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ECG1 · Maths approfondies · semaine 25

Dérivées successives, formules de Taylor et développements limités

Fonctions de classe Cp et C infini, opérations algébriques, formule de Leibniz et théorème de composition. Formule de Taylor avec reste intégral et inégalité de Taylor-Lagrange. Formule de Taylor-Young, développements limités des fonctions usuelles, somme et produit de développements limités et allure locale du graphe.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Une fonction de classe CpC^p est pp fois dérivable, de dérivée d'ordre pp continue, et le produit se dérive pp fois par la formule de Leibniz.
  2. La formule de Taylor avec reste intégral est une égalité exacte ; l'inégalité de Taylor-Lagrange en tire une majoration de l'erreur.
  3. Taylor-Young fournit les développements limités, dont les coefficients sont les dérivées successives divisées par les factorielles.
  4. Somme et produit de développements limités sont au programme, la composition ne l'est pas, et l'on travaille en pratique au voisinage de 00.
  5. Le premier terme non linéaire d'un développement limité donne l'équivalent de l'écart à la tangente ; la parité de son degré décide si la courbe traverse ou non sa tangente.
Pourquoi ce chapitre

Dériver une fois donne la pente. Dériver plusieurs fois donne la forme. Ce chapitre construit une approximation locale d'une fonction par un polynôme, avec un contrôle de l'erreur.

Trois énoncés organisent cela :

  • la formule de Taylor avec reste intégral donne l'erreur exactement ;
  • l'inégalité de Taylor-Lagrange la majore ;
  • la formule de Taylor-Young la contrôle qualitativement par un petit oo.

Les applications sont :

  • lever une forme indéterminée ;
  • obtenir un équivalent ;
  • décider si un point critique est un extremum ;
  • tracer l'allure locale d'une courbe.

Ce chapitre alimente directement le chapitre sur les extrema et la convexité.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Dérivées successives 2

Exercice 1. Dérivées du logarithme et développement ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Calculer les dérivées successives de f(x)=ln⁡(1+x)f(x) = \ln(1 + x) sur ]−1,+∞[]-1, +\infty[, puis retrouver son développement limité d'ordre nn en 00.

Voir l'indice

Technique conjecture et récurrence, puis Taylor-Young.

Voir le corrigé offert
  1. On montre par récurrence que pour n≥1n \geq 1, f(n)(x)=(−1)n−1(n−1)!/(1+x)nf^{(n)}(x) = (-1)^{n-1}(n - 1)!/(1 + x)^n. Pour n=1n = 1 on trouve 1/(1+x)1/(1 + x).
  2. Hérédité, en dérivant on obtient (−1)n−1(n−1)!×(−n)(1+x)−n−1=(−1)nn!/(1+x)n+1.(-1)^{n-1}(n - 1)! \times (-n)(1 + x)^{-n-1} = (-1)^n n!/(1 + x)^{n+1}.
  3. ff est de classe C∞C^\infty et f(0)=0f(0) = 0. Pour k≥1k \geq 1, f(k)(0)/k!=(−1)k−1(k−1)!/k!=(−1)k−1/k.f^{(k)}(0)/k! = (-1)^{k-1}(k - 1)!/k! = (-1)^{k-1}/k.
  4. Taylor-Young redonne le développement usuel.

piège : Appliquer la formule au rang n=0n = 0, où elle est fausse, ou garder (k−1)!(k - 1)! sans simplifier par k!k!.

Exercice 2. Une identité par Leibniz ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

Soit n≥1n \geq 1.

En dérivant nn fois x2n=xn×xnx^{2n} = x^n \times x^n, montrer que ∑k=0n(nk)2=(2nn).\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}.

Voir le début du corrigé
  1. Pour k≤nk \leq n, la dérivée kk-ième de xnx^n est n!/(n−k)!xn−kn!/(n - k)! x^{n-k}.

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Équivalents et limites 1

Exercice 3. Différence de deux fractions ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Calculer la limite en 00 de 1x−1ex−1.\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1}.

Voir le début du corrigé
  1. Pour x≠0x \neq 0 voisin de 00, l'expression vaut (ex−1−x)/(x(ex−1))(e^x - 1 - x)/(x(e^x - 1)).

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Développements limités 2

Exercice 4. Produit et tangente ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Donner le développement limité d'ordre 33 en 00 de exsin⁡xe^x \sin x, puis la tangente en 00 et la position de la courbe.

Voir le début du corrigé
  1. sin⁡x=x−x3/6+o(x3)\sin x = x - x^3/6 + o(x^3) commence en xx, il suffit de exe^x à l'ordre 22 : 1+x+x2/2+o(x2)1 + x + x^2/2 + o(x^2).

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Exercice 5. Discussion selon un paramètre ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Pour aa réel, on pose fa(x)=ln⁡(1+x)+ax2f_a(x) = \ln(1 + x) + a x^2 sur ]−1,+∞[]-1, +\infty[.

Étudier la position de la courbe par rapport à sa tangente en 00.

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Formule de Taylor et approximation 2

Exercice 6. Encadrement du logarithme et limite classique ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit Ecricome

Montrer que pour x≥0x \geq 0, x−x22≤ln⁡(1+x)≤x.x - \frac{x^2}{2} \leq \ln(1 + x) \leq x. En déduire la limite de (1+1n)n\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.

Voir le début du corrigé
  1. Pour f(t) = ln(1 + t), f″(t) = −1/(1 + t)² et f‴(t) = 2/(1 + t)³. …

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Exercice 7. Somme de la série harmonique alternée ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit Ecricome

Montrer que ∑k=1n(−1)k−1k\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} tend vers ln⁡2\ln 2.

Voir le début du corrigé
  1. D'après l'exercice 1, f(n+1)(t)=(−1)nn!/(1+t)n+1f^{(n+1)}(t) = (-1)^n n!/(1 + t)^{n+1}, donc ∣f(n+1)(t)∣≤n!|f^{(n+1)}(t)| \leq n! pour tt dans [0,1][0, 1].

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Équivalents et limites 1

Exercice 8. Compensation à deux ordres ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau écrit, type EDHEC

Donner un équivalent en 00 de g(x)=x(ex+1)−2(ex−1).g(x) = x(e^x + 1) - 2(e^x - 1).

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Extremum local et global 1

Exercice 9. Point critique où le test d'ordre 2 échoue ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit, type emlyon

Soit g(x)=cos⁡x+x22g(x) = \cos x + \dfrac{x^2}{2}. Montrer que 00 est un point critique, que g′′(0)=0g''(0) = 0, puis que gg admet en 00 un minimum local strict. Est-il global ?

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  1. g′(x) = x − sin x et g″(x) = 1 − cos x, nuls en 0. …

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Formule de Taylor et approximation 1

Exercice 10. Irrationalité de e ★★★

Approfondissement · 45 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC

On pose Sn=∑k=0n1k!.S_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}. Montrer que 0<e−Sn≤e(n+1)!,0 < e - S_n \leq \frac{e}{(n + 1)!}, puis que ee est irrationnel.

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  1. Taylor avec reste intégral pour l'exponentielle, a=0a = 0, b=1b = 1, donne e−Sn=∫01(1−t)n/n!×etdte - S_n = \int_0^1 (1 - t)^n/n! \times e^t dt. …

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de la voie EC, mathématiques approfondies de première année, enseignement du second semestre, partie II « Compléments d'analyse », paragraphes « Dérivées successives », « Formules de Taylor » et « Développements limités ».