Fonctions continues sur R2

Exercice 1. Justifier des continuités ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Justifier la continuité sur $\mathbb{R}^2$ de $f_1(x, y) = e^{x^2 y}$, $f_2(x, y) = \ln(2 + x^2 - 2x + y^2)$, $f_3(x, y) = |x - y|$ et $f_4(x, y) = \dfrac{1}{1 + e^{x+y}}$.

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Technique décomposer en opérations et vérifier chaque hypothèse.

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1. $(x, y) \mapsto x^2y$ est polynomiale, continue à valeurs dans $R$, et l'exponentielle est continue sur $R$. Donc $f_1$ est continue.
2. On écrit $2 + x^2 - 2x + y^2 = 1 + (x - 1)^2 + y^2 \geq 1$. La fonction intérieure est polynomiale, à valeurs dans $[1, +\infty[$, où $\ln$ est continue. Donc $f_2$ est continue.
3. $x - y$ est polynomiale, à valeurs dans $R$, et la valeur absolue est continue sur $R$. Donc $f_3$ est continue.
4. $(x, y) \mapsto e^{x+y}$ est continue comme composée. Le dénominateur $1 + e^{x+y}$ est continu et strictement supérieur à $1$. Le quotient $1/(1 + e^{x+y})$ est donc continu.

piège : Pour $f_2$ les élèves écrivent « $\ln$ est continue » sans montrer que l'argument reste strictement positif. La mise sous forme canonique est indispensable.

Exercice 2. Continuité par la définition ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Soient $a$, $b$, $c$ réels avec $(a, b) \neq (0, 0)$ et $$f(x, y) = ax + by + c.$$ Montrer à l'aide de la définition que $f$ est continue en tout point $(x_0, y_0)$.

Montrer ensuite que $$h(x, y) = x^2 + y^2$$ est continue en $(0, 0)$.

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Exercice 3. Maximum, minimum et fonction de Leontief ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Montrer que $\max(x, y) = \dfrac{x + y + |x - y|}{2}$ et $\min(x, y) = \dfrac{x + y - |x - y|}{2}$. En déduire que ces fonctions sont continues sur $\mathbb{R}^2$. Décrire la ligne de niveau $k$ de la fonction de production $L(x, y) = \min(x, y)$.

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1. Si $x \geq y$, $|x - y| = x - y$, et les deux formules donnent $x$ et $y$. …

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Exercice 4. Lignes de niveau d'un col ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

Soit $$f(x, y) = x^2 - y^2.$$ Déterminer la ligne de niveau $k$ pour tout réel $k$.

Interpréter l'origine.

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1. Pour $k = 0$, $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) = 0$. …

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Exercice 5. Isoquantes de Cobb-Douglas ★

Application du cours · 15 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Une entreprise produit $$Q(K, L) = \sqrt{KL}$$ à partir de $K > 0$ unités de capital et $L > 0$ unités de travail.

Déterminer l'isoquante de niveau $q > 0$ et l'écrire $L = \varphi(K)$.

Étudier $\varphi$.

Que se passe-t-il si l'on double $K$ et $L$ ?

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1. √(KL) = q équivaut à KL = q², car les deux membres sont positifs. …

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Exercice 6. Choix du consommateur ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Un consommateur a l'utilité $$U(x, y) = xy$$ pour des quantités $x, y \geq 0$.

Les prix sont $p > 0$ et $q > 0$, le revenu est $R > 0$.

Déterminer le panier de la droite de budget $px + qy = R$ qui maximise l'utilité.

Interpréter avec les lignes de niveau.

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1. Sur la droite de budget, y = (R − px)/q, avec x ∈ [0, R/p] pour garder y ≥ 0. …

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Exercice 7. Une fonction quadratique ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

Soit $$f(x, y) = x^2 - 2xy + 2y^2.$$ a) Montrer que $f(x, y) \geq 0$, avec égalité si et seulement si $(x, y) = (0, 0)$.

b) Montrer que $f(x, y) \leq 3(x^2 + y^2)$.

En déduire, par la définition, que $f$ est continue en $(0, 0)$.

c) Montrer que chaque ligne de niveau $k > 0$ est contenue dans le carré $[-2\sqrt{k}, 2\sqrt{k}]^2$.

Écrire $f(x, y)$ sous la forme ${}^t X A X$, avec $X$ le vecteur colonne des coordonnées et $A$ une matrice symétrique.

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Exercice 8. Visualisation en Python ★

Application du cours · 10 min · Niveau écrit Ecricome

Écrire un script qui trace les lignes de niveau de $$f(x, y) = x^2 - y^2$$ sur le carré $[-2, 2]^2$.

Indiquer comment obtenir la surface.

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1. On importe les bibliothèques par import numpy as np et import matplotlib.pyplot as plt. …

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Exercice 9. Applications partielles et continuité ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type oral HEC, approfondissement

Soit $$f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$$ si $(x, y) \neq (0, 0)$, et $$f(0, 0) = 0.$$ Montrer que les applications partielles $x \mapsto f(x, 0)$ et $y \mapsto f(0, y)$ sont continues en $0$, mais que $f$ n'est pas continue en $(0, 0)$.

Même étude avec $$g(x, y) = \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}$$ et $$g(0, 0) = 0.$$

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1. $f(x, 0) = 0$ pour tout $x$, et $f(0, y) = 0$ pour tout $y$. …

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