Le cours

Résumé en cinq points

Une somme de $k$ sous-espaces est directe lorsque la décomposition du vecteur nul est unique. Pour $k \geqslant 3$ , les intersections deux à deux ne suffisent pas.
La somme est directe si et seulement si la concaténation de bases est libre. Dans ce cas la dimension de la somme est la somme des dimensions.
La matrice de passage $P_{B,B'}$ contient les vecteurs de $B'$ écrits dans $B$ , et elle transforme les nouvelles coordonnées en anciennes : $X_B = P_{B,B'}\,X_{B'}$ .
Deux matrices sont semblables quand $B = P^{-1}AP$ , ce qui signifie exactement qu'elles représentent le même endomorphisme dans deux bases.
La trace est linéaire, vérifie $\tr(AB) = \tr(BA)$ , donc est invariante par similitude. Elle vaut la somme des valeurs propres avec leurs multiplicités quand la matrice est diagonalisable.

Pourquoi ce chapitre

Ce chapitre est court, mais il conditionne toute la suite de l'année.

La somme directe de $k$ sous-espaces sert à énoncer le critère de diagonalisation.
Les formules de changement de base servent à passer d'un endomorphisme à une matrice et inversement, donc à traduire « $f$ est diagonalisable » en « $A$ est semblable à une matrice diagonale ».
La trace sert d'outil de vérification rapide sur les valeurs propres.

En première année, on a vu la somme directe de deux sous-espaces et la matrice d'une application linéaire. Ici on généralise à $k$ sous-espaces et on formalise les changements de repère. Aux concours, ces notions apparaissent rarement seules : ce sont les outils d'un exercice de réduction, d'un calcul de puissances de matrices ou d'une étude de suites récurrentes couplées.

1Somme directe de k sous-espaces vectoriels

Dans toute cette partie, $E$ est un espace vectoriel réel et $F_1, \dots, F_k$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$ .

1.1Somme de k sous-espaces

Définition 1.1Somme de $k$ sous-espaces

La somme $F_1 + F_2 + \dots + F_k$ est l'ensemble des vecteurs de la forme $x_1 + x_2 + \dots + x_k$ , où chaque $x_i$ appartient à $F_i$ .

C'est un sous-espace vectoriel de $E$ . C'est le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ contenant tous les $F_i$ .

1.2Somme directe

Définition 1.2Somme directe

La somme $F_1 + \dots + F_k$ est directe lorsque tout vecteur $x$ de cette somme s'écrit d'une seule manière $x = x_1 + \dots + x_k$ avec $x_i \in F_i$ pour chaque $i$ . On la note alors $F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ .

Propriété 1.3Caractérisation par le vecteur nul

La somme est directe si et seulement si la seule décomposition du vecteur nul est la décomposition triviale. Autrement dit, si $x_1 + \dots + x_k = 0$ avec $x_i \in F_i$ pour tout $i$ , alors tous les $x_i$ sont nuls.

Démonstration

Le sens direct est immédiat car $0 = 0 + \dots + 0$ est une décomposition. Réciproquement, si un vecteur $x$ admet deux décompositions $x = x_1 + \dots + x_k = y_1 + \dots + y_k$ , alors $(x_1 - y_1) + \dots + (x_k - y_k) = 0,$ avec $x_i - y_i \in F_i$ . L'hypothèse donne $x_i = y_i$ pour tout $i$ .

1.3Le piège des intersections deux à deux

Propriété 1.4Cas $k = 2$

La somme $F_1 + F_2$ est directe si et seulement si $F_1 \cap F_2 = \{0\}$ .

Attention

Ce critère ne se généralise pas. Pour $k \geqslant 3$ , il ne suffit pas que les $F_i$ soient deux à deux d'intersection nulle.

Exemple 1.5Contre-exemple à connaître

Dans $\R^2$ , prenons $F_1 = \Vect((1, 0))$ , $F_2 = \Vect((0, 1))$ et $F_3 = \Vect((1, 1))$ . Ces trois droites sont deux à deux d'intersection réduite au vecteur nul. Pourtant $(1, 0) + (0, 1) - (1, 1) = 0$ est une décomposition non triviale du vecteur nul. La somme n'est donc pas directe. On le voit aussi sur les dimensions : la somme vaut $\R^2$ , de dimension 2, alors que la somme des dimensions vaut 3.

À retenir

Pour $k \geqslant 3$ , on revient toujours à la décomposition du vecteur nul, ou aux bases, ou aux dimensions. Jamais aux intersections deux à deux.

1.4Concaténation de bases, base adaptée

Supposons chaque $F_i$ de dimension finie, et notons $B_i$ une base de $F_i$ .

Définition 1.6Concaténation des bases

La famille obtenue en écrivant à la suite les vecteurs de $B_1$ , puis ceux de $B_2$ , et ainsi de suite jusqu'à $B_k$ , s'appelle la concaténation des bases. Elle est notée ici $B_1 \cup \dots \cup B_k$ par abus d'écriture.

Théorème 1.7Caractérisation par les bases

La somme $F_1 + \dots + F_k$ est directe si et seulement si la concaténation des bases $B_1, \dots, B_k$ est une famille libre. Dans ce cas, cette concaténation est une base de $F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ .

Démonstration

Une combinaison linéaire nulle des vecteurs concaténés se regroupe paquet par paquet. Le paquet numéro $i$ donne un vecteur $x_i$ de $F_i$ , et la somme des $x_i$ est nulle. Si la somme est directe, chaque $x_i$ est nul, donc les coefficients du paquet $i$ sont nuls puisque $B_i$ est libre. La réciproque se lit dans l'autre sens, en décomposant chaque $x_i$ sur $B_i$ .

Définition 1.8Base adaptée

Lorsque $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ , une base de $E$ obtenue par concaténation de bases des $F_i$ est dite adaptée à cette décomposition.

Dans une telle base, la matrice d'un endomorphisme qui laisse chaque $F_i$ stable est diagonale par blocs. C'est exactement ce qui se produira en réduction, avec des blocs scalaires.

1.5Dimension d'une somme directe

Propriété 1.9Dimension d'une somme directe

Hypothèses

la somme $F_1 + \dots + F_k$ est directe ;
chaque $F_i$ est de dimension finie.

Alors $\dim(F_1 \oplus \dots \oplus F_k) = \sum_{i=1}^{k} \dim F_i.$

C'est une conséquence immédiate du théorème précédent : la base concaténée compte exactement $\dim F_1 + \dots + \dim F_k$ vecteurs.

Remarque

Sans hypothèse de somme directe, on a seulement $\dim(F_1 + \dots + F_k) \leqslant \sum_{i=1}^{k} \dim F_i.$

1.6Critères pratiques quand E est de dimension finie

Soit $E$ de dimension $n$ .

Propriété 1.10Critère 1

Hypothèses

la somme $F_1 + \dots + F_k$ est directe ;
$\dim F_1 + \dots + \dim F_k = n$ .

Alors $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ .

Démonstration

La somme est un sous-espace de $E$ de dimension $n$ , donc égale à $E$ .

Propriété 1.11Critère 2

Hypothèses

$F_1 + \dots + F_k = E$ ;
$\dim F_1 + \dots + \dim F_k = n$ .

Alors la somme est directe.

Démonstration

On concatène des bases : on obtient une famille génératrice de $E$ de cardinal $n$ , donc une base.

2Matrice d'un endomorphisme et changement de base

Dans toute cette partie, $E$ est un espace vectoriel réel de dimension $n \geqslant 1$ .

2.1Matrice d'un endomorphisme dans une base

Définition 2.1Matrice d'un endomorphisme

Soit $B = (e_1, \dots, e_n)$ une base de $E$ et $f$ un endomorphisme de $E$ . La matrice de $f$ dans la base $B$ , notée $\mathrm{Mat}_B(f)$ , est la matrice carrée d'ordre $n$ dont la $j$ -ième colonne est formée des coordonnées de $f(e_j)$ dans la base $B$ .

Si $X_B$ désigne la colonne des coordonnées de $x$ dans $B$ , alors la colonne des coordonnées de $f(x)$ est $\mathrm{Mat}_B(f)\,X_B$ . L'application qui à $f$ associe $\mathrm{Mat}_B(f)$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels de $\mathcal{L}(E)$ sur $\mathcal{M}_n(\R)$ , et elle transforme la composition en produit matriciel.

2.2Matrice de passage

Définition 2.2Matrice de passage

Soient $B$ et $B'$ deux bases de $E$ . La matrice de passage de $B$ vers $B'$ , notée $P_{B,B'}$ , est la matrice carrée dont les colonnes sont les coordonnées, dans la base $B$ , des vecteurs de la nouvelle base $B'$ .

Propriété 2.3Propriétés des matrices de passage

$P_{B,B'}$ est inversible, et son inverse est la matrice de passage dans l'autre sens : $(P_{B,B'})^{-1} = P_{B',B}.$ On a aussi la relation de composition $P_{B,B''} = P_{B,B'}\,P_{B',B''}.$

Moyen mnémotechnique : dans $P_{B,B'}$ , ce sont les vecteurs de $B'$ qui sont écrits, dans l'ancienne base $B$ . On lit « nouveaux vecteurs exprimés dans l'ancienne base ».

2.3Changement de coordonnées d'un vecteur

Propriété 2.4Changement de coordonnées

Pour tout vecteur $x$ de $E$ , $X_B = P_{B,B'}\,X_{B'}.$ Pour obtenir les nouvelles coordonnées à partir des anciennes, on inverse : $X_{B'} = (P_{B,B'})^{-1} X_B.$

Attention

La matrice de passage transforme les nouvelles coordonnées en anciennes coordonnées. C'est contre-intuitif au premier abord, et c'est la principale source d'erreur du chapitre.

Exemple 2.5Changement de coordonnées dans $\R^2$

Soit $B$ la base canonique et $B' = (u, v)$ avec $u = (1, 1)$ et $v = (1, -1)$ . Alors $P_{B,B'}$ est la matrice de lignes $(1, 1)$ et $(1, -1)$ . Son carré vaut $2 I_2$ , donc son inverse est sa moitié. Le vecteur $x = (3, 1)$ a pour nouvelles coordonnées $(2, 1)$ , puisque $2u + v = (3, 1)$ .

2.4Formule de changement de base pour un endomorphisme

Théorème 2.6Changement de base d'un endomorphisme

Hypothèses

$B$ et $B'$ sont deux bases de $E$ ;
$f$ est un endomorphisme de $E$ ;
$P = P_{B,B'}$ .

Alors $\mathrm{Mat}_{B'}(f) = P^{-1}\,\mathrm{Mat}_B(f)\,P.$

Démonstration

Pour tout $x$ , on a $X_B = P X_{B'}$ . En notant $Y$ les coordonnées de $f(x)$ , il vient $Y_B = \mathrm{Mat}_B(f) X_B$ , donc $P Y_{B'} = \mathrm{Mat}_B(f) P X_{B'}$ , puis $Y_{B'} = P^{-1}\,\mathrm{Mat}_B(f)\,P\,X_{B'}.$ Comme cela vaut pour toute colonne $X_{B'}$ , les deux matrices coïncident.

2.5Matrices semblables

Définition 2.7Matrices semblables

Deux matrices carrées $A$ et $B$ d'ordre $n$ sont semblables lorsqu'il existe une matrice inversible $P$ d'ordre $n$ telle que $B = P^{-1} A P$ .

La similitude est une relation d'équivalence sur $\mathcal{M}_n(\R)$ :

réflexive avec $P = I_n$ ;
symétrique en remplaçant $P$ par $P^{-1}$ ;
transitive en multipliant les matrices de passage.

Propriété 2.8Interprétation

Deux matrices carrées sont semblables si et seulement si elles représentent un même endomorphisme dans deux bases.

C'est la traduction directe de la formule précédente.

Propriété 2.9Invariants de similitude

Si $A$ et $B = P^{-1}AP$ sont semblables :

elles ont le même rang et la même trace ;
l'une est inversible si et seulement si l'autre l'est ;
$B^k = P^{-1} A^k P$ pour tout entier naturel $k$ .

La dernière relation est le moteur du calcul des puissances par diagonalisation.

Attention

Ces invariants ne caractérisent pas la similitude. Deux matrices de même rang et de même trace ne sont pas nécessairement semblables.

3Trace d'une matrice carrée

Le programme introduit la trace uniquement comme outil de recherche de valeurs propres. Aucun développement théorique n'est attendu, et aucun autre résultat sur la trace n'est exigible.

3.1Définition

Définition 3.1Trace

Soit $A = (a_{i,j})$ une matrice carrée d'ordre $n$ . Sa trace, notée $\tr(A)$ , est la somme de ses coefficients diagonaux : $\tr(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{i,i}.$

3.2Linéarité

Propriété 3.2Linéarité de la trace

L'application $A \mapsto \tr(A)$ est une forme linéaire sur $\mathcal{M}_n(\R)$ . Pour toutes matrices $A$ et $B$ d'ordre $n$ et tout réel $\lambda$ : $\begin{aligned} \tr(A + B) &= \tr(A) + \tr(B),\\ \tr(\lambda A) &= \lambda\,\tr(A). \end{aligned}$

C'est immédiat coefficient par coefficient. On a aussi $\tr({}^t A) = \tr(A)$ , puisque la transposition ne change pas la diagonale.

3.3La propriété Tr(AB) = Tr(BA)

Propriété 3.3Permutation des facteurs

Pour toutes matrices carrées $A$ et $B$ d'ordre $n$ , $\tr(AB) = \tr(BA)$ .

Démonstration

Le coefficient d'indice $(i, i)$ de $AB$ vaut $\sum_k a_{i,k} b_{k,i}$ . Donc $\tr(AB) = \sum_{i}\sum_{k} a_{i,k}\, b_{k,i}.$ De même $\tr(BA) = \sum_{k}\sum_{i} b_{k,i}\, a_{i,k}.$ Les deux sommes portent sur les mêmes termes, dans un ordre différent. Elles sont égales.

Attention

En général $\tr(ABC)$ n'est pas égal à $\tr(ACB)$ . Seule la permutation circulaire est licite.

3.4Invariance par changement de base

Propriété 3.4Invariance de la trace

Hypothèses

$A$ est une matrice carrée ;
$P$ est une matrice inversible de même ordre.

Alors $\tr(P^{-1} A P) = \tr(A)$ .

Démonstration

On applique la propriété précédente avec les deux matrices $P^{-1}A$ et $P$ : $\begin{aligned} \tr((P^{-1}A)\,P) &= \tr(P\,(P^{-1}A))\\ &= \tr(A). \end{aligned}$

Conséquence : toutes les matrices d'un même endomorphisme $f$ , dans toutes les bases, ont la même trace. On peut donc parler de la trace de $f$ .

3.5À quoi cela sert

Si une matrice $A$ d'ordre $n$ est diagonalisable, elle est semblable à une matrice diagonale $D$ dont les coefficients diagonaux sont les valeurs propres, chacune répétée autant de fois que la dimension du sous-espace propre associé. La trace de $A$ est alors la somme de ces valeurs propres, comptées avec ces multiplicités. C'est un excellent moyen de contrôler un calcul de valeurs propres.

Exemple 3.5Contrôle par la trace

La matrice de lignes $(1, 3)$ et $(3, 1)$ a pour trace $2$ , et ses valeurs propres sont $4$ et $-2$ , de somme $2$ .

Méthodes

MéthodeMontrer qu'une somme de $k$ sous-espaces est directe

Partir d'une égalité $x_1 + \dots + x_k = 0$ avec $x_i \in F_i$ , et prouver que tous les $x_i$ sont nuls.
Si des bases sont disponibles, montrer plutôt que la concaténation est libre.
Si on connaît déjà la somme et les dimensions, utiliser l'un des deux critères pratiques.

MéthodeMontrer que $E$ est somme directe de $k$ sous-espaces

Deux stratégies :

Prouver la somme directe, puis comparer la somme des dimensions à $\dim E$ .
Ou prouver que tout vecteur se décompose, en exhibant la décomposition, puis prouver l'unicité.

MéthodeÉcrire une matrice de passage

Exprimer chaque vecteur de la nouvelle base dans l'ancienne.
Ranger ces coordonnées en colonnes.
Vérifier que la matrice obtenue est inversible, ce qui confirme que la nouvelle famille est bien une base.

MéthodeChanger de base pour un endomorphisme

Écrire $\mathrm{Mat}_B(f)$ dans la base la plus simple, souvent la base canonique.
Écrire $P$ avec la nouvelle base en colonnes.
Calculer $P^{-1}$ puis $P^{-1} A P$ .

Dans les exercices de réduction, on procède souvent dans l'autre sens : on cherche la base $B'$ pour que $\mathrm{Mat}_{B'}(f)$ soit diagonale, et on écrit $A = P D P^{-1}$ .

MéthodeContrôler un résultat avec la trace

Après avoir diagonalisé, vérifier que la somme des coefficients diagonaux de $D$ est égale à la trace de $A$ . Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur.

MéthodeCalculer les puissances d'une matrice

Si $A = P D P^{-1}$ , alors $A^k = P D^k P^{-1}$ , et $D^k$ s'obtient en élevant chaque coefficient diagonal à la puissance $k$ .

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Définir la somme directe de $k$ sous-espaces et prouver la caractérisation par la décomposition du vecteur nul.
Donner le contre-exemple de trois droites de $\R^2$ deux à deux d'intersection nulle dont la somme n'est pas directe.
Démontrer que la somme est directe si et seulement si la concaténation des bases est libre, et en déduire la formule des dimensions.
Écrire la matrice de passage entre deux bases d'un espace de dimension 2 ou 3, calculer son inverse, et l'utiliser pour changer les coordonnées d'un vecteur.
Établir la formule $\mathrm{Mat}_{B'}(f) = P^{-1}\,\mathrm{Mat}_B(f)\,P$ à partir de la relation sur les coordonnées.
Démontrer $\tr(AB) = \tr(BA)$ par un calcul de somme double.
En déduire l'invariance de la trace par similitude, et l'utiliser pour vérifier un calcul de valeurs propres.
Montrer que deux matrices semblables ont le même rang et les mêmes puissances à conjugaison près.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Une somme F₁ + … + F_k est directe si et seulement si la seule décomposition du vecteur nul est la décomposition triviale. Exigible avec démonstration, par différence de deux décompositions.
Pour k = 2, la somme est directe si et seulement si F₁ ∩ F₂ = {0}. Exigible. Pour k ≥ 3, ce critère par intersections deux à deux est faux, contre-exemple exigible.
La somme est directe si et seulement si la concaténation de bases des F_i est une famille libre. Dans ce cas cette concaténation est une base de la somme. Exigible avec démonstration.
Dimension d'une somme directe, dim(F₁ ⊕ … ⊕ F_k) = Σ dim F_i. Exigible, conséquence immédiate du résultat précédent.
Si E est de dimension finie et si la somme des F_i est directe avec Σ dim F_i = dim E, alors E = F₁ ⊕ … ⊕ F_k. Exigible, critère de dimension.
Base adaptée à une somme directe. Si f laisse chaque F_i stable, sa matrice dans une base adaptée est diagonale par blocs. Exigible comme énoncé.
Matrice de passage P_B,B', ses colonnes sont les coordonnées des vecteurs de B' dans B. Elle est inversible et P_B',B = (P_B,B')⁻¹. Exigible.
Formule des coordonnées, X_B = P_B,B' X_B'. Exigible avec démonstration, en décomposant chaque vecteur de B' sur B.
Formule de changement de base pour un endomorphisme, Mat_B'(f) = P⁻¹ Mat_B(f) P avec P = P_B,B'. Exigible avec démonstration à partir de la formule des coordonnées.
Deux matrices A et B sont semblables s'il existe P inversible avec B = P⁻¹ A P. C'est le cas si et seulement si elles représentent un même endomorphisme dans deux bases. Exigible.
Deux matrices semblables ont le même rang, la même trace, et leurs puissances sont semblables via le même P. Exigible, B^k = P⁻¹ A^k P.
Linéarité de la trace, Tr(A + B) = Tr A + Tr B et Tr(λA) = λ Tr A. Exigible, immédiate.
Tr(AB) = Tr(BA) pour A, B carrées de même ordre. Exigible avec démonstration par somme double.
Invariance par changement de base, Tr(P⁻¹ A P) = Tr A. Exigible avec démonstration en deux lignes à partir du résultat précédent.
Hors programme, à signaler si un exercice les demande, le déterminant, le polynôme caractéristique, la dimension de l'espace des matrices de trace nulle comme résultat de cours, et Tr(ABC) = Tr(BCA) autrement que comme conséquence directe de Tr(XY) = Tr(YX).

Clés de démonstration

Caractérisation par le vecteur nul. Si x = x₁ + … + x_k = y₁ + … + y_k, alors (x₁ − y₁) + … + (x_k − y_k) = 0 avec x_i − y_i dans F_i. Si seule la décomposition triviale de 0 existe, x_i = y_i pour tout i. Astuce, l'unicité pour tout vecteur se ramène à l'unicité pour le seul vecteur nul, par différence.

Concaténation de bases. Une combinaison linéaire nulle des vecteurs concaténés se regroupe par paquets, le paquet i donne un vecteur x_i de F_i, et Σ x_i = 0. Si la somme est directe, chaque x_i est nul, donc chaque paquet de coefficients est nul par liberté de B_i. Astuce, regrouper les termes par sous-espace avant de conclure.

Formule des coordonnées. Si x = Σ x'_j e'_j et e'_j = Σ p_i,j e_i, alors x = Σ_i (Σ_j p_i,j x'_j) e_i, ce qui est le produit P X'. Astuce, la colonne j de P est le vecteur e'_j lu dans B.

Changement de base d'un endomorphisme. Pour tout x, Y_B = A X_B avec A = Mat_B(f). On remplace X_B = P X_B' et Y_B = P Y_B', on obtient P Y_B' = A P X_B', donc Y_B' = P⁻¹ A P X_B' pour tout X_B'. Astuce, une matrice qui vérifie Y = M X pour toute colonne X est la matrice de f dans la base concernée.

Tr(AB) = Tr(BA). Le coefficient (i, i) de AB vaut Σ_k a_i,k b_k,i. Donc Tr(AB) = Σ_i Σ_k a_i,k b_k,i. De même Tr(BA) = Σ_k Σ_i b_k,i a_i,k. Les deux sommes doubles contiennent les mêmes termes. Astuce, échanger l'ordre de deux sommes finies est toujours licite.

Invariance de la trace. Tr(P⁻¹ A P) = Tr((P⁻¹ A) P) = Tr(P (P⁻¹ A)) = Tr(A). Astuce, grouper P⁻¹A comme une seule matrice et appliquer Tr(XY) = Tr(YX).

Exemples et contre-exemples à connaître

Dans R², les trois droites engendrées par (1, 0), (0, 1) et (1, 1) sont deux à deux d'intersection nulle, mais leur somme n'est pas directe, car (1, 0) + (0, 1) − (1, 1) = 0. Pour k ≥ 3, on ne raisonne jamais par intersections deux à deux.
R_n[x] est la somme directe des polynômes pairs et des polynômes impairs. Un polynôme s'écrit de façon unique comme somme de sa partie paire et de sa partie impaire.
M_n(R) est la somme directe des matrices symétriques et des matrices antisymétriques, avec A = (A + ᵗA)/2 + (A − ᵗA)/2, de dimensions n(n + 1)/2 et n(n − 1)/2.
Si p est un projecteur, E = ker p ⊕ Im p, et dans une base adaptée sa matrice est diagonale avec des 1 puis des 0. Sa trace est donc son rang.
La matrice nulle et la matrice N d'ordre 2 de lignes (0, 1) et (0, 0) ont même trace, même spectre, et ne sont pas semblables, car toute matrice semblable à 0 est nulle. La trace ne caractérise pas la classe de similitude.
I_n n'est semblable qu'à elle-même, puisque P⁻¹ I P = I. Une matrice scalaire a une seule représentation, quelle que soit la base.
Tr(AB) = Tr(BA) n'implique pas AB = BA. Avec A de lignes (0, 1) et (0, 0), B de lignes (0, 0) et (1, 0), on a AB de lignes (1, 0) et (0, 0), BA de lignes (0, 0) et (0, 1), différentes et de même trace 1.
La matrice de passage de la base canonique (1, x, x²) de R₂[x] à la base (1, x − 1, (x − 1)²) a pour colonnes (1, 0, 0), (−1, 1, 0), (1, −2, 1). C'est la formule de Taylor en 1 lue en colonnes.
Il n'existe pas de matrices A et B carrées avec AB − BA = I_n, car la trace du membre de gauche est nulle et celle du membre de droite vaut n.
Tr(ᵗA A) = Σ a_i,j² pour toute matrice carrée A. Donc Tr(ᵗA A) = 0 impose A = 0. Ce calcul apparaît dans les exercices d'algèbre bilinéaire.

Techniques du chapitre

Montrer qu'une somme est directe par le vecteur nul. Mini-exercice, dans R³, F = Vect((1, 0, 0)), G = Vect((0, 1, 0)), H = Vect((1, 1, 1)). Si a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(1, 1, 1) = 0, la troisième coordonnée donne c = 0, puis a = b = 0. Somme directe, et de dimension 3, donc R³ = F ⊕ G ⊕ H.

Concaténer des bases. Mini-exercice, dans R₂[x], P = Vect(1, x²) et I = Vect(x). La famille (1, x², x) est une base de R₂[x], donc R₂[x] = P ⊕ I.

Décomposer explicitement. Mini-exercice, dans M₂(R), écrire A de lignes (1, 2) et (0, 3) comme somme d'une symétrique et d'une antisymétrique. S = (A + ᵗA)/2 a pour lignes (1, 1) et (1, 3), et K = (A − ᵗA)/2 a pour lignes (0, 1) et (−1, 0). On vérifie S + K = A.

Écrire une matrice de passage et l'inverser. Mini-exercice, B' = ((1, 1), (1, −1)) dans R². P a pour colonnes (1, 1) et (1, −1). Comme P² = 2I, P⁻¹ = P/2. Les coordonnées de (3, 1) dans B' sont P⁻¹(3, 1) = (2, 1), et on vérifie 2(1, 1) + 1(1, −1) = (3, 1).

Changer de base pour un endomorphisme. Mini-exercice, f(x, y) = (x + 2y, 2x + y), A de lignes (1, 2) et (2, 1). Avec le P précédent, P⁻¹ A P = (1/2) P A P. On calcule AP de colonnes (3, 3) et (−1, 1), puis P(AP)/2 de colonnes (3, 0) et (0, −1). Donc Mat_B'(f) = diag(3, −1). Contrôle, trace 2 des deux côtés.

Vérifier une diagonalisation avec la trace. Mini-exercice, si l'on trouve pour la matrice de lignes (2, 1) et (1, 2) les valeurs propres 3 et 1, la trace 4 = 3 + 1 confirme. Si l'on avait trouvé 3 et 2, la trace aurait détecté l'erreur.

Utiliser Tr(AB) = Tr(BA). Mini-exercice, si A est une matrice colonne fois ligne, A = X ᵗY avec X, Y dans M_n,1(R), alors Tr(A) = Tr(X ᵗY) = Tr(ᵗY X) = ᵗY X, qui est un réel. La trace d'une matrice de rang 1 se calcule en un produit scalaire.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Somme directe de trois sous-espaces

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Dans R³, on pose F = {(x, y, z), x + y + z = 0}, G = Vect((1, 1, 1)). (a) Montrer que R³ = F ⊕ G. (b) Décomposer le vecteur (1, 2, 3).

Technique intersection nulle et dimensions pour k = 2, puis calcul explicite.

Voir le corrigé

(a) F est un plan, de dimension 2, G une droite. Si (x, y, z) est dans F ∩ G, alors x = y = z = t et 3t = 0, donc t = 0. La somme est directe, et 2 + 1 = 3, donc R³ = F ⊕ G. 2. (b) On cherche t avec (1, 2, 3) − t(1, 1, 1) dans F, soit 6 − 3t = 0, t = 2. Donc (1, 2, 3) = (−1, 0, 1) + (2, 2, 2).

piège : Prouver l'intersection nulle et oublier l'argument de dimension, ce qui ne donne pas la somme égale à R³.

Exercice 2. Symétriques et antisymétriques

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Montrer que M_n(R) = S_n(R) ⊕ A_n(R), où S_n et A_n désignent les matrices symétriques et antisymétriques.

Technique décomposition explicite et unicité par l'intersection.

Voir le corrigé

S_n et A_n sont des sous-espaces, stables par combinaison linéaire car la transposition est linéaire. 2. Si M est symétrique et antisymétrique, ᵗM = M = −M donc M = 0, l'intersection est nulle. 3. Pour toute M, S = (M + ᵗM)/2 est symétrique, K = (M − ᵗM)/2 est antisymétrique, et S + K = M. La somme est donc M_n(R) tout entier.

piège : Ne prouver que l'intersection nulle sans exhiber la décomposition, ou l'inverse.

Exercice 3. Noyau et image d'un projecteur

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit p un endomorphisme de E, de dimension finie, tel que p ∘ p = p. (a) Montrer que E = ker p ⊕ Im p. (b) En déduire que dans une base adaptée, la matrice de p est diagonale avec des 1 et des 0, et que Tr(p) = rg(p).

Technique écrire x = (x − p(x)) + p(x).

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(a) Si x est dans ker p ∩ Im p, alors x = p(y) pour un y, et p(x) = p(p(y)) = p(y) = x, or p(x) = 0, donc x = 0. 2. Pour tout x, x − p(x) est dans ker p car p(x − p(x)) = p(x) − p(x) = 0, et p(x) est dans Im p. Donc E = ker p + Im p, et la somme est directe. 3. (b) On concatène une base (u₁, …, u_r) de Im p et une base de ker p. Chaque u_i s'écrit p(y_i), donc p(u_i) = u_i. Chaque vecteur du noyau est envoyé sur 0. La matrice est diag(1, …, 1, 0, …, 0) avec r fois 1, et Tr(p) = r = rg(p), la trace ne dépendant pas de la base.

piège : Écrire E = ker p ⊕ Im p par le théorème du rang, qui donne seulement l'égalité des dimensions, pas l'intersection nulle.

Exercice 4. Symétrie et somme directe

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit s un endomorphisme de E tel que s ∘ s = Id_E. Montrer que E = ker(s − Id) ⊕ ker(s + Id).

Technique décomposition explicite x = (x + s(x))/2 + (x − s(x))/2.

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Si x est dans les deux noyaux, s(x) = x et s(x) = −x, donc 2x = 0, x = 0. 2. Pour tout x, u = (x + s(x))/2 vérifie s(u) = (s(x) + x)/2 = u, donc u est dans ker(s − Id). De même v = (x − s(x))/2 vérifie s(v) = −v. Et u + v = x. 3. La somme est directe et vaut E.

piège : Oublier le facteur 1/2, ce qui donne bien deux vecteurs des bons noyaux mais dont la somme est 2x.

Exercice 5. Matrice de passage dans R₂[x]

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Dans R₂[x], soit B = (1, x, x²) et B' = (1, 1 + x, 1 + x + x²). (a) Justifier que B' est une base. (b) Écrire P = P_B,B' et P⁻¹. (c) Donner les coordonnées de 2 + 3x + x² dans B'.

Technique colonnes de P, résolution triangulaire.

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(a) Les trois polynômes ont des degrés 0, 1, 2 échelonnés, donc la famille est libre, et elle a trois vecteurs dans un espace de dimension 3. 2. (b) P a pour colonnes (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1). Elle est triangulaire à diagonale non nulle, donc inversible. On inverse en remontant, 1 = 1, x = (1 + x) − 1, x² = (1 + x + x²) − (1 + x). P⁻¹ a pour colonnes (1, 0, 0), (−1, 1, 0), (0, −1, 1). 3. (c) Les coordonnées dans B' sont P⁻¹(2, 3, 1) = (−1, 2, 1). Vérification, −1 + 2(1 + x) + (1 + x + x²) = 2 + 3x + x².

piège : Écrire les vecteurs de B' en lignes au lieu de colonnes, ce qui donne la transposée.

Exercice 6. Trace et commutateur

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

(a) Montrer qu'il n'existe pas de matrices A, B de M_n(R) telles que AB − BA = I_n. (b) Montrer que si A est une matrice carrée telle que Tr(AM) = 0 pour toute matrice M, alors A = 0.

Technique trace du commutateur, choix de M parmi les matrices élémentaires.

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(a) Tr(AB − BA) = Tr(AB) − Tr(BA) = 0, alors que Tr(I_n) = n ≥ 1. 2. (b) Soit E_i,j la matrice avec un 1 en position (i, j) et des 0 ailleurs. Le produit A E_i,j a pour seule colonne non nulle la colonne j, égale à la colonne i de A. Sa trace est donc a_j,i. 3. L'hypothèse donne a_j,i = 0 pour tout couple, donc A = 0.

piège : Dans (b), tester seulement M = A ou M = I, ce qui ne suffit pas.

Exercice 7. Matrice de rang 1

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Soient X et Y deux colonnes non nulles de M_n,1(R) et A = X ᵗY. (a) Montrer que A est de rang 1. (b) Montrer que A² = Tr(A) A. (c) En déduire A^k pour k ≥ 1.

Technique associativité du produit, ᵗY X est un réel.

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(a) Toute colonne de A est un multiple de X, donc Im A ⊂ Vect(X), et A ≠ 0 car X et Y sont non nulles, ᵗY ayant un coefficient non nul. Le rang vaut 1. 2. (b) A² = X (ᵗY X) ᵗY = (ᵗY X) X ᵗY = (ᵗY X) A, et ᵗY X = Tr(ᵗY X) = Tr(X ᵗY) = Tr(A). 3. (c) Par récurrence, A^k = Tr(A)^k−1 A pour k ≥ 1. Si Tr(A) = 0, A² = 0.

piège : Oublier que ᵗY X est un scalaire et vouloir le garder au milieu du produit.

Exercice 8. Réduction à une matrice nilpotente élémentaire

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Soit N une matrice non nulle de M₂(R) telle que N² = 0. Montrer que N est semblable à la matrice de lignes (0, 1) et (0, 0).

Technique construire une base adaptée à partir d'un vecteur dont l'image est non nulle.

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N ≠ 0, donc il existe une colonne X avec NX ≠ 0. On pose e₂ = X et e₁ = NX. 2. La famille (e₁, e₂) est libre, car si a e₁ + b e₂ = 0, on applique N, ce qui donne b NX = 0 puisque N e₁ = N²X = 0, donc b = 0, puis a = 0. 3. C'est une base de M_2,1(R). Dans cette base, N e₁ = 0 et N e₂ = e₁, donc la matrice de l'endomorphisme X ↦ NX est celle de l'énoncé. La matrice de passage P de colonnes e₁, e₂ vérifie P⁻¹ N P égale cette matrice.

piège : Prendre e₁ = X et e₂ = NX, ce qui donne la transposée. L'ordre des vecteurs dans la base fixe la forme de la matrice.

Exercice 9. Sous-espaces stables et matrice diagonale par blocs

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Soit f l'endomorphisme de R³ de matrice A dans la base canonique, A ayant pour lignes (1, 1, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 2). Soit F = Vect((1, 0, 0), (0, 1, 0)) et G = Vect((0, 0, 1)). (a) Montrer que F et G sont stables par f et que R³ = F ⊕ G. (b) Trouver une base de F dans laquelle la restriction de f est diagonale, et en déduire une base B' de R³ avec Mat_B'(f) diagonale.

Technique traiter les blocs séparément, concaténer.

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(a) f(1, 0, 0) = (1, 1, 0) et f(0, 1, 0) = (1, 1, 0) sont dans F, f(0, 0, 1) = (0, 0, 2) est dans G. La concaténation des bases est la base canonique, donc R³ = F ⊕ G. 2. (b) Sur F, la matrice est de lignes (1, 1) et (1, 1). On cherche (a, b) avec f(a, b, 0) = λ(a, b, 0), soit a + b = λa et a + b = λb. Avec (1, 1, 0), λ = 2. Avec (1, −1, 0), λ = 0. 3. B' = ((1, 1, 0), (1, −1, 0), (0, 0, 1)) est une base, et Mat_B'(f) = diag(2, 0, 2). Contrôle, trace de A égale 4, trace de la diagonale 4.

piège : Oublier de vérifier que B' est bien une base de R³ avant d'écrire une matrice dedans.

Exercice 10. Matrices semblables et puissances

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, type EDHEC

Soit A la matrice de lignes (5, −2) et (6, −2), et B = diag(2, 1). (a) Trouver P inversible avec A = P B P⁻¹. (b) En déduire Aⁿ pour tout n. (c) Justifier que Aⁿ − 2ⁿ I est de rang au plus 1.

Technique résoudre AX = λX, ranger en colonnes, conjuguer les puissances.

Voir le corrigé

(a) AX = 2X donne 3x − 2y = 0, on prend X₁ = (2, 3). AX = X donne 4x − 2y = 0, on prend X₂ = (1, 2). P de colonnes X₁, X₂ a pour lignes (2, 1) et (3, 2), inversible car 2 × 2 − 1 × 3 = 1 ≠ 0, et AP = PB par construction, donc A = P B P⁻¹. 2. (b) Aⁿ = P Bⁿ P⁻¹ avec Bⁿ = diag(2ⁿ, 1). P⁻¹ a pour lignes (2, −1) et (−3, 2). Le calcul donne Aⁿ de lignes (4 × 2ⁿ − 3, −2 × 2ⁿ + 2) et (6 × 2ⁿ − 6, −3 × 2ⁿ + 4). Contrôle n = 1, on retrouve A. 3. (c) Aⁿ − 2ⁿ I = P(Bⁿ − 2ⁿ I)P⁻¹ = P diag(0, 1 − 2ⁿ) P⁻¹, semblable à une matrice de rang au plus 1, donc de rang au plus 1.

piège : Écrire A = P⁻¹ B P avec P construit par colonnes de vecteurs propres, ce qui inverse le sens.

Exercice 11. Trace et dimension de l'espace des matrices de trace nulle

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit HEC ou ESSEC

Soit T l'ensemble des matrices de M_n(R) de trace nulle. (a) Montrer que T est un sous-espace vectoriel et donner sa dimension. (b) Montrer que M_n(R) = T ⊕ Vect(I_n). (c) Soit f un endomorphisme de M_n(R) défini par f(M) = M − Tr(M) I_n / n. Montrer que f est un projecteur et préciser son noyau et son image.

Technique noyau d'une application linéaire non nulle vers R, décomposition explicite.

Voir le corrigé

(a) La trace est une application linéaire de M_n(R) dans R, non nulle puisque Tr(I_n) = n. Son image est R, de dimension 1, donc par le théorème du rang T = ker(Tr) est de dimension n² − 1. 2. (b) I_n n'est pas de trace nulle, donc T ∩ Vect(I_n) = {0}. Les dimensions donnent n² − 1 + 1 = n², donc la somme directe est M_n(R). Explicitement, M = (M − Tr(M) I_n / n) + Tr(M) I_n / n. 3. (c) f est linéaire par linéarité de la trace. Tr(f(M)) = Tr(M) − Tr(M) = 0, donc f(M) est dans T, et f(N) = N pour N dans T, donc f(f(M)) = f(M). f est le projecteur sur T parallèlement à Vect(I_n), son image est T et son noyau est Vect(I_n).

piège : Affirmer dim T = n² − 1 sans argument, le théorème du rang appliqué à la trace est attendu.

Erreurs fréquentes

Prouver qu'une somme de trois sous-espaces est directe par intersections deux à deux.
Conclure E = F ⊕ G avec la seule intersection nulle, sans dimension ni décomposition explicite.
Écrire les vecteurs de la nouvelle base en lignes dans la matrice de passage, ou confondre P et P⁻¹ dans Mat_B'(f) = P⁻¹ Mat_B(f) P.
Déduire AB = BA de Tr(AB) = Tr(BA), ou permuter trois matrices dans une trace sans passer par une permutation circulaire.
Croire que deux matrices de même trace et même spectre sont semblables, alors que 0 et la matrice nilpotente élémentaire en sont le contre-exemple.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel d'ECG deuxième année, mathématiques approfondies (2021), enseignement du troisième semestre, partie I « Algèbre linéaire et bilinéaire », paragraphe 1 « Compléments d'algèbre linéaire ». Elle couvre la somme directe de $k$ sous-espaces vectoriels, le changement de base et la trace. Les éléments propres et la réduction font l'objet du chapitre suivant.

Compléments d’algèbre linéaire

Résumé en cinq points

1Somme directe de k sous-espaces vectoriels

1.1Somme de k sous-espaces

1.2Somme directe

1.3Le piège des intersections deux à deux

1.4Concaténation de bases, base adaptée

1.5Dimension d'une somme directe

1.6Critères pratiques quand E est de dimension finie

2Matrice d'un endomorphisme et changement de base

2.1Matrice d'un endomorphisme dans une base

2.2Matrice de passage

2.3Changement de coordonnées d'un vecteur

2.4Formule de changement de base pour un endomorphisme

2.5Matrices semblables

3Trace d'une matrice carrée

3.1Définition

3.2Linéarité

3.3La propriété Tr(AB) = Tr(BA)

3.4Invariance par changement de base

3.5À quoi cela sert

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Somme directe de trois sous-espaces

Exercice 2. Symétriques et antisymétriques

Exercice 3. Noyau et image d'un projecteur

Exercice 4. Symétrie et somme directe

Exercice 5. Matrice de passage dans R2[x]

Exercice 6. Trace et commutateur

Exercice 7. Matrice de rang 1

Exercice 8. Réduction à une matrice nilpotente élémentaire

Exercice 9. Sous-espaces stables et matrice diagonale par blocs

Exercice 10. Matrices semblables et puissances

Exercice 11. Trace et dimension de l'espace des matrices de trace nulle

Erreurs fréquentes

Exercice 5. Matrice de passage dans R₂[x]