Ensembles et applications

Résumé en cinq points

1Ensembles et parties

1.1Vocabulaire de base

Un ensemble peut être décrit de deux façons :

• en extension, par la liste de ses éléments entre accolades, comme $\{1, 3, 5\}$ ;
• en compréhension, par une propriété caractérisant ses éléments, comme l'ensemble des réels $x$ tels que $x^2 < 4$.

Les ensembles de nombres usuels sont $\N$, $\Z$, $\Q$, $\R$.

1.2Inclusion et égalité

Deux ensembles sont égaux quand ils ont les mêmes éléments. Pour démontrer $A = B$, on démontre les deux inclusions $A \subset B$ et $B \subset A$, traduction ensembliste de la double implication.

1.3Ensemble des parties

La notation $\mathcal{P}(\Omega)$ est celle qu'utilise le programme pour l'ensemble des événements d'une expérience aléatoire d'univers fini $\Omega$.

1.4Réunion, intersection, complémentaire

Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E$.

Quand $A \cap B$ est vide, on dit que $A$ et $B$ sont disjoints. En probabilités, on dira que les événements sont incompatibles.

1.5Produit cartésien

Un couple est ordonné : $(1, 2)$ et $(2, 1)$ sont deux couples différents, alors que les ensembles $\{1, 2\}$ et $\{2, 1\}$ sont égaux.

On note $\R^2$ le produit $\R \times \R$, ensemble des couples de réels, qui s'identifie au plan muni d'un repère. Plus généralement $\R^n$ est l'ensemble des $n$-uplets $(x_1, \dots, x_n)$ de réels. Ces notations serviront pour les systèmes linéaires, les matrices colonnes et les régionnements du plan.

2Applications

2.1Définition

Deux applications sont égales quand elles ont même ensemble de départ, même ensemble d'arrivée, et même image en chaque point. Changer l'ensemble de départ ou d'arrivée change l'application, même si la formule reste la même. C'est ce qui se passe quand on restreint la fonction carré à l'intervalle des réels positifs.

Le programme précise que l'image réciproque d'une partie de l'ensemble d'arrivée n'est pas un attendu : on n'utilisera donc pas cette notion.

2.2Composition

L'ordre compte : on applique $f$ d'abord.

2.3Injection, surjection, bijection

Soit $f$ une application de $E$ dans $F$.

L'injectivité et la surjectivité ne dépendent pas seulement de la formule.

2.4Application réciproque

La réciproque d'une bijection est elle-même une bijection, et sa réciproque est $f$.

C'est sous cette forme que la bijection servira en analyse pour résoudre des équations.

2.5Composée de deux bijections

L'ordre s'inverse, comme pour l'inverse d'un produit de matrices. Pour défaire deux opérations successives, on défait d'abord la dernière.

2.6Cas des ensembles finis

Justification informelle : on choisit l'image du premier élément parmi $n$ possibilités, celle du deuxième parmi les $n - 1$ restantes, et ainsi de suite. Le programme cite explicitement cette interprétation de $n!$.

3Liens avec le reste du programme

• Probabilités. L'univers $\Omega$ d'une expérience aléatoire est un ensemble fini, un événement est une partie de $\Omega$, donc un élément de $\mathcal{P}(\Omega)$.
  • « $A$ et $B$ » se lit $A \cap B$, « $A$ ou $B$ » se lit $A \cup B$, « non $A$ » se lit $\overline{A}$.
  • Deux événements incompatibles sont deux parties disjointes.
  • Un système complet d'événements est une famille de parties deux à deux disjointes dont la réunion est $\Omega$.
• Systèmes linéaires. L'ensemble des solutions d'un système à $n$ inconnues est une partie de $\R^n$. Le décrire, c'est décrire une partie d'un produit cartésien.
• Analyse. Le théorème de la bijection dit qu'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle $f(I)$. C'est la principale source de bijections du programme.
• Informatique. Une liste Python indexée de $0$ à $n - 1$ peut se voir comme une application de l'ensemble des indices dans l'ensemble des valeurs. Vérifier qu'une liste n'a pas de doublon revient à vérifier l'injectivité, ce qui s'écrit avec deux boucles imbriquées, en comparant chaque paire d'indices distincts.

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

1. Démontrer une égalité d'ensembles par double inclusion sur un exemple simple.
2. Écrire les deux formules de De Morgan et les justifier avec les connecteurs logiques.
3. Écrire l'ensemble des parties d'un ensemble à trois éléments et donner son cardinal.
4. Décider si une application donnée est injective, surjective, bijective, avec justification dans les deux sens.
5. Montrer qu'une fonction affine non constante de $\R$ dans $\R$ est bijective et calculer sa réciproque.
6. Expliquer pourquoi la fonction carré devient bijective quand on restreint le départ et l'arrivée aux réels positifs.
7. Énoncer la réciproque d'une composée de deux bijections et justifier l'inversion de l'ordre.
8. Traduire en langage ensembliste une situation de probabilités portant sur deux événements.

Les résultats à connaître

• Deux ensembles sont égaux si et seulement si chacun est inclus dans l'autre. Exigible, c'est la méthode de la double inclusion.
• Lois de De Morgan ensemblistes. Le complémentaire de A ∪ B est Ā ∩ B̄, celui de A ∩ B est Ā ∪ B̄. Exigibles avec démonstration, par traduction logique.
• Distributivité, A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) et A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Exigibles avec démonstration.
• Différence, A privé de B est égal à A ∩ B̄. Exigible, c'est une définition à savoir réécrire.
• Si E a n éléments, P(E) en a 2ⁿ. Admis à ce stade, redémontré avec les coefficients binomiaux. Si A a p éléments et B en a q, A × B en a pq. Admis, principe multiplicatif.
• La composition est associative et non commutative en général. Exigible.
• La composée de deux injections est injective, celle de deux surjections est surjective, celle de deux bijections est bijective. Exigibles avec démonstration.
• Réciproque d'une composée de bijections, (g ∘ f)⁻¹ = f⁻¹ ∘ g⁻¹. Exigible avec démonstration.
• f est bijective de E sur F si et seulement si pour tout y de F, l'équation f(x) = y a une unique solution dans E. Exigible, c'est la définition reformulée, et la méthode de calcul de f⁻¹.
• Si g ∘ f = Id_E et f ∘ g = Id_F, alors f est bijective et g = f⁻¹. Exigible avec démonstration.
• Pour E et F finis de même cardinal, injective, surjective et bijective sont équivalentes. Admis, sert au dénombrement.
• Le nombre de bijections d'un ensemble à n éléments sur lui-même vaut n!. Admis, interprétation citée par le programme.
• Hors programme, à signaler si un exercice les demande. L'image réciproque f⁻¹(B) d'une partie de l'ensemble d'arrivée, les manipulations abstraites sur des applications quelconques, le théorème de Cantor, les cardinaux infinis.

Clés de démonstration

De Morgan ensembliste. Soit x ∈ E. Dire x ∉ A ∪ B, c'est dire non(x ∈ A ou x ∈ B), donc (x ∉ A et x ∉ B) par De Morgan logique, donc x ∈ Ā ∩ B̄. Chaque étape est une équivalence. Astuce, un énoncé ensembliste est une phrase logique sur un x générique, on traduit et on revient.

Composée d'injections. Si g(f(x)) = g(f(x′)), l'injectivité de g donne f(x) = f(x′), puis celle de f donne x = x′. Astuce, on remonte de l'extérieur vers l'intérieur.

Composée de surjections. Soit z ∈ G. Par surjectivité de g, il existe y ∈ F avec g(y) = z, puis par celle de f, il existe x ∈ E avec f(x) = y. Alors g(f(x)) = z. Astuce, on construit l'antécédent en deux temps, de l'arrivée vers le départ.

Réciproque d'une composée. On vérifie (f⁻¹ ∘ g⁻¹) ∘ (g ∘ f) = f⁻¹ ∘ (g⁻¹ ∘ g) ∘ f = f⁻¹ ∘ f = Id_E par associativité, et de même dans l'autre sens. Astuce, la réciproque est unique, il suffit d'exhiber une application qui fonctionne des deux côtés.

Caractérisation par g ∘ f = Id_E et f ∘ g = Id_F. La première égalité donne f injective, car f(x) = f(x′) entraîne x = g(f(x)) = g(f(x′)) = x′. La seconde donne f surjective, car y = f(g(y)). Astuce, chaque identité livre une propriété, il faut les deux.

Exemples et contre-exemples à connaître

1. Si E = {1, 2}, alors {1} ⊂ E et {1} ∈ P(E), mais 1 ∉ P(E). Appartenance et inclusion ne vivent pas au même étage.
2. {∅} n'est pas vide, il contient un élément, l'ensemble vide. Et ∅ ⊂ A pour tout ensemble A.
3. Les couples (1, 2) et (2, 1) sont différents, alors que {1, 2} = {2, 1}. Le produit cartésien est ordonné, l'ensemble ne l'est pas.
4. Le complémentaire dépend de l'ensemble de référence. Le complémentaire de N dans Z est l'ensemble des entiers strictement négatifs, dans R c'est bien plus gros.
5. x ↦ x² est injective de R₊ dans R, surjective de R dans R₊, bijective de R₊ dans R₊, ni l'un ni l'autre de R dans R. Les ensembles font partie de l'application.
6. L'exponentielle est injective de R dans R, non surjective, et bijective de R sur l'ensemble des réels strictement positifs, de réciproque ln.
7. n ↦ n + 1 est injective de N dans N sans être surjective, 0 n'a pas d'antécédent. Sur un ensemble fini, ce serait impossible.
8. f l'inclusion de N dans Z et g la valeur absolue de Z dans N. Alors g ∘ f = Id_N, pourtant f n'est pas surjective et g n'est pas injective. Une seule identité ne donne pas la bijectivité.
9. Avec f(x) = x + 1 et g(x) = 2x, g ∘ f(x) = 2x + 2 et f ∘ g(x) = 2x + 1. La composition n'est pas commutative.
10. x ↦ x³ est bijective de R sur R, alors que x ↦ x² ne l'est pas. Une fonction strictement monotone est injective, la surjectivité se lit sur l'image.

Techniques du chapitre

Double inclusion. Mini-exercice, montrer que A ∩ (A ∪ B) = A. Si x ∈ A ∩ (A ∪ B), alors x ∈ A. Si x ∈ A, alors x ∈ A ∪ B, donc x ∈ A ∩ (A ∪ B). Les deux inclusions donnent l'égalité.

Chaîne d'équivalences. Mini-exercice, montrer que A privé de (B ∪ C) est égal à (A privé de B) ∩ (A privé de C). Pour x ∈ E, x ∈ A et x ∉ B ∪ C équivaut à x ∈ A et x ∉ B et x ∉ C, qui équivaut à (x ∈ A et x ∉ B) et (x ∈ A et x ∉ C). Chaque étape est réversible, une seule chaîne suffit.

Injectivité par le calcul. Mini-exercice, f(x) = 3x − 5 de R dans R. Si 3x − 5 = 3x′ − 5, alors x = x′. Injective.

Réfuter l'injectivité ou la surjectivité. Mini-exercice, f(x) = x² − 2x de R dans R. Non injective, f(0) = f(2) = 0. Non surjective, f(x) = (x − 1)² − 1 ≥ −1, donc −2 n'a pas d'antécédent.

Bijectivité et réciproque par résolution de f(x) = y. Mini-exercice, f(x) = 3x − 5 de R dans R. Pour y réel, 3x − 5 = y équivaut à x = (y + 5)/3, unique solution. Donc f est bijective et f⁻¹(y) = (y + 5)/3.

Restreindre pour rendre bijective. Mini-exercice, f(x) = x² − 2x. Sur [1, +∞[, f est strictement croissante à valeurs dans [−1, +∞[, et pour y ≥ −1, l'équation (x − 1)² = y + 1 avec x ≥ 1 donne x = 1 + √(y + 1), unique. Bijection de [1, +∞[ sur [−1, +∞[.

Traduire une situation aléatoire. Mini-exercice, on lance deux dés, A « la somme vaut 7 », B « le premier dé est pair ». A ∩ B est l'ensemble des couples (2, 5), (4, 3), (6, 1). Ā est « la somme est différente de 7 ». Le complémentaire de A ∪ B est « la somme n'est pas 7 et le premier dé est impair ».

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Erreurs fréquentes