Estimation par intervalle de confiance

Exercice 1. Sondage ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Sur 2500 personnes interrogées indépendamment, 1100 répondent oui.

On note $p$ la proportion de oui dans la population.

Donner une estimation de l'intervalle de confiance de $p$ au niveau 90 pour cent, par Bienaymé-Tchebychev puis par le théorème limite central.

Comparer.

Exercice 2. Moyenne d'une loi normale ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Des mesures suivent $\mathcal{N}(m, 9)$.

Sur 25 mesures, on observe une moyenne de $12{,}4$.

1. Donner une estimation de l'intervalle de confiance de $m$ aux niveaux 95 et 99 pour cent.

2. Quelle taille d'échantillon faut-il pour obtenir une demi-largeur au plus $0{,}5$ à 95 pour cent ?

Exercice 3. Biais de la variance empirique ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Soit un $n$-échantillon d'espérance $m$ et de variance $\sigma^2$, avec $n \geq 2$.

Calculer $E(S_n^2)$, où $$S_n^2 = \frac{1}{n} \sum (X_i - \overline{X}_n)^2.$$

En déduire un estimateur sans biais de $\sigma^2$.

Exercice 4. Interpréter le niveau ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Cent laboratoires indépendants construisent chacun l'intervalle exact de niveau 95 pour cent de la moyenne d'une loi normale d'écart type connu.

On note $N$ le nombre d'intervalles qui contiennent $m$.

Donner la loi de $N$, son espérance et $P([N = 100])$.

Exercice 5. Construction asymptotique complète ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit Ecricome

On se place dans le modèle de Bernoulli avec $\Theta = [0, 1]$ et $\alpha$ dans $]0, 1[$.

On pose $$\Phi(u) = 1 - \frac{\alpha}{2}.$$

Montrer que $\overline{X}_n \pm \frac{u}{2\sqrt{n}}$ est un intervalle de confiance asymptotique de $p$ au niveau $1 - \alpha$, sans oublier les cas $p = 0$ et $p = 1$.

Exercice 6. Paramètre d'une loi exponentielle ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit EDHEC ou emlyon

$X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$.

On fixe $\alpha$ dans $]0, 1[$, $u$ tel que $$\Phi(u) = 1 - \frac{\alpha}{2},$$ et $n > u^2$.

Construire un intervalle de confiance asymptotique de $\lambda$ au niveau $1 - \alpha$.

Exercice 7. Loi uniforme et maximum ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

$X$ suit la loi uniforme sur $[0, \theta]$, avec $\theta > 0$, et on pose $$M_n = \max(X_1, \dots, X_n).$$

1. Donner la fonction de répartition de $M_n/\theta$ sur $[0, 1]$.

2. Pour $\alpha$ dans $]0, 1[$, montrer que l'intervalle d'extrémités $M_n$ et $\alpha^{-1/n} M_n$ est un intervalle de confiance de $\theta$ de niveau exactement $1 - \alpha$.

3. Étudier la largeur de cet intervalle.

Exercice 8. Loi de Poisson sans majoration ★★★

Approfondissement · 35 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

$X$ suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda > 0$, et on pose $$c = \frac{1}{\sqrt{n\alpha}}.$$

1. Montrer que $$P([|\overline{X}_n - \lambda| < c\sqrt{\lambda}]) \geq 1 - \alpha.$$

2. Résoudre en $\lambda$ l'inéquation $$(\overline{X}_n - \lambda)^2 \leq c^2 \lambda.$$

3. En déduire un intervalle de confiance de $\lambda$ au niveau $1 - \alpha$, valable pour tout $n$.

Exercice 9. Simulation et limite de l'asymptotique ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Type oral

1. Écrire un programme Python qui estime la proportion de réalisations de $\overline{X}_n \pm \frac{u}{2\sqrt{n}}$ contenant $p$.

2. Pour l'intervalle $$\overline{X}_n \pm \frac{u\sqrt{\overline{X}_n(1 - \overline{X}_n)}}{\sqrt{n}},$$ avec $p = 0{,}01$ et $n = 30$, majorer la probabilité qu'il contienne $p$.