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ECG1 · Maths appliquées · semaine 13

Étude globale des fonctions sur un intervalle

Parité, fonctions bornées, monotonie, théorème de la limite monotone et continuité sur un intervalle. Théorème des valeurs intermédiaires, image d'un intervalle et d'un segment, théorème de la bijection et fonction réciproque. Étude graphique récapitulative, positions relatives de deux courbes et régionnement du plan par une inéquation.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Le théorème des valeurs intermédiaires donne l'existence d'une solution, la stricte monotonie ajoute l'unicité. Les deux ensemble forment le théorème de la bijection.
  2. L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle, celle d'un segment est un segment, donc la fonction y est bornée et atteint ses bornes.
  3. Une fonction monotone sur un intervalle ouvert admet en tout point des limites finies à gauche et à droite, et un comportement déterminé aux extrémités.
  4. La courbe de la réciproque est la symétrique de celle de ff par rapport à la droite d'équation y=xy=x, et les deux fonctions varient dans le même sens.
  5. La position relative de deux courbes se lit dans le signe de leur différence, et l'inégalité y>f(x)y>f(x) décrit la région strictement au-dessus de la courbe.
Pourquoi ce chapitre

Le chapitre précédent était local, il regardait ce qui se passe autour d'un point. Celui-ci est global, il regarde une fonction sur tout un intervalle. Il permet de répondre à la question : combien l'équation f(x)=kf(x)=k a-t-elle de solutions et où se trouvent-elles ?

  • Le théorème des valeurs intermédiaires donne l'existence d'une solution.
  • Le théorème de la bijection y ajoute l'unicité quand la fonction est strictement monotone.

Une fonction continue et strictement croissante qui change de signe s'annule une fois et une seule.

Le programme y adjoint une partie graphique :

  • positions relatives de deux courbes ;
  • régionnement du plan ;
  • exemples de micro-économie, sur l'équilibre entre offre et demande.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Existence et nombre de solutions 4

Exercice 1. Existence, unicité, localisation ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Montrer que l'équation x3+x−1=0x^3 + x - 1 = 0 admet une unique solution réelle α\alpha, puis encadrer α\alpha à 10−110^{-1} près.

Voir l'indice

Technique argument standard de la bijection, avec une monotonie par somme.

Voir le corrigé offert
  1. f(x)=x3+x−1f(x) = x^3 + x - 1 est polynomiale, donc continue sur RR.
  2. Elle est strictement croissante, comme somme de deux fonctions strictement croissantes.
  3. Ses limites sont −∞-\infty en −∞-\infty et +∞+\infty en +∞+\infty, donc f(R)=Rf(R) = R.
  4. Comme 00 appartient à RR, le théorème de la bijection donne une unique solution α\alpha.
  5. On a f(0)=−1<0f(0) = -1 < 0 et f(1)=1>0f(1) = 1 > 0, donc α\alpha est dans ]0,1[]0, 1[. Puis f(0,6)<0<f(0,7)f(0{,}6) < 0 < f(0{,}7), donc α\alpha est entre 0,60{,}6 et 0,70{,}7.

piège : Conclure à l'unicité à partir du seul changement de signe entre 00 et 11.

Exercice 2. Point fixe ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Soit ff continue sur [0,1][0, 1], à valeurs dans [0,1][0, 1].

Montrer qu'il existe cc dans [0,1][0, 1] tel que f(c)=cf(c) = c.

Montrer que cc est unique si ff est de plus décroissante.

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  1. gg est continue sur [0,1][0, 1], comme différence de fonctions continues.

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Exercice 3. Discussion à partir d'un tableau de variations ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Soit f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x sur [−1,3][-1, 3].

Déterminer l'image de ff, puis, selon le réel kk, le nombre de solutions de f(x)=kf(x) = k.

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Exercice 9. Théorème des cordes ★★★

Approfondissement · 25 min · Niveau écrit ESSEC ou HEC

Soit f continue sur [0, 1] avec f(0) = f(1). Montrer qu'il existe c dans [0, 1/2] tel que f(c + 1/2) = f(c).

Voir le début du corrigé
  1. On pose g(x)=f(x+1/2)−f(x)g(x) = f(x + 1/2) - f(x) sur [0,1/2][0, 1/2]. …

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Bijection et réciproque 1

Exercice 4. Réciproque explicite ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Soit la fonction définie sur R\R par f(x)=ex−e−x2.f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}. Montrer que ff est une bijection de R\R sur R\R et expliciter sa réciproque.

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  1. ff est continue. La fonction x↦e−xx \mapsto e^{-x} est la composée de x↦−xx \mapsto -x, strictement décroissante, suivie de l'exponentielle, strictement croissante. …

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Approximation numérique 1

Exercice 5. Dichotomie en Python ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

Écrire une fonction Python qui approche la racine de x3+x−1x^3 + x - 1 sur [0,1][0, 1] à la précision eps\mathrm{eps}.

Combien d'itérations faut-il pour eps=10−3\mathrm{eps} = 10^{-3} ?

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  1. Le programme est le suivant.

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Applications économiques 2

Exercice 6. Équilibre entre offre et demande ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit Ecricome

Pour un prix p≥0p \geq 0, l'offre est O(p)=pO(p) = p et la demande est D(p)=12p+1.D(p) = \frac{12}{p + 1}.

Montrer qu'il existe un unique prix d'équilibre, le calculer, puis étudier l'effet d'une nouvelle demande 20p+1.\frac{20}{p + 1}.

Voir le début du corrigé
  1. On pose h(p) = p − 12/(p + 1), continue sur [0, +∞[. …

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Exercice 7. Coût moyen en U ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

Une entreprise a un coût total C(q)=q2+4C(q) = q^2 + 4 pour q>0q > 0.

Étudier le coût moyen CM(q)=q+4q\mathrm{CM}(q) = q + \frac{4}{q} et le comparer au coût marginal 2q2q.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Suite définie implicitement 1

Exercice 8. Suite définie implicitement ★★★

Approfondissement · 35 min · D'après un écrit EDHEC

Pour n≥1n \geq 1, on pose fn(x)=xn+x−1f_n(x) = x^n + x - 1 sur [0,+∞[[0, +\infty[.

Montrer que fnf_n s'annule en un unique réel unu_n de ]0,1[]0, 1[, que la suite (un)(u_n) est croissante, puis qu'elle converge vers 11.

Voir le début du corrigé
  1. fnf_n est continue et strictement croissante, comme somme de x↦xnx \mapsto x^n et x↦x−1x \mapsto x - 1. …

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Minimum sur R 1

Exercice 10. Minimum sur R ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau écrit ESSEC ou HEC

Soit ff continue sur R\R, qui tend vers +∞+\infty en −∞-\infty et en +∞+\infty.

Montrer que ff admet un minimum sur R\R.

Voir le début du corrigé
  1. Par définition des limites, il existe A>0A > 0 tel que f(x)≥f(0)+1f(x) \geq f(0) + 1 dès que ∣x∣≥A|x| \geq A.

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Fiche rédigée à partir du programme officiel d'ECG, mathématiques appliquées de première année, premier semestre, partie V « Fonctions réelles d'une variable réelle », sections « Étude globale des fonctions d'une variable sur un intervalle » et « Représentations de graphes des fonctions d'une variable sur un intervalle, régionnements du plan ». Le programme précise qu'aucune démonstration de ce chapitre n'est exigible et que le théorème des valeurs intermédiaires est admis.