Le cours

Résumé en cinq points

Les trois opérations élémentaires sur les lignes conservent l'ensemble des solutions, à condition de ne jamais multiplier une ligne par $0$ .
Le pivot de Gauss échelonne le système, puis on remonte. Une ligne $0 = c$ non nulle signifie aucune solution, une ligne $0 = 0$ se supprime.
Un système linéaire a zéro, une ou une infinité de solutions, jamais un autre nombre fini.
L'ensemble des solutions d'un système homogène contient le vecteur nul et est stable par combinaison linéaire. Les solutions d'un système compatible s'écrivent solution particulière plus solution homogène.
Un système de Cramer a autant d'équations que d'inconnues et une solution unique, ce qui correspondra à une matrice inversible.

Pourquoi ce chapitre

Résoudre un système linéaire est la compétence de calcul centrale du premier semestre. Elle sert à :

inverser une matrice ;
chercher les coefficients d'une suite vérifiant une récurrence linéaire ;
déterminer un état stable en probabilités ;
décrire, au second semestre, un sous-espace vectoriel ou le noyau d'une matrice.

La motivation économique est directe. Un tableau entrée-sortie décrit ce que chaque secteur d'une économie consomme des autres secteurs pour produire. La question « quel niveau de production faut-il pour satisfaire une demande finale donnée » se traduit par un système linéaire. La même mécanique apparaît en gestion, pour un problème de mélange, de répartition de coûts ou de plan de production sous contraintes d'égalité.

L'objectif est double :

appliquer l'algorithme du pivot de Gauss sans erreur de calcul ;
décrire correctement l'ensemble des solutions dans les trois cas possibles : unicité, absence de solution, infinité de solutions.

1Définitions

1.1Équation et système linéaires

Définition 1.1Équation linéaire

Une équation linéaire à $p$ inconnues $x_1, \dots, x_p$ est une équation de la forme $a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_px_p = b,$ où les $a_i$ et $b$ sont des réels donnés. Les $a_i$ sont les coefficients, $b$ est le second membre.

Ce qui caractérise le caractère linéaire : les inconnues apparaissent à la puissance 1, jamais au carré, jamais en produit l'une de l'autre, jamais sous une racine ou un logarithme.

Définition 1.2Système linéaire

Un système linéaire de $n$ équations à $p$ inconnues est la donnée de $n$ équations linéaires, qui doivent être satisfaites simultanément. Une solution est un $p$ -uplet $(x_1, \dots, x_p)$ de $\R^p$ qui vérifie toutes les équations.

Résoudre le système, c'est décrire l'ensemble $S$ de toutes ses solutions, qui est une partie de $\R^p$ .

Définition 1.3Compatibilité

Un système est compatible quand il admet au moins une solution, incompatible sinon.

1.2Système homogène

Définition 1.4Système homogène

Un système est homogène quand tous les seconds membres sont nuls. À tout système on associe son système homogène associé, obtenu en remplaçant tous les seconds membres par $0$ .

Un système homogène est toujours compatible, car le $p$ -uplet nul est solution : c'est la solution triviale. La vraie question est de savoir si un système homogène admet d'autres solutions que celle-là.

1.3Système de Cramer

Définition 1.5Système de Cramer

Un système est dit de Cramer quand il a autant d'équations que d'inconnues et qu'il admet une solution et une seule.

On verra au chapitre suivant que cela équivaut à l'inversibilité de la matrice des coefficients.

2Les trois cas possibles

Propriété 2.1Trois cas

Un système linéaire réel admet soit aucune solution, soit exactement une, soit une infinité.

Il n'y a jamais exactement deux solutions, ni exactement dix. Ce fait se comprend avec le résultat de structure de la section dédiée, et il donne un contrôle immédiat sur une copie : si un calcul aboutit à exactement trois solutions, il y a une erreur.

Géométriquement dans $\R^2$ , une équation linéaire à deux inconnues décrit une droite. Deux droites sont :

sécantes en un point ;
parallèles distinctes ;
confondues.

Ces trois configurations sont exactement les trois cas.

3Opérations élémentaires et systèmes équivalents

Définition 3.1Systèmes équivalents

Deux systèmes sont équivalents quand ils ont exactement le même ensemble de solutions.

Propriété 3.2Opérations élémentaires

Trois opérations, dites élémentaires, transforment un système en un système équivalent :

échanger deux équations ;
multiplier une équation par un réel non nul ;
ajouter à une équation un multiple d'une autre équation, ce qu'on note par exemple $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ .

La condition « non nul » est essentielle : multiplier par $0$ fait perdre de l'information. Toute la méthode du pivot repose sur ces trois opérations. Chaque ligne de calcul doit être annotée par l'opération effectuée, ce qui rend la copie vérifiable.

Attention

Remplacer $L_1$ par $L_1 - L_2$ et en même temps $L_2$ par $L_2 - L_1$ fait perdre des solutions, car la seconde opération utilise une ligne déjà modifiée. On ne modifie qu'une ligne à la fois, à partir des lignes non encore modifiées.

4La méthode du pivot de Gauss

4.1Principe

L'idée est d'éliminer les inconnues une par une pour obtenir un système échelonné, dans lequel chaque équation contient strictement moins d'inconnues que la précédente. On remonte ensuite les équations de bas en haut.

MéthodePivot de Gauss

Choisir dans la première équation un coefficient non nul devant une inconnue : c'est le pivot.
Utiliser cette équation pour éliminer cette inconnue de toutes les autres équations.
Recommencer avec le sous-système restant.
Remonter les équations de bas en haut.

4.2Exemple avec solution unique

Exemple 4.1Solution unique

Considérons le système $\begin{cases} x + 2y + z = 8\\ 2x + y - z = 1\\ 3x + y + 2z = 11 \end{cases}$ Le pivot est le coefficient $1$ devant $x$ dans la première équation.

$L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ donne $-3y - 3z = -15$ , soit après division par $-3$ l'équation $y + z = 5$ .
$L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1$ donne $-5y - z = -13$ .

Le système est devenu $\begin{cases} x + 2y + z = 8\\ y + z = 5\\ -5y - z = -13 \end{cases}$ Nouveau pivot : le coefficient $1$ devant $y$ dans la deuxième équation. $L_3 \leftarrow L_3 + 5L_2$ donne $4z = 12$ , donc $z = 3$ .

On remonte : la deuxième équation donne $y = 5 - 3 = 2$ , la première donne $x = 8 - 4 - 3 = 1$ . L'ensemble des solutions est le singleton $\{(1, 2, 3)\}$ .

Vérification dans la deuxième équation de départ, $2 + 2 - 3 = 1$ , et dans la troisième, $3 + 2 + 6 = 11$ . Ce système est de Cramer.

4.3Exemple sans solution

Exemple 4.2Aucune solution

Considérons $x + y = 1$ et $2x + 2y = 3$ . L'opération $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ donne $0 = 1$ , ce qui est impossible. L'ensemble des solutions est vide. Les deux droites associées sont parallèles et distinctes.

À retenir

Dès qu'une ligne devient de la forme $0 = c$ avec $c$ non nul, le système est incompatible et on conclut immédiatement.

4.4Exemple avec une infinité de solutions

Exemple 4.3Infinité de solutions

Considérons $x + y + z = 6$ et $x - y + 2z = 3$ . L'opération $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ donne $-2y + z = -3$ , soit $z = 2y - 3$ . En reportant dans la première équation, $x = 6 - y - z = 9 - 3y$ .

Il reste une inconnue libre, ici $y$ . On la renomme $t$ , paramètre réel. L'ensemble des solutions est l'ensemble des triplets $(9 - 3t,\ t,\ 2t - 3), \quad t \in \R.$ On vérifie sur les deux équations de départ.

Quand une ligne devient de la forme $0 = 0$ , elle ne donne aucune information et on la supprime.

Définition 4.4Inconnues libres

Les inconnues qui ne sont le pivot d'aucune équation sont les inconnues libres. On les choisit comme paramètres et on exprime les autres en fonction d'elles.

Le nombre de paramètres est le nombre d'inconnues moins le nombre d'équations non triviales du système échelonné.

4.5Précautions

Attention

Ne jamais diviser par un coefficient qui dépend d'un paramètre sans discuter son annulation. Si un système contient un paramètre $m$ , il faut séparer les cas selon que le pivot est nul ou non, et donner l'ensemble des solutions dans chaque cas.
Choisir si possible un pivot égal à $1$ ou à $-1$ , cela évite les fractions.
Toujours vérifier la solution obtenue dans les équations de départ, pas dans les équations transformées.

5Structure de l'ensemble des solutions

5.1Cas homogène

Le programme demande d'insister sur les propriétés de stabilité de l'ensemble des solutions d'un système homogène.

Propriété 5.1Stabilité des solutions d'un système homogène

Le $p$ -uplet nul est solution.
Si $X$ et $X'$ sont deux solutions, alors $X + X'$ est solution.
Si $X$ est solution et $\lambda$ un réel, alors $\lambda X$ est solution.

En effet, chaque équation se contente d'additionner les deux égalités à second membre nul.

En combinant, toute combinaison linéaire de solutions est encore solution. L'ensemble des solutions d'un système homogène à $p$ inconnues est donc une partie de $\R^p$ stable par addition et par multiplication par un réel. Au second semestre, on dira que c'est un sous-espace vectoriel de $\R^p$ .

Attention

Ces propriétés sont fausses pour un système non homogène. La somme de deux solutions d'un système de second membre non nul double le second membre, donc n'est pas solution en général.

5.2Cas général

Propriété 5.2Solution particulière et système homogène

Hypothèses

$X_0$ est une solution particulière d'un système linéaire.

Alors les solutions du système sont exactement les $X_0 + H$ , où $H$ parcourt l'ensemble des solutions du système homogène associé.

La justification est immédiate : la différence de deux solutions du système est solution du système homogène.

Conséquences pratiques :

si le système homogène associé n'a que la solution nulle, alors le système a au plus une solution ;
s'il en a d'autres, alors dès que le système est compatible il possède une infinité de solutions.

C'est la raison pour laquelle les trois cas de la section précédente sont les seuls possibles.

6Une application économique

Un tableau entrée-sortie décrit les échanges entre secteurs d'une économie.

Exemple 6.1Deux secteurs

Prenons l'agriculture et l'industrie.

Produire une unité d'agriculture consomme $0{,}2$ unité d'agriculture et $0{,}3$ unité d'industrie.
Produire une unité d'industrie consomme $0{,}4$ unité d'agriculture et $0{,}1$ unité d'industrie.
La demande finale est de $100$ unités d'agriculture et $80$ unités d'industrie.

Si $x$ et $y$ désignent les productions totales des deux secteurs, la production doit couvrir la consommation intermédiaire et la demande finale : $\begin{aligned} x &= 0{,}2x + 0{,}4y + 100,\\ y &= 0{,}3x + 0{,}1y + 80. \end{aligned}$ Soit le système $\begin{cases} 0{,}8x - 0{,}4y = 100\\ -0{,}3x + 0{,}9y = 80 \end{cases}$

Ce système se résout par le pivot. Le point important pour l'oral est l'interprétation : une solution à composantes négatives n'aurait aucun sens économique, il faut donc commenter le signe des valeurs trouvées.

7Lien avec l'informatique

L'algorithme du pivot se programme. Sur un tableau à $n$ lignes et $n + 1$ colonnes contenant les coefficients et le second membre, pour chaque indice $i$ allant de $0$ à $n - 1$ :

chercher une ligne d'indice au moins $i$ dont le coefficient en colonne $i$ est non nul ;
l'échanger avec la ligne $i$ ;
pour chaque ligne $j$ strictement supérieure à $i$ , remplacer la ligne $j$ par la ligne $j$ moins le rapport des coefficients fois la ligne $i$ .

On obtient un tableau triangulaire, puis on remonte.

En Python, la bibliothèque numpy.linalg fournit la fonction solve, qui résout directement un système de Cramer, et la fonction rank. Ces commandes ne sont pas exigibles au sens du programme, mais leur usage doit être accompagné de la documentation utile. Le programme demande surtout de savoir écrire soi-même les boucles.

Remarque

Sur machine, un pivot très petit amplifie les erreurs d'arrondi, c'est pourquoi on choisit en général le pivot de plus grande valeur absolue.

Méthodes

MéthodeRéflexes du chapitre

Avant de calculer, compter les équations et les inconnues : cela donne une intuition du nombre de paramètres attendus.
Annoter chaque ligne de calcul par l'opération élémentaire effectuée.
Dès qu'apparaît $0 = c$ avec $c$ non nul, conclure à l'absence de solution. Dès qu'apparaît $0 = 0$ , supprimer la ligne.
Décrire l'ensemble des solutions sous forme d'un ensemble explicite, pas seulement d'une liste d'égalités. Nommer le ou les paramètres.
En présence d'un paramètre dans les coefficients, discuter systématiquement selon l'annulation des pivots.
Vérifier la solution dans le système de départ.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Résoudre un système de trois équations à trois inconnues par le pivot, en annotant les opérations.
Donner un exemple de système sans solution et un exemple de système à une infinité de solutions, avec justification géométrique dans le plan.
Décrire l'ensemble des solutions d'un système sous forme paramétrée.
Discuter un système dépendant d'un paramètre réel $m$ .
Démontrer que l'ensemble des solutions d'un système homogène est stable par combinaison linéaire.
Expliquer pourquoi un système linéaire ne peut pas avoir exactement deux solutions.
Traduire un tableau entrée-sortie en système linéaire et interpréter le résultat.
Décrire en pseudo-code l'algorithme du pivot pour un système triangulaire à remonter.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Les trois opérations élémentaires, échange de deux lignes, multiplication d'une ligne par un réel non nul, ajout à une ligne d'un multiple d'une autre, transforment un système en un système équivalent. Exigible avec démonstration, chaque opération est réversible.
Un système échelonné se résout par remontée, de la dernière équation vers la première. Exigible, c'est la deuxième phase du pivot.
Une ligne 0 = c avec c ≠ 0 rend le système incompatible. Une ligne 0 = 0 se supprime. Exigibles.
Un système linéaire a zéro, une ou une infinité de solutions, jamais un autre nombre fini. Exigible avec démonstration, à partir de la structure ci-dessous.
Un système homogène est toujours compatible, le p-uplet nul est solution. Exigible.
L'ensemble des solutions d'un système homogène est stable par addition et par multiplication par un réel, donc par combinaison linéaire. Exigible avec démonstration, le programme insiste dessus.
Si X₀ est une solution particulière, l'ensemble des solutions est l'ensemble des X₀ + H où H parcourt les solutions du système homogène associé. Exigible avec démonstration.
Un système homogène qui a strictement plus d'inconnues que d'équations admet une solution non nulle. Exigible, justification par le pivot, il reste au moins une inconnue libre.
Système de Cramer, autant d'équations que d'inconnues et une unique solution. Définition exigible. Le lien avec l'inversibilité d'une matrice vient au chapitre suivant.
Hors programme à ce stade, à signaler. Le rang, le déterminant hors ordre 2, les formules de Cramer, l'écriture matricielle qui arrive au chapitre suivant.

Clés de démonstration

Les opérations élémentaires conservent les solutions. Une solution du système de départ vérifie chaque nouvelle ligne, car celle-ci est une combinaison de lignes vérifiées. Réciproquement, l'opération inverse, échanger à nouveau, multiplier par 1/λ, retrancher le multiple ajouté, ramène au système de départ. Astuce, une opération est licite si et seulement si on sait la défaire.

Stabilité des solutions homogènes. Si X et X′ vérifient toutes les équations à second membre nul, la somme membre à membre donne que X + X′ les vérifie aussi, et multiplier une égalité par λ donne que λX les vérifie. Astuce, on raisonne équation par équation, une seule suffit car elles sont toutes du même type.

Structure affine. Si X et X₀ sont deux solutions, la différence X − X₀ vérifie chaque équation avec second membre b − b = 0, donc est solution du système homogène. Réciproquement X₀ + H est solution car les seconds membres s'ajoutent, b + 0 = b. Astuce, soustraire deux solutions fait disparaître le second membre.

Trichotomie. Si le système homogène n'a que la solution nulle, deux solutions X et X₀ ont une différence nulle, unicité. Sinon il existe H ≠ 0, et les X₀ + tH pour t réel sont des solutions deux à deux distinctes, infinité. Astuce, une droite de solutions naît d'une seule solution homogène non nulle.

Exemples et contre-exemples à connaître

x + y = 1 et 2x + 2y = 3, aucune solution. Deux droites parallèles distinctes.
x + y = 1 et 2x + 2y = 2, une infinité de solutions, la droite elle-même. Deux équations, une seule information.
x + y = 1 et x − y = 0, unique solution (1/2, 1/2). Deux droites sécantes.
Le système homogène x + y + z = 0 à une équation et trois inconnues a une infinité de solutions, tout le plan d'équation x + y + z = 0. Plus d'inconnues que d'équations, jamais unicité.
Les solutions de x + y = 1 ne sont pas stables par addition, (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) vérifie x + y = 2. La stabilité est réservée au cas homogène.
Remplacer en même temps L1 par L1 − L2 et L2 par L2 − L1 donne deux lignes opposées, une équation disparaît et des solutions parasites apparaissent. On modifie une ligne à la fois, en gardant la ligne pivot inchangée.
Multiplier une ligne par 0 la remplace par 0 = 0 et fait perdre une équation. Cette opération n'est pas élémentaire.
Le système mx = 1 à une inconnue a une unique solution si m ≠ 0 et aucune si m = 0. Un paramètre dans les coefficients impose une discussion.
Le système x + my = 1, mx + y = 1 se discute selon m = 1, m = −1, et le cas général. Il illustre les trois situations avec un seul paramètre.
Un tableau entrée-sortie à deux secteurs donne un système 2 × 2 dont la solution doit être positive pour avoir un sens économique.

Techniques du chapitre

Pivot annoté. Mini-exercice, x + y = 3, 2x − y = 0. Opération L2 ← L2 − 2L1 donne −3y = −6, donc y = 2 puis x = 1. On écrit l'opération à côté de chaque nouvelle ligne.

Remontée. Mini-exercice, système échelonné x + 2y − z = 4, y + z = 3, 2z = 2. On lit z = 1, puis y = 2, puis x = 4 − 4 + 1 = 1. Toujours de bas en haut.

Paramétrer les inconnues libres. Mini-exercice, x + y − z = 2 seule équation. Deux inconnues libres, y = s et z = t, et x = 2 − s + t. Ensemble des solutions, les triplets (2 − s + t, s, t) pour s et t réels.

Détecter l'incompatibilité. Mini-exercice, x − y = 1, 2x − 2y = 3. L2 ← L2 − 2L1 donne 0 = 1. Aucune solution, on s'arrête là.

Discuter un paramètre. Mini-exercice, (m − 1)x = m − 1. Si m ≠ 1, x = 1. Si m = 1, tout réel est solution. On ne divise jamais par m − 1 sans discuter son annulation.

Mettre en équation. Mini-exercice, un menu à 12 euros et un menu à 15 euros, 20 menus vendus pour 273 euros. Avec x et y les nombres de menus, x + y = 20 et 12x + 15y = 273. L2 ← L2 − 12L1 donne 3y = 33, y = 11, x = 9.

Vérifier dans le système de départ. Mini-exercice, la solution (9, 11) ci-dessus donne 9 + 11 = 20 et 108 + 165 = 273. La vérification se fait sur les équations initiales, jamais sur les équations transformées.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Système de Cramer 3 × 3

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Résoudre x + y + z = 6, x + 2y + 3z = 14, 2x + 3y − z = 5.

Technique pivot avec le 1 devant x, puis remontée.

Voir le corrigé

L2 ← L2 − L1 donne y + 2z = 8. L3 ← L3 − 2L1 donne y − 3z = −7. 2. L3 ← L3 − L2 donne −5z = −15, donc z = 3. 3. Remontée, y = 8 − 6 = 2, puis x = 6 − 2 − 3 = 1. 4. Unique solution (1, 2, 3), le système est de Cramer. Contrôle sur L3, 2 + 6 − 3 = 5.

piège : Faire la remontée avec les équations d'origine au lieu des équations échelonnées, et tourner en rond.

Exercice 2. Infinité de solutions

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Résoudre x + 2y − z = 1, 2x + 4y − 2z = 2, x + y + z = 2.

Technique repérer une ligne 0 = 0, choisir une inconnue libre.

Voir le corrigé

L2 ← L2 − 2L1 donne 0 = 0, on supprime cette ligne. L3 ← L3 − L1 donne −y + 2z = 1. 2. Inconnue libre z = t, alors y = 2t − 1 et x = 1 − 2y + z = 3 − 3t. 3. Ensemble des solutions, les triplets (3 − 3t, 2t − 1, t) pour t réel. Contrôle sur L3, 3 − 3t + 2t − 1 + t = 2.

piège : Écrire « le système a deux solutions » parce qu'il reste deux équations. Il reste deux équations et trois inconnues, donc une droite de solutions.

Exercice 3. Système incompatible

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Résoudre x + y + z = 1, x − y + z = 3, 2x + 2z = 5.

Technique faire apparaître 0 = c.

Voir le corrigé

L2 ← L2 − L1 donne −2y = 2. L3 ← L3 − 2L1 donne −2y = 3. 2. L3 ← L3 − L2 donne 0 = 1. 3. Aucune solution. Interprétation, L1 + L2 impose 2x + 2z = 4, incompatible avec L3.

piège : Continuer les calculs après avoir obtenu 0 = 1, ou conclure « pas de solution » sans l'avoir fait apparaître.

Exercice 4. Stabilité et structure

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit S l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène à p inconnues. Montrer que S est stable par combinaison linéaire. Montrer ensuite que si X₀ est solution d'un système de mêmes coefficients et de second membre quelconque, alors les solutions de ce système sont exactement les X₀ + H, H ∈ S.

Technique raisonner sur une équation générique a₁x₁ + … + aₚxₚ = b.

Voir le corrigé

Soient X et X′ dans S et λ, μ réels. Pour chaque équation, a₁x₁ + … + aₚxₚ = 0 et a₁x′₁ + … + aₚx′ₚ = 0. En combinant, a₁(λx₁ + μx′₁) + … + aₚ(λxₚ + μx′ₚ) = 0. Donc λX + μX′ ∈ S. 2. Si X est solution du système à second membre, chaque équation donne pour X − X₀ un second membre b − b = 0, donc X − X₀ ∈ S et X = X₀ + H. 3. Réciproquement, X₀ + H vérifie chaque équation avec second membre b + 0 = b.

piège : Énoncer la stabilité pour un système non homogène.

Exercice 5. Système homogène à quatre inconnues

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Résoudre x + y + z + t = 0, x − y + z − t = 0, 2x + y + 2z + t = 0. Décrire l'ensemble des solutions et vérifier sa stabilité sur un exemple.

Technique pivot puis deux paramètres.

Voir le corrigé

L2 ← L2 − L1 donne −2y − 2t = 0, soit y = −t. L3 ← L3 − 2L1 donne −y − t = 0, même information, on la supprime. 2. Dans L1, y + t = 0 donc x + z = 0. Inconnues libres z = a et t = b. 3. Solutions, les quadruplets (−a, −b, a, b) pour a, b réels. 4. La somme de (−1, 0, 1, 0) et de (0, −1, 0, 1) est (−1, −1, 1, 1), qui est bien de la forme annoncée avec a = b = 1.

piège : Croire que trois équations à quatre inconnues laissent exactement une inconnue libre. Ici une équation est redondante, il en reste deux.

Exercice 6. Discussion d'un système symétrique à paramètre

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Résoudre selon le réel m le système x + y + mz = 1, x + my + z = 1, mx + y + z = 1.

Technique pivot, puis factoriser par (m − 1) au lieu de diviser.

Voir le corrigé

L2 ← L2 − L1 donne (m − 1)y + (1 − m)z = 0, soit (m − 1)(y − z) = 0. L3 ← L3 − mL1 donne (1 − m)y + (1 − m²)z = 1 − m, soit (1 − m)(y + (1 + m)z − 1) = 0. 2. Cas m = 1. Les deux lignes sont 0 = 0, il reste x + y + z = 1, un plan de solutions, (1 − s − t, s, t). 3. Cas m ≠ 1. On simplifie, y = z et y + (1 + m)z = 1, donc (m + 2)z = 1. 4. Sous-cas m = −2, la ligne devient 0 = 1, aucune solution. 5. Sous-cas m ≠ 1 et m ≠ −2, z = y = 1/(m + 2), puis x = 1 − y − mz = 1 − (1 + m)/(m + 2) = 1/(m + 2). Unique solution, les trois coordonnées égales à 1/(m + 2).

piège : Diviser par m − 1 dès la première ligne, ce qui fait disparaître le cas m = 1.

Exercice 7. Tableau entrée-sortie

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Une économie a deux secteurs. Produire une unité du secteur 1 consomme 0,2 unité du secteur 1 et 0,4 unité du secteur 2. Produire une unité du secteur 2 consomme 0,3 unité du secteur 1 et 0,1 unité du secteur 2. La demande finale est de 90 unités du secteur 1 et 30 unités du secteur 2. Déterminer les productions x et y qui satisfont la demande.

Technique production égale consommation intermédiaire plus demande finale.

Voir le corrigé

x = 0,2x + 0,3y + 90 et y = 0,4x + 0,1y + 30, soit 0,8x − 0,3y = 90 et −0,4x + 0,9y = 30. 2. On multiplie par 10, 8x − 3y = 900 et −4x + 9y = 300. L2 ← 2L2 + L1 donne 15y = 1500, y = 100. 3. Puis 8x = 900 + 300 = 1200, x = 150. 4. Les productions (150, 100) sont positives, ce qui a un sens économique. Chaque secteur produit plus que la demande finale, l'écart est absorbé par les consommations intermédiaires.

piège : Écrire la consommation avec les coefficients transposés, c'est-à-dire lire le tableau en lignes au lieu de colonnes. Relire l'énoncé, « produire une unité de 1 consomme … ».

Exercice 8. Placement sur trois produits

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Une personne place 10 000 euros sur trois produits rapportant 2 %, 3 % et 5 % par an. Le montant placé à 5 % est égal à la somme des deux autres, et les intérêts annuels totaux valent 380 euros. Déterminer la répartition.

Technique trois inconnues, trois équations, substitution puis pivot.

Voir le corrigé

x + y + z = 10 000, z = x + y, 0,02x + 0,03y + 0,05z = 380. 2. Les deux premières donnent z = 5 000 et x + y = 5 000. 3. La troisième, multipliée par 100, donne 2x + 3y + 5z = 38 000, soit avec z = 5 000, 2x + 3y = 13 000. 4. Avec y = 5 000 − x, 2x + 15 000 − 3x = 13 000, donc x = 2 000, y = 3 000, z = 5 000. Contrôle, 40 + 90 + 250 = 380.

piège : Mélanger euros et pourcentages en oubliant de multiplier la troisième équation par 100.

Exercice 9. Second membre quelconque

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Soient a, b, c trois réels. Résoudre x + y + z = a, x + 2y + 4z = b, x + 3y + 9z = c. Que peut-on dire du système quel que soit le second membre ?

Technique pivot avec des seconds membres littéraux, on ne développe qu'à la fin.

Voir le corrigé

L2 ← L2 − L1 donne y + 3z = b − a. L3 ← L3 − L1 donne 2y + 8z = c − a. 2. L3 ← L3 − 2L2 donne 2z = a − 2b + c, soit z = (a − 2b + c)/2. 3. Remontée, y = b − a − 3z = (−5a + 8b − 3c)/2, puis x = a − y − z = 3a − 3b + c. 4. Pour tout (a, b, c), il y a une unique solution, le système est de Cramer. Contrôle avec a = b = c = 1, on trouve (1, 0, 0), qui convient. Interprétation, il existe une unique parabole d'équation Y = x + yT + zT² passant par les points (1, a), (2, b), (3, c).

piège : Tenter de deviner la solution au lieu de dérouler le pivot. Avec des seconds membres littéraux, seul le pivot est fiable.

Exercice 10. Compatibilité selon un paramètre au second membre

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Résoudre selon le réel m le système x + y − z = 1, 2x − y + z = m, 4x + y − z = m².

Technique le paramètre n'est qu'au second membre, le pivot est le même pour tout m, seule la compatibilité change.

Voir le corrigé

L2 ← L2 − 2L1 donne −3y + 3z = m − 2. L3 ← L3 − 4L1 donne −3y + 3z = m² − 4. 2. L3 ← L3 − L2 donne 0 = m² − m − 2 = (m − 2)(m + 1). 3. Si m ≠ 2 et m ≠ −1, aucune solution. 4. Si m = 2, y − z = 0, donc y = z = t et x = 1 − t + t = 1. Solutions, (1, t, t). 5. Si m = −1, y − z = 1, donc y = t + 1, z = t, x = 1 − (t + 1) + t = 0. Solutions, (0, t + 1, t).

piège : Croire que le système est incompatible pour tout m parce que le nombre d'équations dépasse le nombre d'informations utiles. La compatibilité dépend de m.

Erreurs fréquentes

Ne pas annoter les opérations, ou modifier deux lignes en même temps l'une avec l'autre.
Diviser par un coefficient qui dépend d'un paramètre sans discuter son annulation.
Conclure à un nombre fini de solutions supérieur à 1, ce qui est impossible.
Vérifier la solution dans les équations transformées au lieu des équations de départ.
Affirmer la stabilité par combinaison linéaire pour un système à second membre non nul.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel d'ECG, mathématiques appliquées de première année, premier semestre, partie « Calcul matriciel et résolution de systèmes linéaires », section « Systèmes linéaires ». L'écriture matricielle $AX = Y$ est traitée dans la fiche suivante. Le programme demande de mener ce chapitre en lien avec l'informatique et d'introduire la question par des tableaux entrée-sortie.