Le cours

Résumé en cinq points

Le produit $AB$ exige que le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$ , et la colonne $j$ de $AB$ est $A$ fois la colonne $j$ de $B$ .
Le produit matriciel n'est ni commutatif ni intègre, on ne simplifie donc jamais par une matrice.
La transposée d'un produit et l'inverse d'un produit inversent tous deux l'ordre des facteurs.
Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls, et une matrice d'ordre 2 est inversible si et seulement si $ad - bc \neq 0$ .
$AX = Y$ avec $A$ inversible donne $X = A^{-1}Y$ , et $X_n = A^nX_0$ pour une suite récurrente linéaire.

Pourquoi ce chapitre

Une matrice est d'abord un tableau de nombres, et c'est sous cette forme qu'elle apparaît partout dans la filière :

tableau entrée-sortie entre secteurs économiques ;
matrice d'adjacence d'un graphe ;
matrice de transition d'une chaîne d'évolution ;
tableau de données statistiques.

Le calcul matriciel donne un langage compact pour manipuler ces tableaux.

L'intérêt principal est l'écriture $AX = Y$ d'un système linéaire. Quand la matrice $A$ est inversible, la solution s'écrit $X = A^{-1}Y$ , ce qui ramène la résolution à un calcul d'inverse. Les puissances de matrices servent ensuite à étudier les suites vérifiant une relation de récurrence linéaire, et au chapitre des graphes à compter les chemins de longueur donnée.

Ce chapitre est presque entièrement calculatoire. La rigueur porte sur deux points : les conditions de compatibilité des formats dans un produit, et la non-commutativité du produit.

1Définitions

1.1Matrice

Définition 1.1Matrice

Une matrice réelle à $n$ lignes et $p$ colonnes est un tableau de nombres réels, noté $A$ , dont le coefficient situé à la ligne $i$ et à la colonne $j$ est noté $a_{i,j}$ . L'ensemble de ces matrices se note $\mathcal{M}_{n,p}(\R)$ .

L'ordre des indices est toujours ligne puis colonne. Deux matrices sont égales quand elles ont le même format et les mêmes coefficients.

Définition 1.2Matrices colonne et ligne

Une matrice à une seule colonne est une matrice colonne, une matrice à une seule ligne est une matrice ligne.

Une matrice colonne à $n$ lignes s'identifie naturellement à un élément de $\R^n$ , ce qui sera formalisé au second semestre.

1.2Matrices carrées

Définition 1.3Matrice carrée

Quand $n = p$ , la matrice est carrée d'ordre $n$ , et l'ensemble se note $\mathcal{M}_n(\R)$ . Les coefficients $a_{i,i}$ forment la diagonale principale.

Définition 1.4Matrices triangulaires et diagonales

Une matrice carrée est :

triangulaire supérieure quand tous ses coefficients strictement sous la diagonale sont nuls ;
triangulaire inférieure quand tous ses coefficients strictement au-dessus de la diagonale sont nuls ;
diagonale quand elle est à la fois triangulaire supérieure et inférieure.

Définition 1.5Matrice identité

La matrice identité d'ordre $n$ , notée $I_n$ , est la matrice diagonale dont tous les coefficients diagonaux valent 1. La matrice nulle a tous ses coefficients nuls.

1.3Transposée et matrices symétriques

Définition 1.6Transposée

La transposée de $A$ , notée ${}^tA$ , est la matrice obtenue en échangeant lignes et colonnes. Si $A$ est de format $n \times p$ , ${}^tA$ est de format $p \times n$ , et le coefficient de ${}^tA$ en position $(i, j)$ est le coefficient de $A$ en position $(j, i)$ .

La transposée de la transposée est la matrice de départ.

Définition 1.7Matrice symétrique

Une matrice carrée $A$ est symétrique quand ${}^tA = A$ , c'est-à-dire quand elle est inchangée par symétrie par rapport à sa diagonale.

C'est la caractérisation demandée par le programme. Les matrices diagonales sont symétriques.

2Opérations

2.1Somme et produit par un réel

On additionne deux matrices de même format coefficient par coefficient. On multiplie une matrice par un réel en multipliant tous ses coefficients.

L'addition est commutative et associative.
La matrice nulle est neutre.
Chaque matrice a une opposée.
Ces opérations vérifient les règles de distributivité habituelles.

Attention

Deux matrices de formats différents ne s'additionnent pas. C'est une erreur de copie fréquente.

2.2Produit matriciel

Définition 2.1Produit matriciel

Le produit $AB$ n'est défini que si le nombre de colonnes de $A$ est égal au nombre de lignes de $B$ . Si $A$ a $n$ lignes et $p$ colonnes et $B$ a $p$ lignes et $q$ colonnes, alors $AB$ a $n$ lignes et $q$ colonnes, et son coefficient en position $(i, j)$ est $\sum_{k=1}^{p} a_{i,k}\,b_{k,j}.$

En pratique, on parcourt la ligne $i$ de $A$ et la colonne $j$ de $B$ , en multipliant terme à terme et en additionnant.

Propriété 2.2Lecture par colonnes

La colonne numéro $j$ du produit $AB$ est égale au produit de $A$ par la colonne numéro $j$ de $B$ .

Cela permet de calculer un produit colonne par colonne, et cela explique pourquoi $AX = Y$ traduit un système.

Propriété 2.3Propriétés du produit

Le produit est associatif, distributif par rapport à l'addition, compatible avec la multiplication par un réel.
La matrice identité est neutre : $AI_p = A$ et $I_nA = A$ pour $A$ de format $n \times p$ .

Deux propriétés manquent, et il faut les connaître par leurs contre-exemples.

Exemple 2.4Le produit n'est pas commutatif

Avec $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ : $AB = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$ Ces deux matrices diffèrent.

Exemple 2.5Produit nul de matrices non nulles

Avec $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ , on a $A^2 = 0$ .

Attention

On ne simplifie jamais une égalité matricielle par une matrice : $AB = AC$ n'entraîne pas $B = C$ , sauf si $A$ est inversible.

2.3Transposée d'une somme et d'un produit

Propriété 2.6Transposée d'une somme et d'un produit

Pour des matrices de formats compatibles, la transposée d'une somme est la somme des transposées. Pour deux matrices carrées $A$ et $B$ de même ordre : ${}^t(AB) = {}^tB\,{}^tA.$

À retenir

La transposée d'un produit inverse l'ordre des facteurs.

2.4Puissances

Définition 2.7Puissances d'une matrice

Pour $A$ carrée, $A^n$ désigne le produit de $A$ par elle-même $n$ fois, avec la convention $A^0 = I_n$ . On a $A^{n+m} = A^nA^m$ .

Attention

Comme le produit n'est pas commutatif, l'égalité $(AB)^n = A^nB^n$ est fausse en général. Elle devient vraie si $A$ et $B$ commutent.

Le programme précise que la formule du binôme n'est pas un attendu du premier semestre. Pour calculer une puissance $n$ -ième, on dispose donc de trois méthodes.

MéthodeCalculer une puissance $n$ -ième

Calculer les premières puissances, conjecturer la forme générale, la démontrer par récurrence. C'est la méthode de référence.
Utiliser une relation vérifiée par $A$ , du type $A^2 = \alpha A + \beta I$ . Alors toute puissance de $A$ s'écrit comme combinaison de $A$ et de $I$ , et on obtient une récurrence sur les coefficients.
Reconnaître une matrice diagonale, dont la puissance $n$ -ième s'obtient en élevant chaque coefficient diagonal à la puissance $n$ .

Exemple 2.8Puissances de $\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , on calcule $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$ On conjecture $A^n = \begin{pmatrix} 1 & n\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et on le prouve par récurrence en multipliant par $A$ .

3Matrices inversibles

3.1Définition

Définition 3.1Matrice inversible

Une matrice carrée $A$ d'ordre $n$ est inversible quand il existe une matrice carrée $B$ d'ordre $n$ telle que $AB = BA = I_n$ . Cette matrice $B$ est alors unique, on l'appelle l'inverse de $A$ et on la note $A^{-1}$ .

Propriété 3.2Inverse à gauche ou à droite (admis)

Hypothèses

$A$ et $B$ sont des matrices carrées de même ordre $n$ ;
$AB = I_n$ .

Alors $A$ est inversible et $B$ est son inverse.

Ce résultat est admis par le programme. Il est inutile de vérifier l'autre produit. Une matrice non carrée n'est jamais dite inversible dans ce programme.

3.2Propriétés

Propriété 3.3Propriétés de l'inverse

Si $A$ est inversible, son inverse l'est aussi et $(A^{-1})^{-1} = A$ .
Si $A$ et $B$ sont inversibles de même ordre, alors $AB$ est inversible et $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ .
Si $A$ est inversible, alors la seule solution de $AX = 0$ est $X = 0$ .

Là encore l'ordre s'inverse. En particulier, une matrice dont une colonne est nulle, ou dont deux colonnes sont égales, n'est pas inversible.

Propriété 3.4Matrice triangulaire

Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls. Son inverse est alors triangulaire de même type.

Ce critère est à connaître, il évite beaucoup de calculs.

3.3Trois méthodes pour inverser

MéthodeInverser par résolution de $AX = Y$

Écrire le système associé.
Le résoudre par le pivot en exprimant les inconnues $x$ en fonction des seconds membres $y$ .
La matrice des coefficients obtenue est l'inverse.

Cette méthode donne en même temps la réponse et la preuve de l'inversibilité, et elle fonctionne pour tout ordre.

MéthodeInverser par un polynôme annulateur

Repérer une relation du type $A^2 - 3A + 2I = 0$ .
Factoriser pour faire apparaître l'identité : ici $A(3I - A) = 2I$ .
Conclure que $A$ est inversible, d'inverse $\dfrac{3I - A}{2}$ .

Exemple 3.5Un polynôme annulateur

La matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ vérifie $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 6\\ 0 & 4 \end{pmatrix} = 3A - 2I,$ donc $A^2 - 3A + 2I = 0$ . On en déduit $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 0 & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix},$ ce qu'on vérifie par produit.

La troisième méthode est la formule d'ordre 2 de la section suivante.

4Déterminant d'ordre 2

Définition 4.1Déterminant d'ordre 2

Pour $A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ , le déterminant de $A$ est le nombre $ad - bc$ .

Théorème 4.2Inversibilité d'une matrice d'ordre 2

Hypothèse : $A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ .

Alors $A$ est inversible si et seulement si $ad - bc \neq 0$ . Dans ce cas, $A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}.$

Cette caractérisation n'est au programme de première année que pour l'ordre 2. Pour un ordre supérieur, on revient à la résolution du système ou au polynôme annulateur.

Vérification utile : le produit de $A$ par $\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$ vaut $(ad - bc)\,I_2$ , ce qui se calcule directement.

5Écriture matricielle d'un système linéaire

Définition 5.1Écriture $AX = Y$

Un système de $n$ équations à $p$ inconnues s'écrit $AX = Y$ , où $A$ est la matrice des coefficients de format $n \times p$ , $X$ la matrice colonne des inconnues et $Y$ la matrice colonne des seconds membres. Le système est homogène quand $Y$ est la colonne nulle.

Propriété 5.2Système de Cramer

Hypothèse : $A$ est carrée et inversible.

Alors le système $AX = Y$ admet une unique solution, donnée par $X = A^{-1}Y$ .

C'est exactement la notion de système de Cramer du chapitre précédent. Réciproquement, si le système $AX = Y$ admet une unique solution pour un certain $Y$ , alors $A$ est inversible.

Attention

On multiplie à gauche par l'inverse. Écrire $X = YA^{-1}$ est un non-sens de format.

6Application aux suites récurrentes linéaires

Soit une suite vérifiant $u_{n+2} = a\,u_{n+1} + b\,u_n$ . On pose la colonne $X_n$ dont les deux coefficients sont $u_{n+1}$ et $u_n$ . Alors $X_{n+1} = AX_n, \quad A = \begin{pmatrix} a & b\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.$

Une récurrence immédiate donne $X_n = A^nX_0$ . Connaître les puissances de $A$ donne donc la forme explicite de la suite. C'est une des motivations principales du calcul des puissances, signalée par le programme.

La même écriture sert aux modèles d'évolution en économie, où $X_n$ contient les états d'un système à l'étape $n$ et $A$ décrit le passage d'une étape à la suivante.

7Lien avec l'informatique

En Python avec numpy :

une matrice se construit avec np.array à partir d'une liste de listes, ou avec np.zeros, np.ones, np.eye ;
np.shape donne le format ;
la transposée s'obtient avec np.transpose ;
numpy.linalg fournit inv pour l'inverse, matrix_power pour les puissances et solve pour résoudre un système.

Attention

Avec numpy, l'opérateur étoile effectue le produit coefficient par coefficient, ce qui n'est pas le produit matriciel. Le produit matriciel s'obtient avec np.dot.

Le produit matriciel peut aussi s'écrire à la main avec trois boucles imbriquées.

def produit(A, B, n, p, q):
    C = np.zeros((n, q))
    for i in range(n):
        for j in range(q):
            s = 0
            for k in range(p):
                s = s + A[i, k] * B[k, j]
            C[i, j] = s
    return C

Cet algorithme effectue de l'ordre de $npq$ multiplications.

Méthodes

MéthodeRéflexes du chapitre

Avant tout produit, vérifier la compatibilité des formats et écrire le format du résultat.
Pour une puissance $n$ -ième, calculer les trois premières puissances, conjecturer, démontrer par récurrence.
Pour prouver qu'une matrice est inversible et trouver son inverse en une seule fois, résoudre $AX = Y$ .
Devant une relation polynomiale vérifiée par $A$ , factoriser pour isoler l'identité : cela donne l'inverse sans calcul de système.
Pour montrer qu'une matrice n'est pas inversible, exhiber une colonne $X$ non nulle telle que $AX = 0$ .
Ne jamais simplifier une égalité matricielle par une matrice non inversible.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Calculer un produit de deux matrices de formats compatibles et justifier le format du résultat.
Donner un contre-exemple à la commutativité et un exemple de produit nul de matrices non nulles.
Démontrer par récurrence la forme des puissances d'une matrice triangulaire d'ordre 2.
Inverser une matrice d'ordre 3 par résolution du système $AX = Y$ .
Utiliser une relation du type $A^2 = \alpha A + \beta I$ pour obtenir l'inverse de $A$ .
Énoncer et utiliser le critère d'inversibilité d'une matrice triangulaire.
Calculer un déterminant d'ordre 2 et en déduire l'inverse.
Écrire une suite récurrente linéaire d'ordre 2 sous forme matricielle $X_{n+1} = AX_n$ .

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Le produit AB existe si et seulement si le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B, et le résultat a le nombre de lignes de A et le nombre de colonnes de B. Exigible, à vérifier avant tout calcul.
La colonne j de AB est le produit de A par la colonne j de B. Exigible, c'est ce qui relie le produit aux systèmes.
Associativité et distributivité du produit, compatibilité avec le produit par un réel. Admises.
Le produit n'est pas commutatif et un produit de matrices non nulles peut être nul. Exigible par contre-exemple.
Transposée d'une somme égale somme des transposées, et t(AB) = tB tA pour des matrices carrées. Admis, l'inversion de l'ordre est exigible.
Une matrice carrée est symétrique si et seulement si tA = A. Définition exigible.
Pour A carrée, A puissance n + m égale Aⁿ Aᵐ. Exigible. En revanche (AB)ⁿ = Aⁿ Bⁿ n'est vraie que si A et B commutent.
La puissance n-ième d'une matrice diagonale s'obtient en élevant chaque coefficient diagonal à la puissance n. Exigible avec vérification par récurrence.
Si AB = BA = I, alors B est unique et se note A⁻¹. Admis. Pour une matrice carrée, un inverse à gauche ou à droite est l'inverse. Admis explicitement par le programme.
Si A et B sont inversibles, AB l'est et (AB)⁻¹ = B⁻¹ A⁻¹. Exigible avec vérification.
Si A est inversible, la seule solution de AX = 0 est X = 0. Exigible avec démonstration.
Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls. Admis.
Pour A = [[a, b], [c, d]], A est inversible si et seulement si ad − bc ≠ 0, et alors A⁻¹ = (1/(ad − bc)) [[d, −b], [−c, a]]. Exigible avec vérification par produit.
Si A est carrée inversible, le système AX = Y a pour unique solution X = A⁻¹ Y. Exigible avec démonstration.
Si A vérifie une relation polynomiale du type A² = αA + βI avec β ≠ 0, alors A est inversible. Méthode exigible.
Hors programme au premier semestre, à signaler. La formule du binôme pour des matrices qui commutent, le déterminant d'ordre 3 ou plus, le rang, les valeurs propres.

Clés de démonstration

Inverse d'un produit. On calcule (AB)(B⁻¹ A⁻¹) = A (B B⁻¹) A⁻¹ = A A⁻¹ = I par associativité. Comme un inverse d'un côté suffit, AB est inversible d'inverse B⁻¹ A⁻¹. Astuce, on place les inverses dans l'ordre inverse pour que les facteurs voisins se simplifient.

Unicité de la solution de AX = Y. Si AX = Y, on multiplie à gauche par A⁻¹, ce qui donne X = A⁻¹ Y. Réciproquement A (A⁻¹ Y) = Y. Astuce, multiplier à gauche, jamais à droite, car Y est une colonne.

Formule d'ordre 2. On calcule le produit de [[a, b], [c, d]] par [[d, −b], [−c, a]], on trouve [[ad − bc, 0], [0, ad − bc]], soit (ad − bc) I. Si ad − bc ≠ 0, on divise et on a un inverse à droite, donc l'inverse. Si ad − bc = 0, la colonne (d, −c) ou la colonne (−b, a) est une colonne non nulle X avec AX = 0, sauf si A est nulle, donc A n'est pas inversible. Astuce, le cas d'égalité se traite en exhibant une colonne du noyau.

Puissance d'une matrice triangulaire d'ordre 2. On calcule A² et A³, on conjecture, puis on montre que si la formule vaut au rang n, le produit Aⁿ A la donne au rang n + 1. Astuce, la récurrence porte sur la formule entière, on multiplie toujours par A du même côté.

Polynôme annulateur et inverse. De A² − αA = βI on tire A (A − αI) = βI, donc A × (A − αI)/β = I. Astuce, factoriser par A à gauche et isoler l'identité à droite.

Exemples et contre-exemples à connaître

A = [[0, 1], [0, 0]] vérifie A² = 0 alors que A ≠ 0. Un produit nul n'impose pas un facteur nul, et on ne simplifie pas AB = AC par A.
A = [[0, 1], [0, 0]] et B = [[0, 0], [1, 0]] donnent AB = [[1, 0], [0, 0]] et BA = [[0, 0], [0, 1]]. La non-commutativité tient en quatre coefficients.
Une matrice 2 lignes 3 colonnes fois une matrice 3 lignes 2 colonnes est une matrice 2 lignes 2 colonnes, mais dans l'autre ordre on obtient une matrice 3 lignes 3 colonnes. Les deux produits existent et n'ont même pas le même format.
[[1, 2], [2, 4]] n'est pas inversible, son déterminant vaut 4 − 4 = 0, et la colonne (2, −1) est envoyée sur 0.
La matrice identité est inversible et égale à son inverse, la matrice nulle n'est pas inversible. Une matrice diagonale est inversible si et seulement si aucun coefficient diagonal n'est nul.
[[1, 1], [0, 1]] a pour puissance n-ième [[1, n], [0, 1]]. La puissance d'une triangulaire n'est pas obtenue en élevant les coefficients à la puissance n, seule la diagonale suit cette règle.
Avec A = [[1, 0], [0, 0]] et B = [[0, 0], [0, 1]], on a AB = 0, donc (A + B)² = A² + B² = I alors que 2AB = 0. L'identité remarquable ne marche ici que parce que A et B commutent.
La matrice J d'ordre 3 remplie de 1 vérifie J² = 3J. Toute puissance de J est un multiple de J, et J n'est pas inversible car J (1, −1, 0) = 0.
Pour un système à deux inconnues x + y = 1 et 2x + 2y = 3, la matrice a un déterminant nul et le système n'a pas de solution. Déterminant nul ne veut pas dire infinité de solutions.

Techniques du chapitre

Vérifier les formats avant tout produit. Mini-exercice, A a 3 lignes et 2 colonnes, B a 2 lignes et 4 colonnes. AB existe et a 3 lignes et 4 colonnes. BA n'existe pas, car B a 4 colonnes et A a 3 lignes. Le coefficient ligne 2 colonne 3 de AB se calcule avec la ligne 2 de A et la colonne 3 de B.

Conjecturer une puissance puis prouver par récurrence. Mini-exercice, A = [[3, 0], [0, −1]]. A² = [[9, 0], [0, 1]], A³ = [[27, 0], [0, −1]]. On conjecture Aⁿ = [[3ⁿ, 0], [0, (−1)ⁿ]], vrai pour n = 0 avec A⁰ = I, et si vrai au rang n alors Aⁿ A = [[3ⁿ × 3, 0], [0, (−1)ⁿ × (−1)]] donne le rang n + 1.

Inverser par le déterminant d'ordre 2. Mini-exercice, A = [[2, 5], [1, 3]]. ad − bc = 6 − 5 = 1, donc A⁻¹ = [[3, −5], [−1, 2]]. Contrôle, la première ligne de A fois la première colonne de A⁻¹ vaut 6 − 5 = 1.

Inverser par un polynôme annulateur. Mini-exercice, A vérifie A² = 3A − 2I. Alors A (3I − A) = 3A − A² = 2I, donc A est inversible et A⁻¹ = (3I − A)/2. Aucun calcul de coefficient n'a été nécessaire.

Prouver la non-inversibilité par une colonne du noyau. Mini-exercice, A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [0, 1, 1]]. La deuxième ligne est le double de la première, on cherche X avec AX = 0. La colonne (1, 1, −1) donne 1 + 2 − 3 = 0, 2 + 4 − 6 = 0, 1 − 1 = 0. Donc A n'est pas inversible, car A inversible imposerait X = 0.

Traduire une récurrence en produit matriciel. Mini-exercice, u indice n+2 = 5 u indice n+1 − 6 uₙ. On pose Xₙ = (u indice n+1, uₙ) en colonne et A = [[5, −6], [1, 0]]. Alors X indice n+1 = A Xₙ, et par récurrence immédiate Xₙ = Aⁿ X₀.

Résoudre un système par l'inverse. Mini-exercice, 2x + 5y = 1 et x + 3y = 4. La matrice est celle du troisième mini-exercice, donc X = A⁻¹ Y = [[3, −5], [−1, 2]] (1, 4) = (3 − 20, −1 + 8) = (−17, 7). Vérification, 2 × (−17) + 35 = 1.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Produits et formats

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit A = [[1, 2], [0, 1], [−1, 3]] et B = [[2, 0, 1], [1, 1, 0]]. Calculer AB et BA, puis comparer.

Technique vérifier les formats, calculer ligne par colonne.

Voir le corrigé

A a 3 lignes et 2 colonnes, B a 2 lignes et 3 colonnes. AB est d'ordre 3, BA est d'ordre 2, les deux existent. 2. AB = [[4, 2, 1], [1, 1, 0], [1, 3, −1]]. Par exemple le coefficient ligne 3 colonne 1 vaut (−1) × 2 + 3 × 1 = 1. 3. BA = [[1, 7], [1, 3]]. Par exemple le coefficient ligne 1 colonne 2 vaut 2 × 2 + 0 × 1 + 1 × 3 = 7. 4. Les deux produits n'ont pas le même format, la question de l'égalité ne se pose même pas.

piège : Multiplier coefficient par coefficient, ce que fait l'opérateur étoile de numpy, et qui n'est pas le produit matriciel.

Exercice 2. Commutation et identité remarquable

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soient A et B carrées de même ordre. Montrer que (A + B)² = A² + 2AB + B² si et seulement si AB = BA. Donner un exemple où l'égalité est fausse.

Technique développer sans commuter, puis comparer.

Voir le corrigé

Par distributivité, (A + B)² = A² + AB + BA + B². 2. L'égalité demandée équivaut donc à AB + BA = 2AB, soit BA = AB. 3. Avec A = [[0, 1], [0, 0]] et B = [[0, 0], [1, 0]], on a AB ≠ BA d'après l'exemple 2, donc (A + B)² ≠ A² + 2AB + B². Effectivement A + B = [[0, 1], [1, 0]] a pour carré I, tandis que A² + 2AB + B² = 0 + 2[[1, 0], [0, 0]] + 0 ≠ I.

piège : Écrire 2AB par réflexe scolaire sans vérifier la commutation.

Exercice 3. Puissances d'une triangulaire et suite arithmético-géométrique

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit A = [[2, 3], [0, 1]]. Calculer Aⁿ pour tout n. En déduire le terme général de la suite définie par u₀ = 0 et u indice n+1 = 2uₙ + 3.

Technique conjecture puis récurrence, puis traduction matricielle avec une coordonnée constante.

Voir le corrigé

A² = [[4, 9], [0, 1]], A³ = [[8, 21], [0, 1]]. On remarque 9 = 3 × 3 et 21 = 3 × 7, soit 3(2ⁿ − 1). Conjecture, Aⁿ = [[2ⁿ, 3(2ⁿ − 1)], [0, 1]]. 2. Vrai pour n = 0. Si vrai au rang n, Aⁿ A = [[2ⁿ × 2, 2ⁿ × 3 + 3(2ⁿ − 1)], [0, 1]] = [[2ⁿ⁺¹, 3(2ⁿ⁺¹ − 1)], [0, 1]]. 3. On pose Xₙ = (uₙ, 1) en colonne. Alors A Xₙ = (2uₙ + 3, 1) = X indice n+1. Donc Xₙ = Aⁿ X₀ = Aⁿ (0, 1), première coordonnée 3(2ⁿ − 1). 4. uₙ = 3(2ⁿ − 1). Contrôle, u₁ = 3, u₂ = 9.

piège : Poser Xₙ = (uₙ, u indice n−1) pour une récurrence d'ordre 1, alors que c'est le 1 constant qui absorbe le terme 3.

Exercice 4. Inverse par polynôme annulateur

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit A = [[1, 2], [2, 1]]. Calculer A² et trouver des réels α et β tels que A² = αA + βI. En déduire que A est inversible et calculer A⁻¹.

Technique factoriser par A pour isoler l'identité.

Voir le corrigé

A² = [[5, 4], [4, 5]]. 2. On cherche α et β avec 5 = α + β et 4 = 2α, donc α = 2 et β = 3. On vérifie sur les quatre coefficients, A² = 2A + 3I. 3. Alors A² − 2A = 3I, soit A (A − 2I) = 3I, donc A est inversible et A⁻¹ = (A − 2I)/3 = (1/3) [[−1, 2], [2, −1]]. 4. Contrôle par le déterminant, ad − bc = 1 − 4 = −3, et la formule donne (1/(−3)) [[1, −2], [−2, 1]], c'est la même matrice.

piège : Écrire A⁻¹ = 1/(A − 2I) ou diviser par une matrice.

Exercice 5. Inverse d'ordre 3 par résolution de AX = Y

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Soit A = [[1, 1, 1], [1, 2, 3], [1, 3, 6]]. Montrer que A est inversible et calculer A⁻¹.

Technique résoudre le système avec des seconds membres littéraux.

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On résout x + y + z = a, x + 2y + 3z = b, x + 3y + 6z = c. 2. L₂ ← L₂ − L₁ donne y + 2z = b − a. L₃ ← L₃ − L₁ donne 2y + 5z = c − a. 3. L₃ ← L₃ − 2L₂ donne z = a − 2b + c. 4. Remontée, y = b − a − 2z = −3a + 5b − 2c, puis x = a − y − z = 3a − 3b + c. 5. Pour tout (a, b, c), solution unique, donc A est inversible et A⁻¹ = [[3, −3, 1], [−3, 5, −2], [1, −2, 1]]. 6. Contrôle, la ligne 2 de A fois la colonne 2 de A⁻¹ vaut −3 + 10 − 6 = 1.

piège : S'arrêter à l'échelonnement sans remonter, ou ranger les coefficients de a, b, c en lignes au lieu de colonnes.

Exercice 6. Une matrice nilpotente

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Soit N = [[0, 1, 0], [0, 0, 1], [0, 0, 0]]. Calculer N² et N³. Montrer que I − N est inversible et donner son inverse.

Technique télescopage matriciel avec une puissance nulle.

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N² = [[0, 0, 1], [0, 0, 0], [0, 0, 0]] et N³ = 0. 2. On développe (I − N)(I + N + N²) = I + N + N² − N − N² − N³ = I − N³ = I. Le développement est licite, I commute avec tout. 3. Donc I − N est inversible d'inverse I + N + N² = [[1, 1, 1], [0, 1, 1], [0, 0, 1]]. 4. Cohérence, I − N est triangulaire à diagonale de 1, donc inversible par le critère, et son inverse est bien triangulaire supérieure.

piège : Croire que N est inversible parce qu'elle est triangulaire, alors que sa diagonale est nulle.

Exercice 7. Inversibilité avec paramètre

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit m réel et A = [[m, 1], [1, m]]. Pour quelles valeurs de m la matrice A est-elle inversible ? Résoudre alors mx + y = 1, x + my = 0.

Technique déterminant d'ordre 2, puis X = A⁻¹ Y.

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ad − bc = m² − 1, non nul si et seulement si m ≠ 1 et m ≠ −1. 2. Dans ce cas A⁻¹ = (1/(m² − 1)) [[m, −1], [−1, m]]. 3. X = A⁻¹ (1, 0) = (m/(m² − 1), −1/(m² − 1)). 4. Contrôle, m × m/(m² − 1) − 1/(m² − 1) = (m² − 1)/(m² − 1) = 1. 5. Pour m = 1, le système devient x + y = 1 et x + y = 0, sans solution. Pour m = −1, −x + y = 1 et x − y = 0, sans solution non plus.

piège : Diviser par m² − 1 sans avoir écarté les deux valeurs interdites.

Exercice 8. Symétrie et transposée

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit A carrée. Montrer que A + tA est symétrique. Soit maintenant M à n lignes et p colonnes. Quel est le format de tM M ? Montrer que cette matrice est symétrique.

Technique calculer la transposée du candidat et retrouver le candidat.

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t(A + tA) = tA + t(tA) = tA + A = A + tA. 2. tM a p lignes et n colonnes, donc tM M est carrée d'ordre p. 3. t(tM M) = tM t(tM) = tM M, en utilisant l'inversion de l'ordre dans la transposée d'un produit. 4. De même M tM est symétrique d'ordre n.

piège : Écrire t(AB) = tA tB.

Exercice 9. La matrice J

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Soit J la matrice d'ordre 3 dont tous les coefficients valent 1, et M = I + J. Montrer que J² = 3J. Montrer qu'il existe une suite (cₙ) telle que Mⁿ = I + cₙ J pour tout n, et calculer cₙ. Montrer que M est inversible et donner M⁻¹ sous la forme I + αJ.

Technique propager une relation de récurrence sur un coefficient, sans formule du binôme.

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Chaque coefficient de J² est la somme de trois produits 1 × 1, donc vaut 3. Ainsi J² = 3J. 2. Pour n = 0, M⁰ = I, donc c₀ = 0. Si Mⁿ = I + cₙ J, alors Mⁿ⁺¹ = (I + cₙ J)(I + J) = I + J + cₙ J + cₙ J² = I + (1 + 4cₙ) J. On pose c indice n+1 = 4cₙ + 1. 3. Suite arithmético-géométrique de point fixe −1/3. On pose dₙ = cₙ + 1/3, alors d indice n+1 = 4dₙ et d₀ = 1/3, donc dₙ = 4ⁿ/3 et cₙ = (4ⁿ − 1)/3. Contrôle, c₁ = 1, c₂ = 5. 4. On cherche α avec (I + J)(I + αJ) = I + (1 + α + 3α) J = I, soit α = −1/4. Donc M est inversible et M⁻¹ = I − J/4.

piège : Écrire (I + J)ⁿ = I + nJ en confondant avec un cas où J² serait nulle.

Exercice 10. Un modèle de Leontief

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Une économie a deux branches. Produire une unité de la branche 2 demande 0,5 unité de la branche 1, produire une unité de la branche 1 demande 0,4 unité de la branche 2. On note A = [[0, 0,5], [0,4, 0]] la matrice des coefficients techniques, X la colonne des productions et D = (60, 200) la demande finale. Justifier l'équation X = AX + D, puis calculer X.

Technique écrire (I − A)X = D et inverser I − A par le déterminant.

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La production de chaque branche sert à la consommation intermédiaire des deux branches, soit AX, et à la demande finale D. D'où X = AX + D. 2. Donc (I − A)X = D avec I − A = [[1, −0,5], [−0,4, 1]]. 3. Déterminant 1 − 0,2 = 0,8 ≠ 0, donc I − A est inversible et (I − A)⁻¹ = (1/0,8) [[1, 0,5], [0,4, 1]] = [[1,25, 0,625], [0,5, 1,25]]. 4. X = (I − A)⁻¹ D = (75 + 125, 30 + 250) = (200, 280). 5. Contrôle, 0,5 × 280 + 60 = 200 et 0,4 × 200 + 200 = 280.

piège : Écrire X = D (I − A)⁻¹, produit sans sens de format, ou oublier de passer AX à gauche.

Erreurs fréquentes

Multiplier des matrices de formats incompatibles, ou annoncer un résultat au mauvais format.
Commuter un produit sans l'avoir justifié, en particulier dans (A + B)² ou (AB)ⁿ.
Simplifier AB = AC en B = C alors que A n'est pas inversible.
Écrire une division par une matrice, ou X = Y A⁻¹ au lieu de X = A⁻¹ Y.
Élever les coefficients à la puissance n pour une matrice qui n'est pas diagonale.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel d'ECG, mathématiques appliquées de première année, premier semestre, partie II « Calcul matriciel et résolution de systèmes linéaires », section « Calcul matriciel ». Le programme précise que tout développement théorique est hors programme et que le chapitre est mené en lien avec l'informatique.