Espace probabilisé et variables aléatoires réelles

Exercice 1. Pas de tirage uniforme dans N ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

(a) Montrer qu'il n'existe pas de probabilité $P$ sur $\N$, muni de toutes ses parties, telle que $P(\{n\})$ soit la même pour tout $n$.

(b) Montrer que $$p_n = \frac{1}{n(n + 1)}, \qquad n \geq 1,$$ définit une loi, et calculer la probabilité que la valeur soit au moins $n$.

Exercice 2. Attente du premier pile ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

Une pièce donne pile avec probabilité $p \in ]0, 1[$, et $$q = 1 - p.$$ On la lance indéfiniment, les lancers étant mutuellement indépendants.

$X$ est le rang du premier pile, avec la convention $X = 0$ si pile n'apparaît jamais.

Déterminer la loi de $X$, $P(X > n)$ et $P(X \text{ pair})$.

Exercice 6. Le premier des deux ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit Ecricome

Deux joueurs lancent simultanément chacun sa pièce, qui donne pile avec probabilité $p \in ]0, 1[$.

Tous les lancers sont mutuellement indépendants, et $$q = 1 - p.$$ $Z$ est le numéro du premier tour où au moins un joueur obtient pile.

Déterminer $P(Z > n)$ puis la loi de $Z$.

Exercice 3. Qui lance en premier a l'avantage ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

Deux joueurs lancent un dé équilibré à tour de rôle, le premier commence.

Le premier qui obtient un six gagne.

Calculer la probabilité que le premier joueur gagne.

Exercice 4. Manipuler les notations ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

$X$ est à valeurs dans $\N$.

(a) Exprimer $P(2 \leq X \leq 5)$ avec des probabilités de la forme $P(X \leq k)$.

(b) Soit $A$ un événement et $Y$ son indicatrice.

Décrire $[Y \leq x]$ pour tout réel $x$ et en déduire un système complet.

Exercice 5. Deux à deux ne suffit pas ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

On lance deux fois une pièce équilibrée. A est « pile au premier lancer », B « pile au second », C « les deux résultats sont identiques ». Étudier l'indépendance.

Exercice 7. Probabilités totales puis Bayes ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

$N$ vérifie $$P(N = n) = \frac{1}{2^n}$$ pour $n \geq 1$.

Sachant $N = n$, on lance $n$ pièces équilibrées indépendantes.

$B$ est « toutes les pièces donnent pile ».

Calculer $P(B)$, puis $P_B(N = n)$.

Exercice 8. Aucune pièce défectueuse ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Le nombre $N$ de pièces produites un jour vérifie $$P(N = n) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^n}{n!}$$ pour $n \in \N$, avec $\lambda > 0$.

Chaque pièce est défectueuse avec probabilité $p \in ]0, 1[$, indépendamment des autres.

Vérifier que la loi de $N$ est une loi, puis calculer la probabilité de l'événement $B$ « aucune pièce défectueuse », puis $P_B(N = 0)$.

Exercice 9. Deux piles avant deux faces ★★★

Approfondissement · 45 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

On lance indéfiniment une pièce donnant pile avec probabilité $p \in ]0, 1[$, $$q = 1 - p,$$ lancers mutuellement indépendants.

Montrer que presque sûrement deux résultats consécutifs identiques finissent par apparaître, puis calculer la probabilité que PP apparaisse avant FF.