Statistiques univariées

Exercice 1. Tableau complet d'une série discrète ★

Application du cours · 20 min · Niveau khôlle

Sur 20 ménages, 4 ont 0 enfant, 6 en ont 1, 6 en ont 2, 3 en ont 3 et 1 en a 4.

Donner fréquences, fréquences cumulées, moyenne, quartiles, médiane, étendue et écart-type.

Exercice 4. Comparer deux boîtes à moustaches ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Entreprise A : $$\text{minimum } 1\,400, \quad Q_1\ 1\,700,$$ $$\text{médiane } 2\,000, \quad Q_3\ 2\,500,$$ $$\text{maximum } 9\,000, \quad \text{moyenne } 2\,600.$$ Entreprise B : $$\text{minimum } 1\,600, \quad Q_1\ 1\,900,$$ $$\text{médiane } 2\,100, \quad Q_3\ 2\,400,$$ $$\text{maximum } 3\,500, \quad \text{moyenne } 2\,200.$$ Comparer.

Exercice 2. Koenig et une inégalité ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Démontrer la formule de Koenig.

En déduire $$\left(\sum x_i\right)^2 \leq n \sum x_i^2,$$ avec égalité si et seulement si les $x_i$ sont égaux.

Montrer que si $\sum x_i = 1$, alors $\sum x_i^2 \geq \frac{1}{n}$.

Exercice 6. Réunion de deux groupes ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

Le groupe A compte 12 étudiants, de moyenne 11 et d'écart-type 2.

Le groupe B en compte 8, de moyenne 13 et d'écart-type 3.

Moyenne et écart-type de la promotion ?

Exercice 7. La moyenne minimise l'écart quadratique ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

On pose $$g(t) = \frac{1}{n} \sum (x_i - t)^2.$$ Montrer que $$g(t) = s_x^2 + (\bar{x} - t)^2,$$ puis que $g$ a un unique point de minimum.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 9. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev empirique ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

Soit $t > 0$.

Montrer que la proportion $p$ des indices $i$ tels que $|x_i - \bar{x}| \geq t$ vérifie $$p \leq \frac{s_x^2}{t^2}.$$ En déduire que, si $s_x > 0$, au moins 75 % des observations sont à moins de deux écarts-types de la moyenne.

Ce n'est pas un résultat de cours, mais il se démontre avec les outils du chapitre.

Exercice 3. Transformation affine ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Des salaires ont pour moyenne 2 400 €, médiane 2 100 € et écart-type 600 €.

Chacun est augmenté de 3 % puis reçoit une prime fixe de 50 €.

Donner les nouveaux indicateurs.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 5. Robustesse de la médiane ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

Soit une série triée $$x_{(1)} \leq \dots \leq x_{(n)},$$ avec $n = 2m + 1$ et $m \geq 1$.

On remplace $x_{(n)}$ par $x_{(n)} + h$, avec $h > 0$.

Effet sur la moyenne et la médiane ?

Combien d'observations faut-il modifier pour rendre la médiane arbitrairement grande ?

Exercice 10. Médiane et moyenne à moins d'un écart-type ★★★

Approfondissement · 45 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

On note $m$ la médiane, avec la convention de la demi-somme.

Démontrer d'abord le lemme, hors cours, selon lequel $m$ minimise $$h(t) = \sum |x_i - t|.$$ En déduire $|\bar{x} - m| \leq s_x$.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 8. Quantile et programme Python ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Démontrer que le quantile d'ordre $\alpha$, pour $0 < \alpha < 1$, est la valeur de rang $k$ de la série triée, avec $k$ la partie entière supérieure de $n\alpha$.

Écrire une fonction Python qui le calcule.