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ECG1 · Maths appliquées · semaine 29

Variables aléatoires discrètes et moments

Variable aléatoire discrète à valeurs réelles, caractérisation de sa loi et loi de Y = g(X). Espérance, linéarité, positivité, théorème de transfert et variables centrées. Variance, écart-type, formule de Koenig-Huygens et variables centrées réduites.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. La loi d'une variable discrète est la donnée des P(X=x)\P(X=x), de somme 11, et pour Y=g(X)Y=g(X) on regroupe les antécédents.
  2. E(X)\E(X) est la somme des x P(X=x)x\,\P(X=x), qui n'existe dans le cas infini que si la série converge absolument.
  3. L'espérance est linéaire et positive, et E(aX+b)=aE(X)+b\E(aX+b)=a\E(X)+b.
  4. Le théorème de transfert calcule E(g(X))\E(g(X)) en sommant les g(x) P(X=x)g(x)\,\P(X=x), sans passer par la loi de g(X)g(X). En général, E(g(X))\E(g(X)) n'est pas g(E(X))g(\E(X)).
  5. V(X)=E(X2)−(E(X))2\V(X)=\E(X^2)-(\E(X))^2, V(aX+b)=a2V(X)\V(aX+b)=a^2\V(X), et la variable centrée réduite X∗=(X−E(X))/σ(X)X^*=(X-\E(X))/\sigma(X) a pour espérance 00 et pour variance 11.
Pourquoi ce chapitre

Décrire une variable aléatoire, c'est donner sa loi, c'est-à-dire la liste de ses valeurs et de leurs probabilités. Mais une loi complète est souvent trop d'information.

Pour comparer deux placements, deux stratégies de stock ou deux campagnes commerciales, on veut deux nombres :

  • combien en moyenne ;
  • avec quelle dispersion.

L'espérance et la variance répondent à ces deux questions.

Le chapitre installe leurs définitions, leurs règles de calcul et le théorème de transfert, qui permet de calculer l'espérance d'une fonction de XX sans déterminer la loi de cette fonction. Ces formules sont réutilisées en deuxième année pour les variables à densité.

Classiques et HP

Méthodes et approfondissements du chapitre · le statut est précisé pour ECG1.

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Prolongements et démonstrations de Maths appliquées.

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Encore 15 parties de cours et 13 corrigés.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Calcul de moments 3

Exercice 1. Loi à constante inconnue ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Soit n≥1n \geq 1 et XX à valeurs dans {1,…,n}\{1, \ldots, n\} avec P(X=k)=ck.P(X = k) = ck. Déterminer cc, puis E(X)E(X) et V(X)V(X).

Voir l'indice

Technique normaliser la loi, puis appliquer le transfert et Koenig-Huygens.

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  1. La somme des ckck vaut cn(n+1)/2=1c n(n + 1)/2 = 1, donc c=2/(n(n+1))c = 2/(n(n + 1)), qui est bien positif.

E(X)=c∑k2=cn(n+1)(2n+1)/6=(2n+1)/3.E(X) = c \sum k^2 = c n(n + 1)(2n + 1)/6 = (2n + 1)/3. 3. Par transfert, E(X2)=c∑k3E(X^2) = c \sum k^3. On utilise ∑k3=(n(n+1)/2)2\sum k^3 = (n(n + 1)/2)^2, qui se démontre par récurrence. On obtient E(X2)=n(n+1)/2E(X^2) = n(n + 1)/2. 4. V(X)=n(n+1)/2−(2n+1)2/9=(n2+n−2)/18=(n−1)(n+2)/18.V(X) = n(n + 1)/2 - (2n + 1)^2/9 = (n^2 + n - 2)/18 = (n - 1)(n + 2)/18. 5. Contrôle : pour n=1n = 1 on trouve 00, ce qui est normal pour une variable constante.

piège : Oublier de vérifier c≥0c \geq 0. Une loi exige des probabilités positives, pas seulement une somme égale à 11.

Exercice 3. Attente du premier 6 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

On lance un dé équilibré jusqu'à obtenir 6, et X est le nombre de lancers. Donner la loi de X, puis E(X) et V(X).

Voir le début du corrigé
  1. [X=k][X = k] signifie k−1k - 1 échecs suivis d'un 66, donc P(X=k)=(5/6)k−1(1/6)P(X = k) = (5/6)^{k - 1}(1/6) pour k≥1k \geq 1.

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Exercice 5. Série exponentielle ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

Soit λ>0\lambda > 0 et P(X=k)=e−λ λkk!pour k∈N.P(X = k) = e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^k}{k!} \quad \text{pour } k \in \N. Calculer E(X)E(X), V(X)V(X) et E(1X+1)E\left(\frac{1}{X + 1}\right).

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Loi d'une transformée 1

Exercice 2. Loi du carré ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

XX est uniforme sur {−n,…,n}\{-n, \ldots, n\}, avec n≥1n \geq 1.

Déterminer la loi de Y=X2Y = X^2, puis E(X)E(X) et V(X)V(X).

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Existence d'espérance 2

Exercice 4. Une loi sans espérance ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Soit P(X=k)=1k(k+1)pour k≥1.P(X = k) = \frac{1}{k(k + 1)} \quad \text{pour } k \geq 1. Montrer que c'est une loi, calculer P(X≥n)P(X \geq n), montrer que XX n'a pas d'espérance et que 1X\frac{1}{X} en a une.

Voir le début du corrigé
  1. On a 1/(k(k+1))=1/k−1/(k+1)1/(k(k + 1)) = 1/k - 1/(k + 1). …

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Exercice 9. Saint-Pétersbourg plafonné ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

On lance une pièce équilibrée jusqu'au premier pile, et XX est le rang de ce pile. Le gain 2X2^X a-t-il une espérance ? La banque plafonne le gain à 2m2^m, avec m≥1m \geq 1. Calculer l'espérance de min⁡(2X,2m)\min(2^X, 2^m).

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Formules d'espérance 1

Exercice 6. Espérance par les queues ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

XX est à valeurs dans {0,1,…,n}\{0, 1, \dots, n\}. Montrer que E(X)=∑k=1nP(X≥k)E(X) = \sum_{k=1}^{n} P(X \geq k). Application : espérance du maximum MM de deux lancers d'un dé.

Voir le début du corrigé
  1. P(X≥k)=∑P(X \geq k) = \sum de j=kj = k à nn de P(X=j)P(X = j).

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Inégalités sur la variance 2

Exercice 7. Meilleure prévision constante ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

XX admet une variance.

Étudier a↦E((X−a)2)a \mapsto E((X - a)^2).

En déduire que, si XX est à valeurs dans {0,1}\{0, 1\}, V(X)≤14V(X) \leq \frac{1}{4}.

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Exercice 10. Contrôler une probabilité par les moments ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type oral BCE, niveau HEC

Soit XX positive admettant une espérance, et a>0a > 0.

Montrer que P(X≥a)≤E(X)a.P(X \geq a) \leq \frac{E(X)}{a}. En déduire que, si XX admet une variance, P(∣X−m∣≥a)≤V(X)a2,P(|X - m| \geq a) \leq \frac{V(X)}{a^2}, où m=E(X)m = E(X).

Application : ventes d'espérance 100100 et d'écart-type 55.

Voir le début du corrigé
  1. E(X)=∑xP(X=x)≥∑E(X) = \sum x P(X = x) \geq \sum pour x≥ax \geq a de xP(X=x)x P(X = x), car on retire des termes positifs.

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Optimisation d'espérance 1

Exercice 8. Gestion de stock ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

La demande DD est uniforme sur {0,…,9}.\{0, \dots, 9\}. Un vendeur achète ss unités à 4,504{,}50 euros l'unité, avec ss entier entre 00 et 99, et les revend 1010 euros.

Les invendus sont perdus.

Le gain vaut Gs=10min⁡(D,s)−4,5 s.G_s = 10 \min(D, s) - 4{,}5\,s. Trouver le stock qui maximise E(Gs)E(G_s).

Voir le début du corrigé
  1. min⁡(D,s+1)−min⁡(D,s)\min(D, s + 1) - \min(D, s) vaut 11 si D≥s+1D \geq s + 1 et 00 sinon. …

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Classique du chapitre 1

Exercice classique. Deux piles consécutifs et surveillance par blocs ★★★

Classique du chapitre

On lance indéfiniment une pièce équilibrée ; les lancers sont indépendants. Pour n≥1n\geq1, on note Xn=1X_n=1 si le lancer nn donne pile et Xn=0X_n=0 sinon. On définit T=inf⁡{n≥2:Xn−1=Xn=1},T=\inf\{n\geq2:X_{n-1}=X_n=1\}, avec inf⁡∅=+∞\inf\varnothing=+\infty.

  1. Calculer P(T=2)\mathbb P(T=2), P(T=3)\mathbb P(T=3) et P(T=4)\mathbb P(T=4), en décrivant les suites de résultats possibles.

  2. On examine uniquement les blocs disjoints (X1,X2)(X_1,X_2), (X3,X4)(X_3,X_4), etc. Soit KK le numéro du premier bloc composé de deux piles, et soit D=2KD=2K le nombre de lancers effectués à la fin de ce bloc. Déterminer la loi de KK, calculer E(D)\mathbb E(D) et justifier que TT est intégrable.

  3. En distinguant la situation initiale et la situation où un pile vient d’être obtenu, établir un système de deux équations et calculer E(T)\mathbb E(T).

  4. Calculer E(D−T)\mathbb E(D-T) et expliquer pourquoi cette différence est possible alors que les deux règles recherchent une paire de piles consécutifs.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel d'ECG première année, mathématiques appliquées, enseignement du second semestre, partie IV « Probabilités, variables aléatoires réelles », paragraphe « Variables aléatoires discrètes », sous-parties « Variable aléatoire discrète à valeurs dans R\R » et « Moments d'une variable aléatoire discrète ».