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ECG1 · Maths appliquées · semaine 16

Événements et coefficients binomiaux

Expérience aléatoire, univers des résultats observables, événements élémentaires, opérations sur les événements et événements incompatibles. Système complet d'événements fini. Factorielle, coefficients binomiaux, nombre de parties à p éléments, formule du triangle de Pascal et expression factorielle.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Un événement est une partie de l'univers, et les connecteurs logiques se traduisent en intersection, réunion et complémentaire.
  2. Deux événements incompatibles ont une intersection vide, ce qui ne veut dire ni contraires ni indépendants.
  3. Un système complet d'événements est une famille finie d'événements deux à deux incompatibles dont la réunion est l'univers.
  4. Le coefficient (np)\binom{n}{p} compte les parties à pp éléments. Il vérifie la symétrie, la formule du triangle de Pascal et vaut n!p!(n−p)!\dfrac{n!}{p!(n-p)!}.
  5. Le nombre de chemins réalisant pp succès en nn répétitions est (np)\binom{n}{p}, et la somme des coefficients d'une ligne vaut 2n2^n.
Pourquoi ce chapitre

Avant de calculer une probabilité, il faut savoir décrire ce qu'on observe. C'est l'objet de la première moitié du chapitre, qui installe le vocabulaire des expériences aléatoires et transforme les phrases en français en objets ensemblistes.

La seconde moitié fournit le coefficient binomial. Il compte les parties d'une taille donnée, donc les façons de choisir pp éléments parmi nn sans tenir compte de l'ordre. C'est ce dont on a besoin pour compter les chemins d'un arbre de répétitions donnant pp succès, ce qui prépare la loi binomiale du second semestre.

Le programme précise que le nombre de bijections d'un ensemble à nn éléments sur lui-même vaut n!n!, et que la formule du triangle de Pascal fournit un algorithme efficace de calcul. Ces deux points relient le chapitre à l'informatique.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Traduction d'événements 2

Exercice 1. Traduction ensembliste ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Trois appareils fonctionnent une journée, AiA_i est l'événement « l'appareil ii tombe en panne ».

Écrire « au moins un tombe en panne », « aucun », « exactement un », « au moins deux », « au plus un », et le contraire de « tous tombent en panne ».

Voir l'indice

Technique dictionnaire et De Morgan.

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  1. Au moins un : A₁ ∪ A₂ ∪ A₃. 2. Aucun : Ā₁ ∩ Ā₂ ∩ Ā₃, contraire du précédent. 3. Exactement un : (A₁ ∩ Ā₂ ∩ Ā₃) ∪ (Ā₁ ∩ A₂ ∩ Ā₃) ∪ (Ā₁ ∩ Ā₂ ∩ A₃), réunion d'événements deux à deux incompatibles. 4. Au moins deux : (A₁ ∩ A₂) ∪ (A₁ ∩ A₃) ∪ (A₂ ∩ A₃). 5. Au plus un, contraire du précédent : (Ā₁ ∪ Ā₂) ∩ (Ā₁ ∪ Ā₃) ∩ (Ā₂ ∪ Ā₃), aussi réunion de « aucun » et « exactement un ». 6. Le contraire de A₁ ∩ A₂ ∩ A₃ est Ā₁ ∪ Ā₂ ∪ Ā₃, « au moins un appareil fonctionne ».

piège : Écrire A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ pour « exactement un », qui inclut alors les pannes multiples.

Exercice 2. Système complet sur deux dés ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

On pose Ω={1,…,6}2.\Omega = \{1, \dots, 6\}^2. Pour kk de 1 à 6, AkA_k est « le plus grand des deux résultats vaut kk ».

Montrer que (A1,…,A6)(A_1, \dots, A_6) est un système complet et calculer card⁡(Ak)\operatorname{card}(A_k).

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  1. Un couple a un seul maximum, donc Ak∩Aj=∅A_k \cap A_j = \varnothing si k≠jk \neq j.

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Dénombrement de parties 3

Exercice 3. Comité avec contrainte ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Parmi 10 personnes, dont Alice et Bob, on forme un comité de 3. Combien ne contiennent pas à la fois Alice et Bob ? Combien contiennent au moins l'un des deux ?

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 4. Lancers de pièce ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

On lance 10 fois une pièce. Combien de listes de résultats comportent exactement 3 piles ? Au moins 2 ? Strictement plus de piles que de faces ?

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  1. Il y a 210=1 0242^{10} = 1\,024 listes, dont C(10,3)=120C(10, 3) = 120 à 33 piles, codées par les rangs des piles.

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Exercice 5. Mains de cartes ★

Application du cours · 15 min · Niveau écrit Ecricome

On tire simultanément 5 cartes d'un jeu de 32 contenant 4 as. Combien de mains ? Avec exactement 2 as ? Avec au moins un as ?

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Identités binomiales 1

Exercice 6. Formule du président ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

Montrer que pour 1≤p≤n1 \leq p \leq n, p×(np)=n×(n−1p−1),p \times \binom{n}{p} = n \times \binom{n-1}{p-1}, par le calcul puis par double comptage.

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Calcul de somme 2

Exercice 7. Somme pondérée ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Pour n≥1n \geq 1, calculer S=∑k=1nk(nk)S = \sum_{k=1}^{n} k \binom{n}{k}.

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  1. Par l'exercice 6, k × C(n, k) = n × C(n − 1, k − 1) pour 1 ≤ k ≤ n. …

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Exercice 8. Colonne du triangle et télescopage ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Soit p∈Np \in \mathbb{N}. Montrer que pour tout n≥pn \geq p, ∑k=pn(kp)=(n+1p+1)\sum_{k=p}^{n} \binom{k}{p} = \binom{n+1}{p+1}. En déduire la somme des entiers de 11 à nn.

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  1. Pour k ≥ p, Pascal appliqué à k + 1 ≥ 1 donne C(k + 1, p + 1) = C(k, p) + C(k, p + 1). …

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Chemins sur un quadrillage 1

Exercice 9. Chemins sur un quadrillage ★

Application du cours · 15 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

On va de (0,0)(0, 0) à (a,b)(a, b), aa et bb entiers naturels, par pas unité vers la droite ou vers le haut.

Combien de chemins ?

Combien de chemins de (0,0)(0, 0) à (4,3)(4, 3) passent par (2,1)(2, 1) ?

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  1. Un chemin compte a+ba + b pas, dont aa vers la droite, déterminés par leurs rangs : C(a+b,a)C(a + b, a) chemins.

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Identités binomiales 1

Exercice 10. Somme des carrés d'une ligne ★★★

Approfondissement · 30 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

Montrer que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, ∑k=0n(nk)2=(2nn)\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}. C'est un cas particulier de Vandermonde, hors programme comme résultat de cours, donc à redémontrer.

Voir le début du corrigé
  1. Un groupe de n filles et n garçons compte C(2n, n) comités de n personnes. …

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Fiche rédigée à partir du programme officiel d'ECG, mathématiques appliquées de première année, premier semestre, partie VI « Probabilités et statistiques », sections « Événements » et « Coefficients binomiaux ». Le cadre est celui d'un univers fini. La définition d'une probabilité fait l'objet de la fiche suivante.