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ECG2 · Maths appliquées · semaine 23

Lois à densité usuelles et transferts

Loi uniforme sur un intervalle, loi exponentielle caractérisée par l'absence de mémoire, loi normale centrée réduite et loi normale générale avec espérance et variance. Propriétés de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite et somme de lois normales indépendantes. Calculs de fonctions de répartition et de densités d'images par une fonction, notamment les transformées affines.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Loi uniforme sur un intervalle de longueur LL :
    • Densité constante égale à 1/L1/L sur l'intervalle.
    • Espérance au milieu.
    • Variance L2/12L^2/12.
  2. Loi exponentielle de paramètre λ\lambda :
    • Fonction de répartition 1−e−λx1-\e^{-\lambda x} sur les réels positifs.
    • Espérance 1/λ1/\lambda.
    • Variance 1/λ21/\lambda^2.
    • Seule loi à densité sans mémoire sur les positifs.
  3. Loi normale centrée réduite :
    • Densité en cloche.
    • Fonction de répartition Φ\Phi tabulée.
    • Relation Φ(−x)=1−Φ(x)\Phi(-x)=1-\Phi(x).
  4. Loi normale générale :
    • Une variable suit N(m,σ2)\mathcal N(m,\sigma^2) si et seulement si sa centrée réduite suit N(0,1)\mathcal N(0,1).
    • La famille normale est stable par transformation affine et par somme de variables indépendantes.
  5. Pour un transfert, on écrit la fonction de répartition de la transformée, on la ramène à celle de XX, puis on dérive.
Pourquoi ce chapitre
  • La loi uniforme modélise un tirage sans préférence sur un intervalle. Elle sert aussi de brique de base pour simuler les autres lois en Python.
  • La loi exponentielle modélise une durée de vie sans usure, une durée d'attente, un intervalle entre deux sinistres.
  • Sous les hypothèses du théorème limite central, les sommes de variables indépendantes, centrées et réduites, convergent en loi vers la loi normale centrée réduite. La loi normale est le socle du théorème limite central et de l'estimation.

DéfinitionTransfert

Un transfert est la détermination de la loi d'une fonction d'une variable à densité.

Cette technique repose sur le passage par la fonction de répartition.

Classiques et HP

Méthodes et approfondissements du chapitre · le statut est précisé pour ECG2.

Classiques et HP réservés

Prolongements et démonstrations de Maths appliquées.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Loi exponentielle 4

Exercice 2. Durée de vie sans usure ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

La durée de vie en heures d'un composant suit une loi exponentielle d'espérance 100100.

Il a déjà fonctionné 200200 heures.

Quelle est la probabilité qu'il fonctionne encore au moins 5050 heures ?

Quelle est la durée tt telle que la moitié des composants neufs soient en panne avant tt ?

Voir l'indice

Technique absence de mémoire et fonction de survie.

Voir le corrigé offert
  1. L'espérance vaut 1/λ=1001/\lambda = 100, donc λ=1/100\lambda = 1/100.
  2. Par absence de mémoire, la probabilité de dépasser 250250 heures sachant qu'on a dépassé 200200 heures égale la probabilité de dépasser 5050 heures, soit e−0,5e^{-0,5}, environ 0,6070,607.
  3. On résout 1−e−λt=1/21 - e^{-\lambda t} = 1/2, soit t=100ln⁡2t = 100 \ln 2, environ 69,369,3 heures.

piège : Calculer la probabilité de dépasser 250250 heures au lieu de la probabilité conditionnelle, ou prendre λ=100\lambda = 100.

Exercice 1. Tous les moments de la loi exponentielle ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

Soit XX de loi E(λ)\mathcal{E}(\lambda).

Montrer que XX admet un moment d'ordre nn pour tout entier nn et que E(Xn)=n!λn.E(X^n) = \frac{n!}{\lambda^n}.

En déduire V(X)V(X).

Voir le début du corrigé
  1. On pose In(A)I_n(A) l'intégrale de tnλe−λtt^n \lambda e^{-\lambda t} sur [0,A][0, A].

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Exercice 6. Minimum et maximum d'exponentielles indépendantes ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit EDHEC

Deux composants en série ont des durées de vie XX et YY indépendantes, de lois E(λ)\mathcal{E}(\lambda) et E(μ)\mathcal{E}(\mu).

Le système tombe en panne à l'instant M=min⁡(X,Y).M = \min(X, Y).

Déterminer la loi de MM.

En parallèle, la panne a lieu à S=max⁡(X,Y).S = \max(X, Y).

Donner une densité de SS et son espérance.

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  1. Pour x≥0x \geq 0, [M>x]=[X>x]∩[Y>x][M > x] = [X > x] \cap [Y > x]. …

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Exercice 9. Réciproque de l'absence de mémoire ★★★

Approfondissement · 40 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

Soit XX à densité, à valeurs positives, sans mémoire, avec P(X>x)>0P(X > x) > 0 pour tout x≥0x \geq 0.

On note G(x)=P(X>x).G(x) = P(X > x).

Montrer que XX suit une loi exponentielle.

Voir le début du corrigé
  1. G(0)=1−P(X≤0)=1G(0) = 1 - P(X \leq 0) = 1, car P(X=0)=0P(X = 0) = 0 et XX est positive. …

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Loi normale 2

Exercice 3. Notes d'un concours ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Les notes d'une épreuve sont modélisées par XX de loi N(12,9)\mathcal{N}(12, 9).

Calculer P(X≥15)P(X \geq 15), P(9≤X≤15)P(9 \leq X \leq 15), puis la note minimale des 2,5 %2{,}5~\% meilleurs candidats.

Voir le début du corrigé
  1. L'écart-type vaut 33. P(X≥15)=1−Φ(1)P(X \geq 15) = 1 - \Phi(1), environ 0,1590,159.

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Exercice 10. Chaîne de production ★

Application du cours · 15 min · Niveau écrit EDHEC

Deux étapes durent XX et YY minutes, indépendantes, de lois N(50,9)\mathcal{N}(50, 9) et N(40,16)\mathcal{N}(40, 16).

Calculer la probabilité que la durée totale dépasse 100100 minutes, puis la probabilité que la première étape dure au moins 55 minutes de plus que la seconde.

Voir le début du corrigé
  1. X+YX + Y suit N(90,25)N(90, 25), d'écart-type 55.

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Transfert de variable 4

Exercice 4. Carré d'une normale centrée réduite ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

Soit XX de loi N(0,1)\mathcal{N}(0, 1) et on pose Y=X2.Y = X^2.

Déterminer la fonction de répartition de YY, montrer que YY est à densité et en donner une densité.

Que vaut E(Y)E(Y) ?

Voir le début du corrigé
  1. Y est positive, donc FY(y) = 0 pour y < 0. …

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Exercice 5. Partie entière d'une exponentielle ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

Soit XX de loi E(λ)\mathcal{E}(\lambda) et N=⌊X⌋+1N = \lfloor X \rfloor + 1.

Déterminer la loi de NN.

Voir le début du corrigé
  1. X est positive presque sûrement, donc N prend ses valeurs dans N*. …

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Exercice 7. Exponentielle d'une normale ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit EDHEC

Soit XX de loi N(m,σ2)\mathcal{N}(m, \sigma^2) et on pose Y=eX.Y = e^X.

Donner une densité de YY, puis montrer que E(Y)=em+σ2/2.E(Y) = e^{m + \sigma^2/2}.

Voir le début du corrigé
  1. Y est strictement positive. Pour y > 0, FY(y) = P(X ≤ ln y) = Φ((ln y − m)/σ). …

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Exercice 8. Inverse d'une variable uniforme ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit EDHEC

Soit XX de loi uniforme sur ]0,1]]0, 1] et on pose Y=1/X.Y = 1/X.

Déterminer la fonction de répartition de YY, montrer que YY est à densité et en donner une densité.

YY admet-elle une espérance ?

Voir le début du corrigé
  1. X est à valeurs dans ]0, 1], donc Y est bien définie et prend ses valeurs dans [1, +∞[. …

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de la voie EC, mathématiques appliquées de seconde année, enseignement du quatrième semestre, partie II « Probabilités », paragraphe 2, points c) « Lois à densité usuelles » et d) « Exemples simples de transferts ». Elle suppose connu le chapitre sur la définition des variables à densité et leurs moments.