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ECG1 · Maths approfondies · semaine 32

Convergences et approximations

Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev pour les variables discrètes. Loi faible des grands nombres. Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson, ni la convergence en probabilité ni la convergence en loi ne sont au programme de première année.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. L'inégalité de Markov majore P(X⩾λ)\P(X\geqslant\lambda) par E(X)/λ\E(X)/\lambda pour une variable positive admettant une espérance.
  2. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev en découle et majore la probabilité d'un écart d'au moins ε\varepsilon à l'espérance par V(X)/ε2\V(X)/\varepsilon^2.
  3. Ces majorations valent pour toutes les lois, donc elles sont grossières, et on ne les emploie que faute de mieux.
  4. La loi faible des grands nombres dit que la probabilité que la moyenne empirique s'écarte de l'espérance d'au moins ε\varepsilon tend vers 00, ce qui justifie l'estimation d'une probabilité par une fréquence.
  5. La loi binomiale B(n,λ/n)\mathcal B(n,\lambda/n) a des probabilités ponctuelles qui tendent vers celles de la loi de Poisson de paramètre λ\lambda, ce qui fournit une approximation commode pour les événements rares.
Pourquoi ce chapitre

Ce chapitre clôt l'année de probabilités en répondant à la question qui la motivait depuis le début : quel lien y a-t-il entre une probabilité, qui est un nombre théorique, et une fréquence, qui est une observation ?

  • Deux inégalités d'abord, celle de Markov et celle de Bienaymé-Tchebychev, qui majorent la probabilité de s'écarter de la moyenne à partir de la seule connaissance de l'espérance et de la variance.
  • Une conséquence ensuite, la loi faible des grands nombres, qui affirme que la moyenne de nn observations indépendantes se concentre autour de l'espérance commune.
  • Un résultat d'approximation enfin : la loi binomiale de petit paramètre se comporte comme une loi de Poisson.

Ces énoncés justifient les simulations informatiques du programme, où l'on estime une probabilité difficile par une fréquence observée.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Inégalités de concentration 3

Exercice 1. Trois majorations comparées ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

XX suit la loi géométrique de paramètre 1/21/2 sur N∗\mathbb{N}^*. Majorer P(X≥10)P(X \geq 10) par Markov, puis par Bienaymé-Tchebychev, puis calculer la valeur exacte.

Voir l'indice

Technique comparer la qualité des bornes.

Voir le corrigé offert
  1. E(X)=1/p=2E(X) = 1/p = 2 et XX est positive, donc Markov donne P(X≥10)≤0,2P(X \geq 10) \leq 0{,}2.
  2. V(X)=(1−p)/p2=2V(X) = (1 - p)/p^2 = 2. Comme [X≥10]⊂[∣X−2∣≥8][X \geq 10] \subset [|X - 2| \geq 8], on obtient P(X≥10)≤2/64≈0,031P(X \geq 10) \leq 2/64 \approx 0{,}031.
  3. Exactement, P(X≥10)=P(X>9)=(1/2)9=1/512≈0,002.P(X \geq 10) = P(X > 9) = (1/2)^9 = 1/512 \approx 0{,}002.
  4. Conclusion : les bornes générales sont très pessimistes, on ne les emploie pas quand la loi est connue.

piège : Écrire P(X≥10)=(1/2)10P(X \geq 10) = (1/2)^{10} en oubliant que X≥10X \geq 10 équivaut à X>9X > 9.

Exercice 2. Minoration d'une probabilité binomiale ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

XX suit la loi B(100,12)\mathcal{B}(100, \frac{1}{2}).

Montrer que P(40<X<60)≥0,75P(40 < X < 60) \geq 0{,}75.

Voir le début du corrigé
  1. E(X)=50E(X) = 50 et V(X)=100×1/4=25V(X) = 100 \times 1/4 = 25.

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Exercice 3. Markov appliquée au carré ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

XX suit la loi de Poisson de paramètre 11.

Majorer P(X≥3)P(X \geq 3) par Markov, puis en appliquant Markov à X2X^2, puis comparer à la valeur exacte.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Approximation de Poisson 3

Exercice 5. Contrôle qualité ★

Application du cours · 15 min · Niveau écrit Ecricome

Une machine produit 500 pièces, chacune défectueuse avec probabilité 0,0040{,}004, indépendamment.

Donner une valeur approchée de la probabilité d'avoir au plus une pièce défectueuse, puis au moins trois.

Voir le début du corrigé
  1. Le nombre XX de défauts suit la loi binomiale de paramètres n=500n = 500 et p=0,004p = 0{,}004. …

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Exercice 4. Démonstration de l'approximation de Poisson ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau khôlle

Soit λ>0\lambda > 0 et, pour n≥λn \geq \lambda, XnX_n de loi B(n,λn)\mathcal{B}(n, \frac{\lambda}{n}).

Montrer que P(Xn=k)P(X_n = k) tend vers e−λλkk!\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} pour tout entier kk.

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Exercice 9. Approximation de Poisson généralisée ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit HEC

Soit (pn)(p_n) une suite de [0,1][0, 1] telle que npnn p_n tend vers λ>0\lambda > 0, et XnX_n de loi B(n,pn)\mathcal{B}(n, p_n).

Montrer que P(Xn=k)P(X_n = k) tend vers e−λλkk!\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} pour tout entier kk.

Voir le début du corrigé
  1. pn = (n pn)/n tend vers 0. Comme λ > 0, on a 0 < pn < 1 pour n assez grand. …

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Loi faible des grands nombres 2

Exercice 6. Taille d'un sondage ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

On interroge nn personnes tirées avec remise dans une population où la proportion pp d'avis favorables est inconnue.

FnF_n est la fréquence observée.

Trouver nn tel que P(∣Fn−p∣≥0,02)≤0,05P(|F_n - p| \geq 0{,}02) \leq 0{,}05 quel que soit pp.

Voir le début du corrigé
  1. FnF_n est la moyenne de nn variables de Bernoulli indépendantes de paramètre pp. …

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Exercice 7. Loi faible sans loi commune ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit BCE, type EDHEC

Soit (Xn)(X_n) une suite de variables de Bernoulli indépendantes, XiX_i de paramètre pip_i.

On pose mn=p1+⋯+pnn.m_n = \frac{p_1 + \cdots + p_n}{n}. Montrer que, pour tout ε>0\varepsilon > 0, P(∣X‾n−mn∣≥ε)P(|\overline{X}_n - m_n| \geq \varepsilon) tend vers 00.

Voir le début du corrigé
  1. Par linéarité, E(Xˉn)=mnE(\bar{X}_n) = m_n.

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Limite de somme 1

Exercice 8. Une limite de somme ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit BCE, type emlyon

Montrer que e−n∑k=0pnnkk!e^{-n} \sum_{k=0}^{p_n} \frac{n^k}{k!} tend vers 00, où pnp_n est la partie entière de n2\frac{n}{2}.

Voir le début du corrigé
  1. Soit XX de loi de Poisson de paramètre nn. …

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Approximation polynomiale 1

Exercice 10. Polynômes de Bernstein ★★★

Approfondissement · 40 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC

ff est continue sur [0,1][0, 1], xx est fixé dans [0,1][0, 1], et SnS_n suit la loi B(n,x)B(n, x).

On pose Bn(x)=∑k=0n(nk)xk(1−x)n−kf(kn).\begin{aligned} B_n(x) &= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k (1 - x)^{n-k} \\ &\quad f\left(\frac{k}{n}\right). \end{aligned} Montrer que Bn(x)B_n(x) tend vers f(x)f(x).

Voir le début du corrigé
  1. Par transfert, Bn(x)=E(f(Sn/n))B_n(x) = E(f(S_n/n)). …

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de la voie EC, mathématiques approfondies de première année, enseignement du second semestre, partie III « Probabilités sur un ensemble quelconque », paragraphe 5 « Convergences et approximations ». Le programme précise l'objectif : familiariser les étudiants avec ces notions sans définir la convergence en probabilité ni la convergence en loi, qui relèvent de la deuxième année.