Variables aléatoires à densité

Exercice 1. Une densité à exponentielle ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Soit $$f(x) = c\,x\,e^{-x} \quad \text{pour } x \geq 0,$$ $$0 \quad \text{sinon.}$$ Trouver $c$, puis $F_X$, $P(X > 1)$, $E(X)$ et $V(X)$.

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Technique critère de densité, puis intégrales de $t^n e^{-t}$.

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1. f est continue sur R, positive si c ≥ 0. Son intégrale vaut c I₁ = c, donc c = 1.
2. Pour x ≥ 0, une intégration par parties donne ∫ de 0 à x de t e^−t dt = 1 − (1 + x)e^−x. C'est FX(x), et FX(x) = 0 si x < 0.
3. P(X > 1) = 1 − FX(1) = 2/e.
4. Les intégrandes sont positifs et E(X) = I₂ = 2. Par transfert, E(X²) = I₃ = 6, donc V(X) = 2.

piège : Oublier le cas x < 0 de FX, ou écrire E(X) sans parler de convergence.

Exercice 2. Lire une fonction de répartition ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

a) Soit $$F(x) = 0 \text{ si } x < 0,$$ $$\frac{x^2}{4} \text{ si } 0 \leq x \leq 2,$$ $$1 \text{ si } x > 2.$$ Montrer que $X$ est à densité, donner une densité, $E(X)$, $V(X)$ et $P(1 \leq X < 3)$.

b) Soit $$G(x) = 0 \text{ si } x < 0,$$ $$\frac{x}{2} \text{ si } 0 \leq x < 1,$$ $$1 \text{ si } x \geq 1.$$ $G$ est-elle la fonction de répartition d'une variable à densité ?

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1. F est continue en 0 et en 2, car 0²/4 = 0 et 2²/4 = 1, et C1 ailleurs. …

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Exercice 3. Loi de Cauchy ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Soit $$f(t) = \frac{c}{1 + t^2}.$$ Trouver $c$, puis $F_X$ et $P(X > 1)$.

Montrer que $X$ n'a pas d'espérance.

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1. $f$ est continue, positive si $c \geq 0$. …

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Exercice 4. Transformation affine décroissante ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

$X$ a pour densité $$3x^2 \quad \text{sur } [0, 1],$$ $$0 \quad \text{ailleurs.}$$ On pose $$Y = 1 - 2X.$$ Déterminer $F_Y$, une densité de $Y$, $E(Y)$ et $V(Y)$.

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1. FX(x) = x³ sur [0, 1], et Y prend ses valeurs dans [−1, 1].

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Exercice 6. Densité de Laplace et transfert ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit EDHEC

$f(t) = \frac{1}{2}e^{-|t|}$. Montrer que $f$ est une densité, calculer $F_X$, $E(X)$ et $V(X)$. Donner une densité de $X^*$. Étudier l'existence de $E(e^{X/2})$ et de $E(e^X)$.

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1. f est positive et continue. Par parité, son intégrale vaut ∫ de 0 à +∞ de e^−t dt = 1.

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Exercice 7. D'une densité constante à une exponentielle ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit EDHEC ou emlyon

$U$ a pour densité $$1 \quad \text{sur } ]0, 1[,$$ $$0 \quad \text{ailleurs.}$$ Soit $\lambda > 0$ et $$Y = -\frac{\ln(U)}{\lambda}.$$ Déterminer $F_Y$ et une densité de $Y$.

Calculer $E(Y)$ par transfert, puis $V(Y)$.

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1. Y > 0, donc FY(y) = 0 pour y < 0.

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Exercice 5. Famille de Pareto ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

Soit $a > 0$ et $$f(t) = \frac{c}{t^{a+1}} \quad \text{pour } t \geq 1,$$ $$0 \quad \text{sinon.}$$ Trouver $c$.

Pour quels $a$ la variable $X$ admet-elle une espérance, une variance ?

Les calculer.

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1. L'intégrale de $1$ à $+\infty$ de $t^{-a-1}\,dt$ vaut $1/a$, donc $c = a$.

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Exercice 8. La variance, écart quadratique minimal ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit ESSEC ou HEC

$X$ est à densité $f$, admet un moment d'ordre 2, et $m = E(X)$.

a) Montrer que $$E((X - a)^2) = V(X) + (m - a)^2$$ pour tout réel $a$.

b) En déduire le minimum de $a \mapsto E((X - a)^2)$.

c) Montrer que $V(X) > 0$.

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1. $(t - a)^2 f(t) = t^2 f(t) - 2a t f(t) + a^2 f(t)$. …

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Exercice 9. Espérance et queue de la loi ★★★

Approfondissement · 30 min · Niveau écrit ESSEC ou HEC

$X$ a une densité $f$ nulle sur $]-\infty, 0[$ et admet une espérance. a) Montrer que $x\,P(X > x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$. b) Montrer que $E(X) = \int_0^{+\infty} (1 - F_X(t))\,dt$. c) Vérifier la formule avec $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$ sur $[0, +\infty[$.

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1. Pour t ≥ x > 0, x f(t) ≤ t f(t). …

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