Statistiques bivariées

Exercice 1. Calcul complet ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle · Droite de régression

On observe $$x = (1, 2, 3, 4, 5)$$ et $$y = (2, 4, 5, 4, 5).$$ Calculer $r$, les deux droites de régression et la variance résiduelle de $y$ en $x$.

Exercice 2. Changement affine ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle · Transformations de variables

Soient $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ réels avec $\alpha$ et $\gamma$ non nuls, $$u_i = \alpha x_i + \beta$$ et $$v_i = \gamma y_i + \delta.$$ Exprimer $s_{u,v}$ et $r_{u,v}$ en fonction de $s_{x,y}$ et $r_{x,y}$.

Exercice 3. Résidus et part de variance expliquée ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle · Décomposition de la variance

Soit $y = ax + b$ la droite de régression de $y$ en $x$. On note $\hat{y}_i = a x_i + b$ et $e_i = y_i - \hat{y}_i$. Montrer que $\overline{e} = 0$ et $s_{x,e} = 0$, puis que $s_y^2 = s_{\hat{y}}^2 + s_e^2$ et $s_{\hat{y}}^2 = r^2 s_y^2$.

Exercice 4. Croissance exponentielle ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome · Transformations de variables

Un chiffre d'affaires $y$ est relevé aux dates $$t = 0, 1, 2, 3, 4.$$ On donne $Y = \ln y$, qui vaut $$1{,}0,\quad 1{,}4,\quad 1{,}9,\quad 2{,}2,\quad 2{,}5.$$ Ajuster un modèle $y = k e^{ct}$, calculer $r$ sur les données transformées et commenter une prévision en $t = 5$.

Exercice 5. Élasticité d'une fonction de production ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau écrit Ecricome · Transformations de variables

Pour quatre entreprises, on relève le capital $K$ et la production $Q$.

On note $$X = \ln K$$ et $$Y = \ln Q,$$ avec $$X = 0, 1, 2, 3$$ et $$Y = 0{,}5,\quad 0{,}9,\quad 1{,}6,\quad 2{,}0.$$ Ajuster $Q = k K^c$ et interpréter $c$.

Exercice 6. Données de type Okun ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon · Choix de la variable expliquée

Sur des données fictives, la croissance $g$ en % vaut $$0, 1, 2, 3, 4$$ et la variation du chômage $\Delta u$ en points vaut $$1{,}0,\quad 0{,}6,\quad 0{,}1,\quad -0{,}3,\quad -0{,}4.$$ Justifier le choix de la variable expliquée, ajuster, calculer $r$ et le taux de croissance qui stabilise le chômage.

Exercice 7. Retrouver r à partir des deux droites ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon · Droite de régression

Les droites de régression d'une série ont pour équations $$y = 0{,}5x + 2 \quad\text{et}\quad x = 0{,}8y - 1.$$ Déterminer le point moyen, $r$ et le rapport $\frac{s_y^2}{s_x^2}$.

Exercice 8. Sensibilité à un point aberrant ★

Application du cours · 15 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon · Points aberrants

On considère les points $$(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)$$ et $$(10, 0).$$ Calculer $r$ et la pente de régression de $y$ en $x$, puis comparer avec les quatre premiers points seuls.

Exercice 9. Droite passant par l'origine ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC · Droite de régression

On suppose les $x_i$ non tous nuls.

Déterminer le réel $a_0$ qui minimise $$h(a) = \frac{1}{n} \sum (y_i - a x_i)^2.$$ Comparer avec la pente des moindres carrés et avec le minimum de l'exercice 1, dont on reprend les données.

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Exercice 10. Effet d'agrégation ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC · Effet d'agrégation

Le groupe $A$ contient les points $$(1, 5)$$ et $$(2, 6),$$ le groupe $B$ les points $$(5, 1)$$ et $$(6, 2).$$ Calculer la covariance dans chaque groupe, puis sur les quatre points.

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