Graphes probabilistes et chaînes de Markov

Exercice 1. Météo et probabilité inversée ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle · Modélisation par chaîne

Chaque jour est beau (état $1$) ou pluvieux (état $2$).

Après un beau jour, le lendemain est beau avec probabilité $\frac{7}{10}$.

Après la pluie, il est beau avec probabilité $\frac{2}{5}$.

Le jour $0$ est beau.

• Calculer $P(X_2 = 1)$,
• puis $P(X_1 = 1 \text{ sachant } X_2 = 1)$,
• puis l'état stable.

Exercice 2. Le cycle à trois états ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle · Convergence de la loi

$M$ a pour lignes $(0, 1, 0)$, $(0, 0, 1)$ et $(1, 0, 0)$, et $V_0 = (1, 0, 0)$.

Calculer $V_n$, les états stables, étudier la convergence.

$M$ est-elle diagonalisable ?

Exercice 3. Chaîne générale à deux états ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle · Chaînes à deux états

$M$ a pour lignes $(1 - a, a)$ et $(b, 1 - b)$, avec $a, b$ dans $[0, 1]$ et $a + b > 0$.

Exprimer $p_n = P(X_n = 1)$ et discuter la convergence.

Exercice 4. Mⁿ par diagonalisation ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit Ecricome · Puissances de matrice

Même matrice, avec $a + b > 0$.

Diagonaliser $M$ et calculer $M^n$.

Exercice 5. Trois états et loi limite ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit Ecricome · Convergence de la loi

$M$ a pour lignes $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$, $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ et $(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.

Trouver les valeurs propres, montrer que $(V_n)$ converge et trouver sa limite.

Exercice 6. Puissances par le binôme ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit EDHEC · Puissances de matrice

Soit $t$ dans $]0, \frac{1}{2}]$ et $J$ la matrice d'ordre $3$ dont tous les coefficients valent $1$.

$M$ a pour diagonale $1 - 2t$ et vaut $t$ hors diagonale.

Calculer $M^n$ et la limite de $V_n$.

Exercice 7. Absorption ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit EDHEC · Absorption et temps d'atteinte

$M$ a pour lignes $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$, $(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ et $(0, 0, 1)$, et $X_0 = 1$.

Calculer la loi de $X_n$.

Montrer que $M$ n'est pas diagonalisable.

Donner la loi du premier instant $T$ où la chaîne est en $3$.

Exercice 8. Bonus-malus à trois niveaux ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit emlyon · Modélisation par chaîne

Un assuré est au niveau $1$ (bonus), $2$ ou $3$ (malus).

Chaque année, il a un sinistre avec probabilité $p$ dans $]0, 1[$, et $q = 1 - p$.

Sans sinistre, il descend d'un niveau, ou reste au niveau $1$.

Avec sinistre, il monte d'un niveau, ou reste au niveau $3$.

Trouver l'état stable.

Pour $p = \frac{1}{4}$ et des cotisations de $80$, $100$ et $130$ euros, donner la cotisation moyenne à long terme.

Exercice 9. Temps moyen passé dans un état ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit ESSEC ou HEC · Chaînes à deux états

Chaîne de l'exercice 3, avec $a + b > 0$.

$N_n$ est le nombre d'indices $k$ dans $\{1, \dots, n\}$ tels que $X_k = 1$.

Calculer $E(N_n)$ et la limite de $\frac{E(N_n)}{n}$, y compris pour $a = b = 1$.

Exercice classique. Objectif de capital et frais de participation ★★★

Classique du chapitre

Un joueur possède initialement $8$ euros. À chaque partie, il gagne ou perd $2$ euros avec probabilité $1/2$, indépendamment des parties précédentes. Il s’arrête dès que son capital atteint $0$ ou $20$ euros. On note $X_n$ son capital en unités de $2$ euros après $n$ parties, en le maintenant constant après l’arrêt, et $T$ le nombre de parties jouées.

1. Donner les valeurs de $N$ et du capital initial $i$ dans ce modèle. En considérant des blocs de $10$ parties, prouver que $\mathbb P(T>10k)\leq(1-2^{-10})^k$ pour tout entier $k\geq0$. En déduire l’absorption presque sûre et l’intégrabilité de $T$.

2. Établir et résoudre la récurrence donnant la probabilité d’atteindre $20$ euros à partir de chaque capital possible. Calculer cette probabilité pour le joueur.

3. Établir et résoudre la récurrence donnant le nombre moyen de parties avant l’arrêt. Calculer $\mathbb E(T)$.

4. Chaque partie coûte en outre $0{,}10$ euro, prélevé sur un compte extérieur sans effet sur le capital de jeu ni sur la règle d’arrêt. Déterminer les gains hors frais possibles et leurs probabilités, puis l’espérance du gain net, frais compris.

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