Couples de variables aléatoires discrètes

Exercice 1. Tirage sans remise ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

On tire successivement sans remise deux boules parmi trois numérotées 1, 2, 3.

$X$ est le premier numéro, $Y$ le second.

Donner la loi du couple, les marginales, $\operatorname{Cov}(X, Y)$ et $\rho(X, Y)$.

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Technique tableau, transfert, Koenig-Huygens.

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1. $P(X = i, Y = j) = 1/6$ si $i \neq j$, et $0$ si $i = j$.
2. Les marginales sont uniformes sur $\{1, 2, 3\}$. $P(X = 1, Y = 1) = 0 \neq 1/9$, donc pas d'indépendance.

$$E(XY) = (1/6)((1 + 2 + 3)^2 - (1 + 4 + 9)) = 22/6 = 11/3.$$ 4. $E(X) = E(Y) = 2$, donc $\operatorname{Cov} = 11/3 - 4 = -1/3$. 5. $V(X) = 14/3 - 4 = 2/3$, donc $\rho = -1/2$. 6. Contrôle : $X + Y$ vaut $3$, $4$ ou $5$ avec probabilité $1/3$, de variance $2/3 = 2/3 + 2/3 - 2/3$.

piège : Remplir le tableau avec des $1/9$.

Exercice 8. Couple défini par une formule ★★

Classiques de khôlle et concours · 40 min · Niveau écrit EDHEC

Pour $i, j$ entiers naturels, $$P(X = i, Y = j) = \frac{c\,(i + j)}{i!\,j!}.$$

Trouver $c$, les marginales, étudier l'indépendance et calculer $\rho(X, Y)$.

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1. Rappels : $\sum i/i! = e$, $\sum i^2/i! = 2e$, $\sum i^3/i! = 5e$, via $i^2 = i(i - 1) + i$ et $i^3 = i(i - 1)(i - 2) + 3i(i - 1) + i$.

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Exercice 2. Maximum et minimum de deux dés ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

$X$ et $Y$ sont deux dés équilibrés indépendants.

On pose $$M = \max(X, Y), \qquad m = \min(X, Y).$$

Donner leurs lois et espérances.

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1. $P(M \leq k) = (k/6)^2$, donc $P(M = k) = (2k - 1)/36$ pour $k$ de $1$ à $6$.

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Exercice 4. Maximum de deux géométriques ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

$X$ et $Y$ sont indépendantes, de loi géométrique de paramètre $p \in ]0, 1]$.

Donner la loi de $M = \max(X, Y)$ et son espérance.

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1. $P(X \leq n) = 1 - q^n$, donc $P(M \leq n) = (1 - q^n)^2$.

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Exercice 3. Somme et différence ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

$X$ et $Y$ sont indépendantes, de même loi, de variance $\sigma^2 > 0$.

Calculer $\rho(X, X + Y)$ et $\operatorname{Cov}(X + Y, X - Y)$.

Pour deux dés, $X + Y$ et $X - Y$ sont-elles indépendantes ?

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Exercice 7. Portefeuille de variance minimale ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit EDHEC

$X$ et $Y$ sont deux rendements, de variances $\sigma^2$ et $\tau^2$, de covariance $c$, avec $V(X - Y) > 0$.

On investit la proportion $a$ dans $X$ et $1 - a$ dans $Y$.

Trouver $a$ minimisant $V(aX + (1 - a)Y)$.

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1. f(a) = a²σ² + (1 − a)²τ² + 2a(1 − a)c = a²(σ² + τ² − 2c) − 2a(τ² − c) + τ².

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Exercice 5. Poisson et conditionnement ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

$X$ et $Y$ sont indépendantes, de lois $\mathcal{P}(\lambda)$ et $\mathcal{P}(\mu)$, et $S = X + Y$.

Montrer que $S$ suit $\mathcal{P}(\lambda + \mu)$.

Déterminer la loi de $X$ sachant $[S = n]$.

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1. $[S = n]$ est la réunion disjointe des $[X = k] \cap [Y = n - k]$, pour $k$ de $0$ à $n$.

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Exercice 6. Somme de deux géométriques ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

$X$ et $Y$ sont indépendantes, de loi géométrique de paramètre $p \in ]0, 1[$.

Donner la loi de $S = X + Y$, puis celle de $X$ sachant $[S = n]$.

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1. $S$ prend les valeurs entières $n \geq 2$.

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Exercice 9. Amincissement d'une loi de Poisson ★★

Classiques de khôlle et concours · 35 min · Niveau écrit emlyon

$N$ suit $\mathcal{P}(\lambda)$ avec $\lambda > 0$, et $p \in ]0, 1[$.

Sachant $[N = n]$, $G$ suit $\mathcal{B}(n, p)$.

On pose $H = N - G$.

Déterminer la loi de $G$, montrer que $G$ et $H$ sont indépendantes, calculer $\rho(N, G)$.

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1. Pour $k \geq 0$, $P(G = k) = \sum$ pour $n \geq k$ de $e^{-\lambda}\lambda^n/n! \times C(n, k)p^kq^{n-k}$.

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Exercice 10. Différence et minimum de deux géométriques ★★★

Approfondissement · 50 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC

$X$ et $Y$ sont indépendantes, de loi géométrique de paramètre $p \in ]0, 1[$.

On pose $D = X - Y$ et $m = \min(X, Y)$.

Calculer $P(X = Y)$, donner la loi de $D$, montrer que $D$ et $m$ sont indépendantes.

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1. $P(X = Y) = \sum p^2q^{2j-2} = p^2/(1 - q^2) = p/(2 - p)$, car $1 - q^2 = p(2 - p)$.

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Exercice classique. Terminer une collection de quatre coupons ★★★

Classique du chapitre

On effectue des tirages indépendants et uniformes parmi quatre types de coupons, avec remise. Au temps zéro, on possède déjà les types $1$ et $2$. On note $R$ le nombre de tirages supplémentaires nécessaires pour posséder les quatre types.

1. On note $A$ le nombre de tirages nécessaires pour obtenir un premier type parmi $3$ et $4$, puis $B$ le nombre de tirages supplémentaires nécessaires pour obtenir le dernier type manquant. Déterminer leurs lois, justifier leur indépendance et exprimer $R$ en fonction de $A$ et $B$.
2. Calculer $\mathbb E(R)$ et $\operatorname{Var}(R)$.
3. Pour tout entier $m\geq 0$, calculer $\mathbb P(R>m)$ en considérant les types encore manquants après $m$ tirages. En déduire $\mathbb P(R\leq 6)$.
4. Retrouver $\mathbb E(R)$ à partir des probabilités de la question 3.

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Exercice classique. Objets sélectionnés et nombre initial ★★★

Classique du chapitre

Une machine produit un nombre aléatoire $N$ d’objets pendant une période fixée, avec $N\sim\mathcal P(6)$. Conditionnellement à $N=n$, chaque objet est sélectionné avec probabilité $1/3$, indépendamment des autres. On note $X$ le nombre d’objets sélectionnés et $Y$ le nombre d’objets non sélectionnés, de sorte que $N=X+Y$.

1. Calculer $\mathbb P(X=k,Y=\ell)$ pour tous $k,\ell\in\N$. En déduire les lois de $X$ et de $Y$, ainsi que leur indépendance.

2. Calculer la probabilité qu’au moins un objet soit sélectionné et qu’aucun ne soit laissé de côté.

3. Pour un entier fixé $k\in\N$, déterminer la loi conditionnelle de $N$ sachant $X=k$. Préciser son support.

4. Sachant que la production n’est pas vide, calculer la probabilité que tous les objets soient sélectionnés.

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