Travaux pratiques, statistiques descriptives bivariées

Exercice 1. Changement d'unités ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Des températures $x$ en degrés Celsius et des consommations $y$ en kWh sont converties en $$\begin{aligned} u &= 1{,}8x + 32 \quad \text{(Fahrenheit) et} \\ v &= \frac{y}{1000} \quad \text{(MWh).} \end{aligned}$$ Exprimer $\operatorname{cov}(u, v)$, $r(u, v)$ et la pente de $v$ en $u$ en fonction des quantités initiales.

Exercice 2. Encadrement de r par Cauchy-Schwarz ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

On suppose $s_x > 0$ et $s_y > 0$.

Montrer $|r| \leq 1$ avec le produit scalaire canonique de $\R^n$, puis caractériser $|r| = 1$.

Exercice 5. Corrélation nulle et lien exact ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

La liste des $x_i$ est invariante par $x \mapsto -x$ (chaque valeur apparaît autant de fois que son opposée) et $$y_i = g(x_i)$$ avec $g$ paire.

Montrer que $c = 0$ et commenter.

Exercice 10. Influence d'un point aberrant ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

Les points $$(0, 0), \quad (1, 0), \quad (0, 1), \quad (1, 1)$$ sont complétés par $(t, t)$ avec $t > 1$.

Calculer $r(t)$ et sa limite en $+\infty$.

Exercice 4. Un calcul complet ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Dépenses publicitaires $x$ (milliers d'euros) et ventes $y$ (dizaines de milliers d'euros) : $$\begin{aligned} x &= 1, 2, 3, 4, 5 \quad \text{et} \\ y &= 3, 5, 4, 7, 6. \end{aligned}$$ Calculer $c$, $r$, la droite de $y$ en $x$, et prévoir les ventes pour $x = 6$ et $x = 50$.

Exercice 3. Formules des moindres carrés ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

Les $x_i$ ne sont pas tous égaux.

Montrer que $$F(a, b) = \sum (y_i - a x_i - b)^2$$ admet un unique minimum global et le déterminer.

Que se passe-t-il si tous les $x_i$ sont égaux ?

Exercice 7. Les deux droites ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

On donne $\bar{x} = 10$, $\bar{y} = 30$, $s_x = 2$, $s_y = 5$, $r = 0{,}8$. Écrire les deux droites. Pour $y = 40$, comparer $x$ donné par la droite de $x$ en $y$ et $x$ obtenu en inversant la droite de $y$ en $x$. Montrer que $|a| \leq |1/a'|$ si $c \neq 0$.

Exercice 9. Droite contrainte par l'origine ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

Les $x_i$ ne sont pas tous nuls et $$G(a) = \sum (y_i - a x_i)^2.$$ Minimiser $G$, en déduire Cauchy-Schwarz pour les sommes, comparer avec le minimum de $F$ et dire quand les deux pentes coïncident.

Exercice 6. Décomposition de la variance ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

Avec $\hat{y}_i = a x_i + b$ et $e_i = y_i - \hat{y}_i$, montrer que $s_{\hat{y}}^2 = r^2 s_y^2$, que $s_e^2 = s_y^2(1 - r^2)$, et en déduire $s_y^2 = s_{\hat{y}}^2 + s_e^2$.

Exercice 8. Croissance exponentielle en Python ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Un chiffre d'affaires $y_i > 0$ est observé aux années $x_i$, avec le modèle $$y \approx A e^{bx}.$$

Écrire une fonction renvoyant $A$, $b$ et la corrélation du nuage transformé.

Interpréter $b = 0{,}05$.

Quel critère a-t-on minimisé ?