Le cours

Résumé en cinq points

Bernoulli $\mathcal B(p)$ :
- valeurs $0$ et $1$ ;
- $\E(X)=p$ ;
- $\V(X)=p(1-p)$ .
Binomiale $\mathcal B(n,p)$ :
- nombre de succès en $n$ répétitions indépendantes ;
- $\P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}$ ;
- $\E(X)=np$ ;
- $\V(X)=np(1-p)$ .
Uniforme sur les entiers de $a$ $a$ à $b$ :
- chaque valeur a la probabilité $1/(b-a+1)$ ;
- $\E(X)=(a+b)/2$ ;
- $\V(X)=((b-a+1)^2-1)/12$ .
Géométrique $\mathcal G(p)$ :
- rang du premier succès ;
- $\P(X=k)=p(1-p)^{k-1}$ ;
- La loi géométrique est sans mémoire.
- $\E(X)=1/p$ ;
- $\V(X)=(1-p)/p^2$ .
Poisson $\mathcal P(\lambda)$ :
- $\P(X=k)=\e^{-\lambda}\lambda^k/k!$ ;
- événements rares ;
- $\E(X)=\V(X)=\lambda$ ;
- loi limite de $\mathcal B(n,\lambda/n)$ .

Pourquoi ce chapitre

Un petit nombre de lois décrit les situations rencontrées :

une expérience à deux issues donne la loi de Bernoulli ;
compter les succès dans $n$ répétitions indépendantes donne la loi binomiale ;
attendre le premier succès donne la loi géométrique ;
compter des événements rares sur une période donne la loi de Poisson ;
tirer au hasard parmi des possibilités équiprobables donne la loi uniforme.

Reconnaître une loi dans un énoncé, c'est disposer immédiatement de sa loi, de son espérance et de sa variance, sans aucun calcul.

Reconnaître la bonne loi suppose de connaître précisément les conditions d'application de chacune.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

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Tous 10 Application 1 Classiques 9

Reconnaissance de loi 1

Exercice 1. Reconnaître la loi ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Une urne contient 3 boules rouges et 7 blanches, numérotées de 1 à 10.

Donner la loi et l'espérance :

(a) du nombre de rouges en 5 tirages avec remise,
(b) du même nombre sans remise,
(c) du rang de la première rouge avec remise,
(d) du numéro d'une boule tirée,
(e) du nombre de blanches avant la première rouge, avec remise.

Voir l'indice

Technique confronter la situation aux conditions de chaque loi.

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(a) Cinq tirages indépendants de même probabilité $3/10$ : $X$ suit $B(5, 3/10)$ , et $E = 1{,}5$ .
(b) La probabilité de tirer une rouge change d'un tirage à l'autre, la loi n'est pas binomiale. On dénombre les parties de $5$ boules parmi $10$ : $P(X = k) = C(3, k) C(7, 5 - k)/C(10, 5)$ pour $k \in [[0, 3]]$ , soit $P(X = 0) = 1/12$ , $P(X = 1) = 5/12$ , $P(X = 2) = 5/12$ , $P(X = 3) = 1/12$ . D'où $E(X) = (5 + 10 + 3)/12 = 3/2$ , comme avec remise.
(c) Rang du premier succès en épreuves indépendantes : $G(3/10)$ , et $E = 10/3$ .
(d) $U([[1, 10]])$ , avec $E = 5{,}5$ et $V = 99/12$ .
(e) $Y = X - 1$ , où $X$ est le rang de (c), est à valeurs dans $N$ , avec $P(Y = k) = (3/10)(7/10)^k$ , et $E(Y) = 10/3 - 1 = 7/3$ . Là où les élèves se trompent : annoncer $B(5, 3/10)$ dans le cas sans remise.

Calcul de probabilité 3

Exercice 2. Au moins un succès ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Combien de lancers d'un dé équilibré faut-il pour que la probabilité d'obtenir au moins un six dépasse 0,99 ?

Voir le début du corrigé

Le nombre de six en $n$ lancers suit $B(n, 1/6)$ , et $P(\text{au moins un six}) = 1 - (5/6)^n$ .

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Exercice 4. Parité d'une géométrique ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

X suit G(p). Calculer P(X pair).

Voir le début du corrigé

Par additivité dénombrable, $P(X \text{ pair}) = \sum$ pour $j \geq 1$ de $P(X = 2j) = \sum p q^{2j-1}$ .

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Exercice 6. Parité d'une Poisson ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau écrit Ecricome

$X$ suit $\mathcal{P}(\lambda)$ .

Calculer $P(X \text{ pair})$ et montrer qu'elle dépasse strictement $\frac{1}{2}$ .

Voir le début du corrigé

$P(X \text{ pair}) = e^{-\lambda} \sum$ pour $j \geq 0$ de $\lambda^{2j}/(2j)!$ .

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Espérance d'une fonction 2

Exercice 3. Une espérance qui peut ne pas exister ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

$X$ suit $\mathcal{G}(p)$ et $a > 0$ . Étudier l'existence de $E(a^X)$ et la calculer. Traiter le cas $p = 1/2$ et $a = 2$ .

Voir le début du corrigé

Les termes étant positifs, $E(a^x)$ existe si et seulement si $\sum a^k p q^{k-1}$ converge.

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Exercice 5. Espérance d'un inverse ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

$X$ suit $\mathcal{P}(\lambda)$ .

Montrer que $\frac{1}{1 + X}$ admet une espérance et la calculer.

Voir le début du corrigé

La variable $1/(1 + X)$ est bornée par $1$ , donc la série de transfert converge absolument.

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Loi du maximum 1

Exercice 7. Maximum de deux tirages uniformes ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit CCINP ou e3a

On tire deux fois avec remise un entier uniformément dans $[\![1, n]\!]$ , et $M$ désigne le plus grand résultat.

Déterminer la loi et l'espérance de $M$ .

Voir le début du corrigé

$[M \leq k]$ signifie que les deux tirages sont au plus $k$ . …

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Approximation de Poisson 1

Exercice 8. De la binomiale à Poisson ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit CCINP ou e3a

Soit $\lambda > 0$ et, pour $n > \lambda$ , $X_n$ de loi $\mathcal{B}\left(n, \frac{\lambda}{n}\right).$ Montrer que $P(X_n = k)$ tend vers $e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}$ pour tout $k \in \N$ fixé.

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Loi composée 1

Exercice 9. Clients et acheteurs ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Le nombre $N$ de clients d'une journée suit $\mathcal{P}(\lambda)$ .

Chaque client achète avec probabilité $p \in ]0, 1[$ , indépendamment, de sorte que sachant $[N = n]$ , le nombre $X$ d'acheteurs suit $\mathcal{B}(n, p)$ .

Déterminer la loi de $X$ .

Voir le début du corrigé

Pour $k \in N$ , $P(X = k) = \sum$ pour $n \geq k$ de $e^{-\lambda} (\lambda^n/n!) C(n, k) p^k q^{n-k}$ , les termes $n < k$ étant nuls.

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Caractérisation géométrique 1

Exercice 10. L'absence de mémoire caractérise la loi géométrique ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

$X$ est à valeurs dans $\mathbb{N}^*$ , $P(X > n) > 0$ pour tout $n$ , et pour tous $n$ et $k$ entiers naturels, la probabilité de $[X > n + k]$ sachant $[X > n]$ vaut $P(X > k)$ . Montrer que $X$ suit une loi géométrique.

Voir le début du corrigé

Comme $[X > n + k]$ est inclus dans $[X > n]$ , l'hypothèse s'écrit $u_{n+k} = u_n u_k$ .

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel d'ECG première année, mathématiques appliquées, enseignement du second semestre, partie IV « Probabilités, variables aléatoires réelles », paragraphe 4 « Lois usuelles » :

sous-partie a « Lois discrètes finies » ;
sous-partie b « Lois discrètes infinies ».

Lois discrètes usuelles

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Résumé en cinq points

Exercices classiques corrigés

Reconnaissance de loi 1

Exercice 1. Reconnaître la loi ★★

Calcul de probabilité 3

Exercice 2. Au moins un succès ★

Exercice 4. Parité d'une géométrique ★★

Exercice 6. Parité d'une Poisson ★★

Espérance d'une fonction 2

Exercice 3. Une espérance qui peut ne pas exister ★★

Exercice 5. Espérance d'un inverse ★★

Loi du maximum 1

Exercice 7. Maximum de deux tirages uniformes ★★

Approximation de Poisson 1

Exercice 8. De la binomiale à Poisson ★★

Loi composée 1

Exercice 9. Clients et acheteurs ★★

Caractérisation géométrique 1

Exercice 10. L'absence de mémoire caractérise la loi géométrique ★★