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ECG2 · Maths appliquées · semaine 15

Suites de variables aléatoires discrètes

Indépendance mutuelle de n variables aléatoires discrètes et d'une suite infinie de variables. Lemme des coalitions. Espérance de la somme de n variables et variance de la somme dans le cas indépendant.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. L'indépendance mutuelle de nn variables signifie que la probabilité de toute intersection des événements élémentaires est le produit des probabilités, pour toutes les valeurs possibles.
  2. L'indépendance mutuelle entraîne l'indépendance deux à deux. La réciproque est fausse.
  3. Une suite infinie est indépendante lorsque toutes ses sous-familles finies le sont.
  4. Le lemme des coalitions, admis, permet d'affirmer que deux fonctions de groupes disjoints de variables indépendantes sont indépendantes.
  5. L'espérance d'une somme est toujours la somme des espérances. La variance d'une somme est la somme des variances sous hypothèse d'indépendance. D'où E(Mn)=m\E(M_n)=m et V(Mn)=σ2/n\V(M_n)=\sigma^2/n pour la moyenne empirique.
Pourquoi ce chapitre

Un couple de variables aléatoires décrit deux observations. La plupart des situations en demandent bien davantage :

  • on répète une expérience un grand nombre de fois ;
  • on observe un échantillon de nn clients ;
  • on suit un stock jour après jour.

Il faut donc étendre le vocabulaire de l'indépendance à nn variables, puis à une suite infinie.

AttentionIndépendance

Vérifier l'indépendance deux à deux ne suffit pas. Le chapitre définit précisément l'indépendance mutuelle et donne l'outil qui permet de s'en servir sans calcul, le lemme des coalitions.

RemarqueSommes et moyennes

  • L'espérance d'une somme est toujours la somme des espérances.
  • La variance d'une somme est la somme des variances lorsque les variables sont indépendantes.

Ces deux formules donnent l'espérance et la variance d'une moyenne d'échantillon, quantité centrale en statistique. On y voit apparaître le facteur 1/n1/n sur la variance, qui est l'explication mathématique de la fiabilité des grands échantillons.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Indépendance mutuelle 1

Exercice 1. Indépendance deux à deux sans indépendance mutuelle ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

XX et YY sont indépendantes, chacune prend les valeurs 11 et −1-1 avec probabilité 12\frac{1}{2}.

On pose Z=XY.Z = XY. Étudier l'indépendance deux à deux, puis l'indépendance mutuelle de XX, YY, ZZ.

Voir l'indice

Technique vérifier les produits sur tous les couples de valeurs, puis exhiber un triplet qui échoue.

Voir le corrigé offert

P(Z=1)=P(X=Y)=1/4+1/4=1/2,P(Z = 1) = P(X = Y) = 1/4 + 1/4 = 1/2, donc ZZ suit la même loi que XX. 2. Soient xx et zz dans {−1,1}\{-1, 1\}. Comme x2=1x^2 = 1, l'événement [X=x]∩[Z=z][X = x] \cap [Z = z] est égal à [X=x]∩[Y=xz][X = x] \cap [Y = xz]. Sa probabilité vaut 1/4=P(X=x)P(Z=z)1/4 = P(X = x)P(Z = z). Donc XX et ZZ sont indépendantes. 3. Par symétrie des rôles, YY et ZZ sont indépendantes. XX et YY le sont par hypothèse. 4. L'événement [X=1]∩[Y=1]∩[Z=−1][X = 1] \cap [Y = 1] \cap [Z = -1] est impossible, donc sa probabilité vaut 0≠1/80 \neq 1/8. L'indépendance n'est pas mutuelle.

piège : Ne vérifier qu'un seul couple de valeurs pour l'indépendance de XX et ZZ. La définition exige tous les couples.

Variance et covariance 4

Exercice 2. Combinaisons et chevauchement ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

XX, YY, ZZ sont mutuellement indépendantes et admettent un moment d'ordre 22.

Calculer V(X−2Y+3Z)V(X - 2Y + 3Z) et Cov⁡(X+Y,Y−Z)\operatorname{Cov}(X + Y, Y - Z).

En déduire que X+YX + Y et Y−ZY - Z ne sont pas indépendantes si V(Y)>0V(Y) > 0.

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Exercice 5. Produits de variables indépendantes ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit Ecricome

X1X_1, X2X_2, X3X_3 sont indépendantes, de même loi, d'espérance mm et de variance σ2\sigma^2.

Calculer E(X1X2X3)E(X_1X_2X_3), V(X1X2)V(X_1X_2) et Cov⁡(X1X2,X2X3)\operatorname{Cov}(X_1X_2, X_2X_3).

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Exercice 8. Points fixes ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

On range au hasard nn lettres dans nn enveloppes adressées, avec n≥2n \geq 2, toutes les répartitions étant équiprobables.

FF compte les lettres dans la bonne enveloppe.

Calculer E(F)E(F) et V(F)V(F).

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  1. XiX_i est l'indicatrice de « la lettre ii est bien placée ». …

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Exercice 9. Nombre de changements dans une suite de lancers ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

X1,…,XnX_1, \dots, X_n sont indépendantes, de loi de Bernoulli de paramètre pp, avec n≥3n \geq 3 et q=1−pq = 1 - p.

YiY_i est l'indicatrice de [Xi≠Xi+1][X_i \neq X_{i+1}].

On pose C=Y1+⋯+Yn−1.C = Y_1 + \dots + Y_{n-1}. Calculer E(C)E(C) et V(C)V(C).

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  1. P(Yi=1)=pq+qp=2pqP(Y_i = 1) = pq + qp = 2pq, donc E(C)=2(n−1)pqE(C) = 2(n - 1)pq et V(Yi)=2pq(1−2pq)V(Y_i) = 2pq(1 - 2pq).

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Extrema de variables 2

Exercice 3. Maximum de n lancers ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

On lance nn fois un dé équilibré, les lancers étant mutuellement indépendants.

MnM_n désigne le plus grand résultat.

Déterminer la loi de MnM_n et la limite de P(Mn=6)P(M_n = 6).

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  1. Pour kk entre 11 et 66, [Mn≤k]=∩[Xi≤k][M_n \leq k] = \cap[X_i \leq k].

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Exercice 6. Minimum de lois géométriques ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

T1,…,TnT_1, \dots, T_n sont indépendantes, de loi géométrique de paramètre p∈]0,1[p \in ]0, 1[ sur N∗\mathbb{N}^*. On pose m=min⁡(T1,…,Tn)m = \min(T_1, \dots, T_n). Déterminer la loi de mm.

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  1. Pour kk dans NN, P(Ti>k)=(1−p)kP(T_i > k) = (1 - p)^k, car il faut kk échecs initiaux.

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Somme de variables 1

Exercice 4. Somme de Poisson et moyenne ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

X1,…,XnX_1, \dots, X_n sont indépendantes, de loi P(λ)P(\lambda).

Déterminer la loi de Sn=X1+⋯+Xn,S_n = X_1 + \dots + X_n, puis l'espérance et la variance de Mn=Snn.M_n = \frac{S_n}{n}.

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Indicatrices et espérance 1

Exercice 7. Urnes vides ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

On place nn boules une par une dans NN urnes, chaque boule choisissant son urne uniformément et indépendamment des autres.

VV désigne le nombre d'urnes vides.

Calculer E(V)E(V), puis la limite de E(V)N\frac{E(V)}{N} quand n=Nn = N tend vers l'infini.

Voir le début du corrigé
  1. UjU_j est l'indicatrice de « l'urne jj est vide », et V=U1+…+UNV = U_1 + \ldots + U_N.

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de mathématiques appliquées de deuxième année, voie EC, enseignement du troisième semestre, partie « Probabilités et statistiques », paragraphe « Suites de variables aléatoires discrètes ». Le chapitre prolonge l'étude des couples et prépare la loi faible des grands nombres, le théorème limite central et l'estimation, traités au quatrième semestre.