Y).

piège : Écrire P(M = k) = (k/6)², en confondant la fonction de répartition et la loi.

Exercice 3. Minimum de deux géométriques

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

X et Y sont indépendantes, de lois géométriques de paramètres p₁ et p₂ dans ]0, 1[, avec q_i = 1 − p_i. Déterminer la loi de m = min(X, Y), puis E(max(X, Y)).

Technique queue du minimum.

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Pour k ∈ N, P(X > k) = q₁^k, car les k premières épreuves sont des échecs.
[m > k] = [X > k] ∩ [Y > k]. Par indépendance, P(m > k) = (q₁q₂)^k.
Pour k ≥ 1, P(m = k) = (q₁q₂)^k−1 − (q₁q₂)^k = (q₁q₂)^k−1(1 − q₁q₂). Donc m suit la loi géométrique de paramètre 1 − q₁q₂, qui est dans ]0, 1[.
Comme max + min = X + Y, on obtient E(max) = 1/p₁ + 1/p₂ − 1/(1 − q₁q₂).

piège : Écrire P(m ≤ k) = P(X ≤ k)P(Y ≤ k), formule qui est celle du maximum.

Exercice 4. Espérance par la queue

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit X à valeurs dans N. Montrer que X admet une espérance si et seulement si la série des P(X ≥ k), pour k ≥ 1, converge, et qu'alors E(X) est sa somme. Appliquer à la loi géométrique.

Technique transformation d'Abel, c'est-à-dire un télescopage.

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On écrit P(X = k) = P(X ≥ k) − P(X ≥ k + 1). Une réindexation donne Σ_k=0ⁿ k P(X = k) = Σ_k=1ⁿ P(X ≥ k) − n P(X ≥ n + 1).
Si E(X) existe, n P(X ≥ n + 1) ≤ Σ_{j ≥ n+1} j P(X = j), qui est un reste de série convergente et tend donc vers 0. On passe à la limite.
Réciproquement, les sommes partielles de la série positive des k P(X = k) sont majorées par la somme des P(X ≥ k). Elle converge, et le point 2 conclut.
Pour la loi géométrique, P(X ≥ k) = q^k−1, et la somme vaut 1/p.

piège : Passer à la limite dans l'égalité du point 1 sans traiter le terme n P(X ≥ n + 1).

Exercice 5. Ponte et éclosion

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit EDHEC ou Ecricome

Le nombre N d'œufs pondus suit la loi de Poisson de paramètre λ > 0. Chaque œuf éclot avec probabilité p ∈ ]0, 1[, indépendamment des autres. On note X le nombre d'éclosions, de sorte que sachant [N = n], X suit la loi binomiale de paramètres n et p. Calculer E(X), puis la loi de X.

Technique espérance totale sur un système infini.

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Les événements [N = n], pour n ∈ N, forment un système complet, et P(N = n) = e^−λλⁿ/n! est non nul.
On a E(X/[N = n]) = np. Comme X ≥ 0, la série à vérifier est celle des np P(N = n), qui converge vers pλ. Donc E(X) = λp.
Pour k ∈ N, P(X = k) = Σ_{n ≥ k} C(n, k) p^k q^n−k e^−λ λⁿ/n!.
En posant j = n − k, on obtient P(X = k) = e^−λ (λp)^k/k! × e^λq = e^−λp(λp)^k/k!. X suit la loi de Poisson de paramètre λp, ce qui confirme le point 2.

piège : Écrire E(X) = Σ np P(N = n) sans justifier la convergence.

Exercice 6. Loi conditionnelle sachant une somme

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit EDHEC ou emlyon

X et Y sont indépendantes, de même loi géométrique de paramètre p. Pour n ≥ 2, on note A = [X + Y = n]. Déterminer la loi de X sachant A, puis E(X/A).

Technique loi conditionnelle, puis symétrie.

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P(A) = Σ_k=1ⁿ⁻¹ pq^k−1 pq^n−k−1 = (n − 1)p²qⁿ⁻², qui est non nul.
Pour k ∈ {1, …, n − 1}, P_A(X = k) = p²qⁿ⁻²/P(A) = 1/(n − 1). La loi est uniforme.
Donc E(X/A) = n/2.
Contrôle. E(X/A) = E(Y/A) par symétrie, et leur somme vaut E(X + Y/A) = n.

piège : Faire aller k jusqu'à n, en oubliant que Y ≥ 1.

Exercice 7. Deux piles consécutifs

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit emlyon

On lance indéfiniment une pièce donnant pile avec probabilité p ∈ ]0, 1[. On note T le rang du lancer où apparaissent pour la première fois deux piles consécutifs. Montrer que T admet une espérance et la calculer.

Technique existence par majoration, puis premier pas.

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Découpons les lancers en blocs de deux. Si T > 2k, aucun des k premiers blocs n'est pile-pile. Par indépendance, P(T > 2k) ≤ (1 − p²)^k. Donc T est finie presque sûrement, et P(T > n) ≤ (1 − p²)^(n−1)/2.
La série des P(T ≥ k) converge, donc E(T) = m existe, d'après l'exercice 4.
Système complet : F₁, puis P₁F₂, puis P₁P₂, de probabilités q, pq et p². Les lancers étant indépendants, l'expérience repart de zéro après un face. On obtient E(T/F₁) = 1 + m, E(T/P₁F₂) = 2 + m et E(T/P₁P₂) = 2.
D'où m = q(1 + m) + pq(2 + m) + 2p², soit p²m = q + 2pq + 2p² = 1 + p. Donc m = (1 + p)/p², qui vaut 6 pour p = 1/2.

piège : Poser l'équation sans avoir établi l'existence de m.

Exercice 8. Somme d'un nombre aléatoire de termes

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit HEC ou ESSEC

Les X_i sont discrètes, de même loi, d'espérance μ. N est à valeurs dans N, admet une espérance, et P(N = n) > 0 pour tout n. N, X₁, X₂, … sont mutuellement indépendantes. On pose S = X₁ + … + X_N, avec S = 0 si N = 0. Montrer que E(S) = μE(N).

Technique conditionner par N, puis utiliser l'indépendance.

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Sur [N = n], S = X₁ + … + X_n.
X_i est indépendante de [N = n], donc P_[N=n](X_i = x) = P(X_i = x) et E(X_i/[N = n]) = μ.
Par linéarité de l'espérance conditionnelle, E(S/[N = n]) = nμ. De même, E(|S|/[N = n]) ≤ nE(|X₁|).
La série des nE(|X₁|)P(N = n) converge vers E(|X₁|)E(N). Par comparaison, la condition 2 est remplie, et E(S) = Σ nμP(N = n) = μE(N).

piège : Appliquer la linéarité à un nombre aléatoire de termes, ou oublier l'indépendance entre N et les X_i, sans laquelle le résultat est faux.

Exercice 9. Maximum d'un échantillon uniforme

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit HEC ou ESSEC

X₁, …, X_n sont indépendantes et uniformes sur {1, …, N}, et M est leur maximum. Exprimer E(M), puis montrer que E(M)/N tend vers n/(n + 1) quand N tend vers l'infini, n étant fixé.

Technique queue du maximum, puis somme de Riemann.

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P(M ≥ k) = 1 − P(M ≤ k − 1) = 1 − ((k − 1)/N)ⁿ, pour k entre 1 et N.
Par l'exercice 4, E(M) = Σ_k=1^N (1 − ((k − 1)/N)ⁿ) = N − Σ_j=0^N−1 (j/N)ⁿ.
E(M)/N = 1 − (1/N)Σ_j=0^N−1 (j/N)ⁿ. C'est une somme de Riemann de t ↦ tⁿ, continue sur [0, 1], qui tend vers ∫₀¹ tⁿ dt = 1/(n + 1).
Donc E(M)/N tend vers n/(n + 1). Contrôle pour n = 1 : E(M) = (N + 1)/2.

piège : Écrire P(M ≥ k) = 1 − (k/N)ⁿ, avec un décalage d'indice.

Erreurs fréquentes

Traiter un minimum par [m ≤ x], qui est une réunion et non une intersection, au lieu de passer par [m > x].
Écrire F_max comme produit des F_{X_i} sans invoquer l'indépendance, ou pour des variables qui ne sont pas indépendantes.
Appliquer l'espérance totale sur un système infini sans vérifier la convergence de la série des E(|X|/A_n)P(A_n). Ou résoudre une équation de premier pas sans avoir prouvé l'existence de l'espérance.
Confondre inégalités larges et strictes. P(X < a) n'est pas F_X(a) pour une variable discrète, et une transformation affine décroissante fait apparaître une inégalité stricte.
Déduire de l'égalité des lois de X et Y celle des lois de X + Y et 2X, ou croire que deux variables de même loi sont égales.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel d'ECG deuxième année, mathématiques approfondies (2021), enseignement du troisième semestre, partie III « Compléments de probabilités, couples et n-uplets de variables aléatoires réelles », paragraphe 1 « Compléments sur les variables aléatoires réelles ». Elle couvre la définition générale d'une variable aléatoire, la fonction de répartition, la notion de loi, les opérations sur les variables aléatoires, puis l'espérance conditionnelle et la formule de l'espérance totale pour les variables discrètes.