Applications linéaires et matrices

Exercice 1. Noyau, image, supplémentarité ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Soit, sur $\R^3$, la fonction $$f(x, y, z) = (x - y, y - z, z - x).$$ Déterminer $\operatorname{Ker} f$ et $\operatorname{Im} f$, puis montrer que $$\R^3 = \operatorname{Ker} f \oplus \operatorname{Im} f.$$

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Technique formule du rang puis inclusion dans un hyperplan.

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1. $f(x, y, z) = 0$ équivaut à $x = y = z$, donc $\operatorname{Ker} f = \operatorname{Vect}((1, 1, 1))$.
2. La formule du rang donne $\operatorname{rg} f = 2$.
3. La somme des composantes de $f(x, y, z)$ est nulle, donc $\operatorname{Im} f \subset H$, plan $a + b + c = 0$, noyau d'une forme non nulle, de dimension $2$. Donc $\operatorname{Im} f = H$.
4. Si $(t, t, t) \in H$, alors $3t = 0$, donc $\operatorname{Ker} f \cap \operatorname{Im} f = \{0\}$. Comme $1 + 2 = 3$, la somme est directe et vaut $R^3$.

piège : Croire que $\operatorname{Ker} f \cap \operatorname{Im} f = \{0\}$ est automatique. La matrice $N$ le dément.

Exercice 6. Noyau de f et de f² ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Soit $f \in \mathcal{L}(E)$.

Montrer que $\operatorname{Ker} f \subset \operatorname{Ker} f^2$, puis que $\operatorname{Ker} f = \operatorname{Ker} f^2$ équivaut à $$\operatorname{Ker} f \cap \operatorname{Im} f = \{0\}.$$ En dimension finie, en déduire $E = \operatorname{Ker} f \oplus \operatorname{Im} f$ dans ce cas.

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1. Si $f(x) = 0$, alors $f^2(x) = f(0) = 0$.

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Exercice 10. Endomorphisme de carré nul ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type oral ESCP

Soit $E$ de dimension $n$ et $f \in L(E)$ avec $f^2 = 0$.

Montrer que $\operatorname{rg} f \leq \frac{n}{2}$.

Si $n = 2$ et $f \neq 0$, trouver une base où la matrice de $f$ a pour lignes $(0, 0)$ et $(1, 0)$.

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1. $f^2 = 0$ donne $\operatorname{Im} f \subset \operatorname{Ker} f$, donc $\operatorname{rg} f \leq n - \operatorname{rg} f$, soit $\operatorname{rg} f \leq n/2$.

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Exercice 2. Matrice d'une application sur des polynômes ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Sur $\R_3[X]$, on pose $$\Delta(P) = P(X + 1) - P(X).$$ Écrire la matrice de $\Delta$ dans la base $(1, X, X^2, X^3)$, puis déterminer noyau et image.

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Exercice 5. Matrice d'un projecteur ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Dans $\R^3$, soient $F$ le plan $x + y + z = 0$ et $G = \operatorname{Vect}((1, 0, 0))$.

Montrer que $\R^3 = F \oplus G$ et donner la matrice canonique du projecteur $p$ sur $F$ parallèlement à $G$.

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1. $(1, 0, 0)$ n'est pas dans $F$ et $2 + 1 = 3$, donc $R^3 = F \oplus G$.

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Exercice 3. La matrice J ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Soit $J \in M_3(\R)$ remplie de 1.

Calculer $J^n$, puis $(I + J)^n$, puis l'inverse de $I + J$.

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1. Chaque coefficient de $J^2$ vaut $3$, donc $J^2 = 3J$, et par récurrence $J^n = 3^{n-1} J$ pour $n \geq 1$.

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Exercice 4. Puissances par division euclidienne ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Soit $A$ la matrice de lignes $(1, 2)$ et $(1, 0)$.

Montrer que $A^2 = A + 2I$, puis calculer $A^k$ pour $k \geq 0$ et $A^{-1}$.

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1. $A^2$ a pour lignes $(3, 2)$ et $(1, 2)$, c'est bien $A + 2I$.

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Exercice 7. Inverser id − D ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit BCE, type EDHEC

Sur $\mathbb{R}_n[X]$, soit $u(P) = P - P'$. Montrer que $u$ est bijective et exprimer $u^{-1}$ à l'aide de $D$. Résoudre $P - P' = X^3$ dans $\mathbb{R}_3[X]$.

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1. Dériver $n + 1$ fois un polynôme de degré au plus $n$ donne $0$, donc $D^{n+1} = 0$.

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Exercice 9. Décomposition par un annulateur ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC

Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que $$f^2 - 3f + 2\operatorname{id} = 0.$$ Montrer que $$E = \operatorname{Ker}(f - \operatorname{id}) \oplus \operatorname{Ker}(f - 2\operatorname{id}),$$ puis que $f - \operatorname{id}$ est un projecteur dont on précisera l'image et le noyau.

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1. On écrit $x = a + b$ avec $a = 2x - f(x)$ et $b = f(x) - x$.

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Exercice 8. Rang d'une composée ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau écrit BCE, type emlyon

Avec $E$, $F$, $G$ de dimension finie, $f \in L(E, F)$ et $g \in L(F, G)$, montrer que $$\operatorname{rg}(g \circ f) \leq \min(\operatorname{rg} f,\, \operatorname{rg} g).$$ En déduire que si $A \in M_{n,p}(\R)$ et $B \in M_{p,n}(\R)$ avec $p < n$, alors $AB$ n'est pas inversible.

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1. $\operatorname{Im}(g \circ f) \subset \operatorname{Im} g$, donc $\operatorname{rg}(g \circ f) \leq \operatorname{rg} g$.

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