Estimation ponctuelle

Exercice 1. Estimer p(1 − p) ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

Soit $(X_1, \dots, X_n)$ un $n$-échantillon de loi de Bernoulli de paramètre $p$ inconnu dans le segment de $0$ à $1$, avec $n \geq 2$.

On pose $$T_n = \bar X_n (1 - \bar X_n).$$ Étudier le biais et la convergence de $T_n$ comme estimateur de $p(1 - p)$, puis construire un estimateur sans biais convergent.

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Technique $E(Y^2) = V(Y) + E(Y)^2$ puis composition.

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1. $T_n = \bar{X}_n - \bar{X}_n^2$ ne dépend que des données, c'est un estimateur.
2. $E(\bar{X}_n) = p$ et $E(\bar{X}_n^2) = p(1 - p)/n + p^2$.
3. $E(T_n) = p - p^2 - p(1 - p)/n = (1 - 1/n) p(1 - p)$. Le biais vaut $-p(1 - p)/n$. Il est non nul pour $p$ dans $]0, 1[$ et tend vers $0$.
4. $U_n = (n/(n - 1)) T_n$ est sans biais.
5. $\bar{X}_n$ converge vers $p$ par la loi faible, et $x \mapsto x(1 - x)$ est continue sur $R$, donc $(T_n)$ est convergente.
6. On a $0 \leq T_n \leq 1/4$, donc $|U_n - T_n| = T_n/(n - 1) \leq 1/(4(n - 1))$. Dès que ce majorant est inférieur à $\varepsilon/2$, l'événement $[|U_n - p(1 - p)| \geq \varepsilon]$ est inclus dans $[|T_n - p(1 - p)| \geq \varepsilon/2]$. Donc $(U_n)$ est convergente.

piège : Penser que $\bar{X}_n$ étant sans biais pour $p$, $\bar{X}_n(1 - \bar{X}_n)$ l'est pour $p(1 - p)$.

Exercice 2. Moyennes pondérées ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

$X$ admet une espérance $m$ et une variance $\sigma^2 > 0$, et le modèle autorise des valeurs non nulles de $m$.

Pour des réels $a_1, \dots, a_n$ fixés, on pose $$T = \sum a_i X_i.$$ À quelle condition $T$ est-il sans biais pour $m$ ?

Lequel de ces estimateurs a la plus petite variance ?

$X_1$ est-il convergent ?

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1. $E(T) = m \sum a_i$. Cette égalité vaut $m$ pour tout $m$, en particulier pour un $m$ non nul, si et seulement si $\sum a_i = 1$.

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Exercice 3. Minimum de lois exponentielles ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

$X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ et on pose $$M_n = \min(X_1, \dots, X_n).$$ Déterminer la loi de $M_n$.

Montrer que $nM_n$ est sans biais pour $\frac{1}{\lambda}$.

Est-il convergent ?

Comparer avec $\bar X_n$.

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1. Pour $x \geq 0$, $P(M_n > x) = \Pi P(X_i > x) = e^{-n\lambda x}$ par indépendance. …

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Exercice 4. Estimer λ dans le modèle exponentiel ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit Ecricome

$X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$, avec $n \geq 3$.

On pose $$S_n = \sum X_i$$ et on admet que $\lambda S_n$ suit la loi gamma de paramètre $n$, de densité $$\frac{x^{n-1} e^{-x}}{(n-1)!}$$ sur $]0, +\infty[$.

Calculer le biais de $\frac{1}{\bar X_n}$.

Construire un estimateur sans biais de $\lambda$ et montrer qu'il est convergent.

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1. Posons $Y = \lambda S_n$. Alors $E(1/Y) = \int x^{n-2} e^{-x}\, dx/(n - 1)!$ sur $]0, +\infty[$. …

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Exercice 5. Estimer P(X = 0) dans le modèle de Poisson ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit EDHEC

$X$ suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda > 0$.

On veut estimer $$e^{-\lambda} = P(X = 0).$$ On pose $Z_n$ la proportion des $X_i$ nuls, et $$V_n = e^{-\bar X_n}.$$ Étudier biais et convergence des deux estimateurs.

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1. Les indicatrices des événements $[X_i = 0]$ sont indépendantes, comme fonctions de variables indépendantes. …

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Exercice 6. Uniforme sur le segment de θ à θ + 1 ★★

Classiques de khôlle et concours · 45 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC

$X$ suit la loi uniforme sur le segment de $\theta$ à $\theta + 1$, avec $\theta$ réel inconnu.

On pose $$A_n = \bar X_n - \frac{1}{2}$$ et $$m_n = \min(X_1, \dots, X_n).$$ Construire à partir de $m_n$ un estimateur sans biais $B_n$.

Comparer $V(A_n)$ et $V(B_n)$ selon $n$.

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1. $E(X) = \theta + 1/2$ et $V(X) = 1/12$, donc $A_n$ est sans biais, de variance $1/(12n)$.

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Exercice 7. Fusionner deux échantillons ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Soit $T$ et $T'$ deux estimateurs sans biais de $g(\theta)$, indépendants, de variances $v > 0$ et $v' > 0$. Trouver le réel $\lambda$ qui minimise la variance de $\lambda T + (1 - \lambda)T'$. Appliquer à deux échantillons indépendants de tailles $n$ et $k$ d'une même loi de variance $\sigma^2$.

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1. Par indépendance, la variance vaut $h(\lambda) = \lambda^2v + (1 - \lambda)^2v'$.

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Exercice 8. Variance d'une loi normale d'espérance connue ★

Application du cours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

$X$ suit la loi normale d'espérance $m$ connue et de variance $\sigma^2$ inconnue.

On pose $$\Sigma_n = \frac{1}{n} \sum (X_i - m)^2.$$ Montrer que $\Sigma_n$ est un estimateur sans biais et convergent de $\sigma^2$.

Que devient la question si $m$ est inconnue ?

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1. $m$ est connue, donc $\Sigma_n$ ne dépend que des données.

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Exercice 9. Se ramener au modèle exponentiel ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit HEC

$X$ admet la densité $\theta x^{\theta - 1}$ sur $]0, 1]$, nulle ailleurs, avec $\theta > 0$ inconnu.

Montrer que $Y = -\ln X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\theta$.

En déduire un estimateur sans biais convergent de $1/\theta$, puis de $\theta$.

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1. $X$ est à valeurs dans $]0, 1]$, donc $Y$ est positive.

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