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ECG1 · Maths approfondies · semaine 26

Extremum, fonctions convexes et graphes

Existence d'extrema globaux pour une fonction continue sur un segment, condition nécessaire d'ordre 1 sur un intervalle ouvert, point critique et condition suffisante d'ordre 2. Fonctions convexes et concaves, inégalité de convexité, caractérisations en classe C1 et C2 et point d'inflexion. Étude graphique récapitulative avec tangentes, convexité et asymptotes.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Une fonction continue sur un segment atteint ses bornes, mais ce n'est plus garanti sur un intervalle ouvert.
  2. Sur un intervalle ouvert, un extremum local d'une fonction de classe C1C^1 est un point critique, et la réciproque est fausse.
  3. En un point critique, une dérivée seconde strictement positive donne un minimum local strict, strictement négative un maximum local strict, nulle aucune conclusion.
  4. Une fonction de classe C2C^2 est convexe si et seulement si sa dérivée seconde est positive ou nulle, et sa courbe est alors sous ses cordes et au-dessus de ses tangentes.
  5. Pour une fonction convexe de classe C1C^1 sur un intervalle ouvert, un point critique donne un minimum global. Pour une fonction de classe C2C^2, un changement de signe de la dérivée seconde donne un point d'inflexion.
Pourquoi ce chapitre

Optimiser, c'est-à-dire trouver le maximum d'un profit ou le minimum d'un coût, est une question des mathématiques appliquées à l'économie. Ce chapitre en donne les outils dans le cas d'une variable.

Chercher un extremum sur un segment et le chercher sur un intervalle ouvert ne sont pas la même chose. Cette distinction prépare la topologie de deuxième année.

PropriétéExistence et localisation

Hypothèses

  • La fonction est continue sur le segment considéré.

Alors l'existence d'un maximum et d'un minimum est garantie, mais l'extremum peut être atteint au bord.

RemarqueIntervalle ouvert

Sur un intervalle ouvert, l'existence n'est pas garantie, mais un extremum intérieur annule la dérivée lorsque la fonction est dérivable.

La convexité transforme une information locale en information globale. La dernière section réunit les outils pour l'étude complète d'une courbe.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Extrema d'une fonction 4

Exercice 1. Extremum sur un segment ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Déterminer le maximum et le minimum de la fonction f(x)=x1+x2f(x) = \frac{x}{1 + x^2} sur [0,3][0, 3].

Voir l'indice

Technique comparaison des valeurs aux points critiques intérieurs et aux bords.

Voir le corrigé offert
  1. ff est continue sur le segment [0,3][0, 3], donc les extrema existent.
  2. f′(x)=(1−x2)/(1+x2)2f'(x) = (1 - x^2)/(1 + x^2)^2, et le seul point critique dans ]0,3[]0, 3[ est 11.
  3. On calcule f(0)=0f(0) = 0, f(1)=1/2f(1) = 1/2 et f(3)=3/10f(3) = 3/10.
  4. Le maximum vaut 1/21/2, atteint en 11. Le minimum vaut 00, atteint en 00.

piège : Ignorer le bord 00 au motif que f′(0)=1f'(0) = 1 n'est pas nul.

Exercice 8. Coût moyen minimal ★

Application du cours · 15 min · Niveau écrit BCE, type emlyon

Une entreprise a pour coût total C(q)=q2+4q+16C(q) = q^{2} + 4q + 16 pour q>0q > 0. Minimiser le coût moyen C(q)q\dfrac{C(q)}{q} et comparer au coût marginal C′(q)C'(q).

Voir le début du corrigé
  1. Le coût moyen vaut M(q) = q + 4 + 16/q sur ]0, +∞[. …

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Exercice 2. Local contre global ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Étudier les extrema de la fonction f(x)=x2e−xf(x) = x^2 e^{-x} sur R\R.

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  1. f′(x) = x(2 − x)e−x, les points critiques sont 0 et 2. …

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Exercice 3. Cas douteux réglé par la convexité ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Soit f(x)=ex+e−x−x2f(x) = e^{x} + e^{-x} - x^{2} sur R\mathbb{R}. Montrer que f′′(0)=0f''(0) = 0, puis que ff admet en 00 un minimum global.

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  1. f′(x) = eˣ − e−x − 2x, donc f′(0) = 0. …

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Inégalités par convexité 3

Exercice 4. Encadrement du logarithme ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Montrer que 1−1x≤ln⁡x≤x−11 - \frac{1}{x} \leq \ln x \leq x - 1 pour tout x>0x > 0.

En déduire que 1n+1≤ln⁡(n+1)−ln⁡n≤1n\frac{1}{n + 1} \leq \ln(n + 1) - \ln n \leq \frac{1}{n} pour n≥1n \geq 1, puis encadrer la somme des 1k\frac{1}{k} pour kk allant de 11 à nn.

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  1. ln⁡\ln est concave sur ]0,+∞[]0, +\infty[, car sa dérivée seconde vaut −1/x2-1/x^2. …

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Exercice 5. Moyennes avec cas d'égalité ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit Ecricome

Soient a1,…,ana_1, \dots, a_n strictement positifs et mm leur moyenne arithmétique.

Montrer que (a1…an)1/n≤m,(a_1 \dots a_n)^{1/n} \leq m, avec égalité si et seulement si tous les aia_i sont égaux.

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  1. Soit g(y)=y−1−ln⁡yg(y) = y - 1 - \ln y sur ]0,+∞[]0, +\infty[. …

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Exercice 9. Entropie maximale ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC

Soient x1,…,xnx_1, \dots, x_n strictement positifs de somme 11.

Montrer que la somme des xiln⁡xix_i \ln x_i est supérieure ou égale à −ln⁡n-\ln n, avec égalité pour la répartition uniforme.

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  1. φ(x) = x ln x vérifie φ″(x) = 1/x > 0, donc φ est convexe sur ]0, +∞[. …

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Étude complète de fonction 2

Exercice 7. Points d'inflexion de la courbe en cloche ★

Application du cours · 15 min · Niveau écrit Ecricome

Soit la fonction f(x)=e−x2/2.f(x) = e^{-x^2/2}.

Étudier sa convexité, déterminer ses points d'inflexion et la tangente en l'un d'eux.

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  1. f est paire, f′(x) = −x e−x²/2, avec un maximum global 1 en 0. …

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Exercice 6. Étude complète ★★

Classiques de khôlle et concours · 45 min · Niveau écrit BCE, type EDHEC

Étudier la fonction f(x)=x e1/xf(x) = x\, e^{1/x} sur R\R privé de 00 : variations, limites, asymptotes, position, convexité.

Voir le début du corrigé
  1. f′(x) = e1/x(x − 1)/x. Donc f est croissante sur ]−∞, 0[, décroissante sur ]0, 1] et croissante sur [1, +∞[. …

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Fonctions convexes majorées 1

Exercice 10. Fonction convexe majorée ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type oral HEC

Soit ff convexe et de classe C1C^1 sur R\R, et majorée.

Montrer que ff est constante.

Le résultat subsiste-t-il sur ]0,+∞[]0, +\infty[ ?

Voir le début du corrigé
  1. Fixons aa. Pour tout réel xx, f(x)≥f(a)+f′(a)(x−a)f(x) \geq f(a) + f'(a)(x - a).

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